Výpočet objemov priestorových útvarov je jednou z dôležitých úloh stereometrie. V tomto článku sa budeme zaoberať otázkou určenia objemu takého mnohostenu ako pyramídy a tiež uvedieme vzorec pre objem pravidelnej šesťhrannej pyramídy.
šesťhranná pyramída
Najprv sa pozrime, aký je údaj, o ktorom bude reč v článku.
Urobme si ľubovoľný šesťuholník, ktorého strany nemusia byť nevyhnutne rovnaké. Predpokladajme tiež, že sme si vybrali bod v priestore, ktorý nie je v rovine šesťuholníka. Spojením všetkých rohov druhého s vybraným bodom dostaneme pyramídu. Na obrázku nižšie sú zobrazené dve rôzne pyramídy so šesťhrannou základňou.
Je vidieť, že okrem šesťuholníka sa obrazec skladá zo šiestich trojuholníkov, ktorých spojovací bod sa nazýva vrchol. Rozdiel medzi zobrazenými pyramídami je v tom, že výška h pravej z nich nepretína šesťuholníkovú základňu v jej geometrickom strede a výška ľavej postavy klesápriamo v tom centre. Vďaka tomuto kritériu sa ľavá pyramída nazývala priama a pravá - šikmá.
Keďže základ ľavého obrázku na obrázku tvorí šesťuholník s rovnakými stranami a uhlami, nazýva sa správny. Ďalej v článku budeme hovoriť len o tejto pyramíde.
Objem šesťhrannej pyramídy
Na výpočet objemu ľubovoľnej pyramídy platí nasledujúci vzorec:
V=1/3hSo
H je dĺžka výšky postavy, So je plocha jej základne. Použime tento výraz na určenie objemu pravidelnej šesťuholníkovej pyramídy.
Keďže uvažovaný obrazec je založený na rovnostrannom šesťuholníku, na výpočet jeho plochy môžete použiť nasledujúci všeobecný výraz pre n-uholník:
S=n/4a2ctg(pi/n)
N je celé číslo rovné počtu strán (rohov) mnohouholníka, a je dĺžka jeho strany, funkcia kotangens sa vypočíta pomocou príslušných tabuliek.
Použitím výrazu pre n=6 dostaneme:
S6=6/4a2 ctg(pi/6)=√3/2a 2
Teraz zostáva nahradiť tento výraz do všeobecného vzorca pre objem V:
V6=S6h=√3/2ha2
Pre výpočet objemu uvažovanej pyramídy je teda potrebné poznať jej dva lineárne parametre: dĺžku strany základne a výšku postavy.
Príklad riešenia problému
Ukážme si, ako možno získaný výraz pre V6 použiť na vyriešenie nasledujúceho problému.
Je známe, že objem pravidelného šesťhranného ihlana je 100 cm3. Je potrebné určiť stranu základne a výšku postavy, ak je známe, že spolu súvisia nasledujúcou rovnosťou:
a=2h
Vzhľadom na to, že vo vzorci pre objem sú zahrnuté iba a a h, ktorýkoľvek z týchto parametrov doň možno nahradiť, vyjadrený ako druhý. Napríklad nahraďte a, dostaneme:
V6=√3/2h(2h)2=>
h=∛(V6/(2√3))
Ak chcete zistiť hodnotu výšky postavy, musíte odmocniť tretí stupeň z objemu, ktorý zodpovedá rozmeru dĺžky. Dosadíme hodnotu objemu V6 pyramídy z úlohy, dostaneme výšku:
h=∛(100/(2√3)) ≈ 3,0676 cm
Keďže strana základne je v súlade so stavom problému dvojnásobkom nájdenej hodnoty, dostaneme pre ňu hodnotu:
a=2h=23, 0676=6, 1352 cm
Objem šesťhrannej pyramídy možno zistiť nielen z výšky postavy a hodnoty strany jej podstavy. Na jej výpočet stačí poznať dva rôzne lineárne parametre pyramídy, napríklad apotému a dĺžku bočnej hrany.
