Žiak sa v prvom ročníku najčastejšie stretáva s povrchmi 2. rádu. Zo začiatku sa môžu zdať úlohy na túto tému jednoduché, no ako študujete vyššiu matematiku a prehlbujete sa po vedeckej stránke, môžete sa konečne prestať orientovať v dianí. Aby sa tomu zabránilo, je potrebné nielen zapamätať si, ale pochopiť, ako sa ten či onen povrch získava, ako ho ovplyvňuje zmena koeficientov a jeho umiestnenie vzhľadom na pôvodný súradnicový systém a ako nájsť nový systém. (taký, v ktorom sa jeho stred zhoduje s východiskovými súradnicami a os symetrie je rovnobežná s jednou zo súradnicových osí). Začnime od začiatku.
Definícia
GMT sa nazýva povrch 2. rádu, ktorého súradnice spĺňajú všeobecnú rovnicu v nasledujúcom tvare:
F(x, y, z)=0.
Je jasné, že každý bod patriaci k povrchu musí mať tri súradnice na určitom určenom základe. Aj keď v niektorých prípadoch môže ťažisko bodov degenerovať napríklad do roviny. Znamená to len, že jedna zo súradníc je konštantná a rovná sa nule v celom rozsahu prijateľných hodnôt.
Úplná namaľovaná podoba rovnosti spomínanej vyššie vyzerá takto:
A11x2+A22y2 +A33z2+2A12xy+2A23 yz+2A13xz+2A14x+2A24y+2A 34z+A44=0.
Anm – nejaké konštanty, x, y, z – premenné zodpovedajúce afinným súradniciam nejakého bodu. V tomto prípade sa aspoň jeden z konštantných faktorov nesmie rovnať nule, to znamená, že ani jeden bod nebude zodpovedať rovnici.
V drvivej väčšine príkladov je veľa číselných faktorov stále rovnako rovných nule a rovnica je značne zjednodušená. V praxi nie je ťažké určiť, či bod patrí k povrchu (stačí dosadiť jeho súradnice do rovnice a skontrolovať, či je identita dodržaná). Kľúčovým bodom takejto práce je priviesť ju do kanonickej formy.
Rovnica napísaná vyššie definuje akékoľvek (všetky uvedené nižšie) povrchy 2. rádu. Príklady zvážime nižšie.
Typy povrchov 2. rádu
Rovnice plôch 2. rádu sa líšia iba hodnotami koeficientov Anm. Zo všeobecného pohľadu možno pre určité hodnoty konštánt získať rôzne povrchy klasifikované takto:
- Valce.
- Eliptický typ.
- Hyperbolický typ.
- Kužeľový typ.
- Parabolický typ.
- Lietadlá.
Každý z uvedených typov má prirodzenú a imaginárnu formu: v imaginárnej forme sa ťažisko skutočných bodov buď zvrhne do jednoduchšej postavy, alebo úplne chýba.
Valce
Toto je najjednoduchší typ, pretože relatívne zložitá krivka leží iba na základni a slúži ako vodidlo. Generátory sú rovné čiary kolmé na rovinu, v ktorej leží základňa.
Graf zobrazuje kruhový valec, špeciálny prípad eliptického valca. V rovine XY bude jej priemetom elipsa (v našom prípade kruh) - vedenie a v XZ - obdĺžnik - keďže generátory sú rovnobežné s osou Z. Aby ste to dostali zo všeobecnej rovnice, potrebujete dať koeficientom nasledujúce hodnoty:
Namiesto zvyčajných symbolov x, y, z, x sa používa poradové číslo - na tom nezáleží.
V skutočnosti 1/a2a ostatné tu uvedené konštanty sú tie isté koeficienty uvedené vo všeobecnej rovnici, ale je zvykom písať ich v tejto forme - toto je kanonická reprezentácia. Ďalej sa použije iba takýto zápis.
Takto je definovaný hyperbolický valec. Schéma je rovnaká – vodítkom bude hyperbola.
y2=2px
Parabolický valec je definovaný trochu inak: jeho kanonická forma obsahuje koeficient p, ktorý sa nazýva parameter. V skutočnosti sa koeficient rovná q=2p, ale je zvykom rozdeliť ho na dva uvedené faktory.
Existuje ďalší typ valca: imaginárny. Takému valcu nepatrí žiadny skutočný bod. Je to opísané rovnicoueliptický valec, ale namiesto jednotky je -1.
Eliptický typ
Elipsoid môže byť natiahnutý pozdĺž jednej z osí (pozdĺž ktorej závisí od hodnôt konštánt a, b, c, uvedených vyššie; je zrejmé, že väčší koeficient bude zodpovedať väčšej osi).
Existuje aj pomyselný elipsoid – za predpokladu, že súčet súradníc vynásobený koeficientmi je -1:
Hyperboloidy
Keď sa v jednej z konštánt objaví mínus, elipsoidná rovnica sa zmení na rovnicu jednovrstvového hyperboloidu. Je potrebné si uvedomiť, že toto mínus sa nemusí nachádzať pred súradnicou x3! Určuje iba, ktorá z osí bude osou rotácie hyperboloidu (alebo rovnobežnou s ňou, odkedy sa v štvorci objavia ďalšie členy (napríklad (x-2)2)) stred obrazca sa posunie, v dôsledku čoho sa povrch pohybuje rovnobežne so súradnicovými osami). Toto platí pre všetky povrchy 2. rádu.
Okrem toho musíte pochopiť, že rovnice sú prezentované v kanonickej forme a možno ich meniť zmenou konštánt (so zachovaným znamienkom!); pričom ich forma (hyperboloid, kužeľ atď.) zostane rovnaká.
Táto rovnica je už daná dvojvrstvovým hyperboloidom.
Kónický povrch
V kužeľovej rovnici nie je žiadna jednotka – rovnosť nule.
Iba ohraničená kužeľová plocha sa nazýva kužeľ. Obrázok nižšie ukazuje, že v skutočnosti budú na mape dva takzvané kužele.
Dôležitá poznámka: Vo všetkých uvažovaných kanonických rovniciach sú konštanty predvolene kladné. V opačnom prípade môže znamienko ovplyvniť konečný graf.
Súradnicové roviny sa stávajú rovinami symetrie kužeľa, stred symetrie sa nachádza v počiatku.
V rovnici pomyselného kužeľa sú len plusy; vlastní jeden skutočný bod.
Paraboloids
Plochy 2. rádu vo vesmíre môžu mať rôzne tvary aj s podobnými rovnicami. Napríklad existujú dva typy paraboloidov.
x2/a2+y2/b2=2z
Eliptický paraboloid, keď je os Z kolmá na výkres, sa premietne do elipsy.
x2/a2-y2/b2=2z
Hyperbolický paraboloid: sekcie s rovinami rovnobežnými s ZY vytvoria paraboly a sekcie s rovinami rovnobežnými s XY vytvoria hyperboly.
Pretínajúce sa roviny
Sú prípady, keď povrchy 2. rádu degenerujú do roviny. Tieto lietadlá môžu byť usporiadané rôznymi spôsobmi.
Najprv zvážte pretínajúce sa roviny:
x2/a2-y2/b2=0
Výsledkom tejto úpravy kanonickej rovnice sú len dve pretínajúce sa roviny (imaginárne!); všetky reálne body sú na osi súradnice, ktorá v rovnici chýba (v kanonickej - osi Z).
Paralelné lietadlá
y2=a2
Keď existuje len jedna súradnica, povrchy 2. rádu sa zvrhnú do dvojice rovnobežných rovín. Pamätajte, že akákoľvek iná premenná môže nahradiť Y; potom sa získajú roviny rovnobežné s inými osami.
y2=−a2
V tomto prípade sa stanú imaginárnymi.
Koincidujúce lietadlá
y2=0
S takouto jednoduchou rovnicou sa pár rovín zvrhne do jednej – zhodujú sa.
Nezabudnite, že v prípade trojrozmernej bázy vyššie uvedená rovnica nedefinuje priamku y=0! Chýbajú mu ďalšie dve premenné, ale to znamená, že ich hodnota je konštantná a rovná sa nule.
Building
Jednou z najťažších úloh pre študenta je konštrukcia plôch 2. rádu. Prechod z jedného súradnicového systému do druhého je ešte náročnejší, ak vezmeme do úvahy uhly krivky vzhľadom na osi a odsadenie stredu. Zopakujme si, ako dôsledne určiť budúci pohľad na výkres pomocou analýzyspôsobom.
Na vytvorenie povrchu 2. rádu potrebujete:
- uveďte rovnicu do kanonického tvaru;
- určiť typ skúmaného povrchu;
- konštruovať na základe hodnôt koeficientov.
Nižšie sú zvažované všetky typy:
Pre konsolidáciu podrobne opíšme jeden príklad tohto typu úlohy.
Príklady
Predpokladajme, že existuje rovnica:
3(x2-2x+1)+6y2+2z2+ 60 y+144=0
Prenesme to do kánonickej podoby. Vyberme si celé druhé mocniny, to znamená, že dostupné výrazy usporiadame tak, aby boli expanziou druhej mocniny súčtu alebo rozdielu. Napríklad: ak (a+1)2=a2+2a+1, potom a2+2a +1=(a+1)2. Vykonáme druhú operáciu. V tomto prípade nie je potrebné otvárať zátvorky, pretože to len skomplikuje výpočty, ale je potrebné vyňať spoločný faktor 6 (v zátvorkách s plnou druhou mocninou Y):
3(x-1)2+6(y+5)2+2z2=6
Premenná z sa v tomto prípade vyskytuje iba raz – zatiaľ ju môžete nechať tak.
V tejto fáze analyzujeme rovnicu: všetkým neznámym predchádza znamienko plus; pri delení šiestimi zostáva jedna. Preto máme rovnicu, ktorá definuje elipsoid.
Všimnite si, že 144 bolo započítané do 150-6, potom sa -6 presunulo doprava. Prečo sa to muselo robiť takto? Je zrejmé, že najväčší deliteľ v tomto príklade je -6, takže po delení nímjeden je vľavo vpravo, je potrebné „odložiť“presne 6 zo 144 (to, že by malo byť vpravo, naznačuje prítomnosť voľného termínu - konštanty nenásobenej neznámou).
Vydeľte všetko šiestimi a získajte kanonickú rovnicu elipsoidu:
(x-1)2/2+(y+5)2/1+z2 /3=1
V predtým používanej klasifikácii plôch 2. rádu sa berie do úvahy špeciálny prípad, keď je stred obrazca v počiatku súradníc. V tomto príklade je to offset.
Predpokladáme, že každá zátvorka s neznámymi je nová premenná. To znamená: a=x-1, b=y+5, c=z. V nových súradniciach sa stred elipsoidu zhoduje s bodom (0, 0, 0), teda a=b=c=0, odkiaľ: x=1, y=-5, z=0. Na počiatočných súradniciach leží stred obrázku v bode (1, -5, 0).
Elipsoid sa získa z dvoch elips: prvá v rovine XY a druhá v rovine XZ (alebo YZ - na tom nezáleží). Koeficienty, ktorými sú premenné delené, sú v kanonickej rovnici druhé mocniny. Preto vo vyššie uvedenom príklade by bolo správnejšie deliť odmocninou z dvoch, jedna a odmocninou z troch.
Vedľajšia os prvej elipsy, rovnobežná s osou Y, sú dve. Hlavná os rovnobežná s osou x sú dva korene z dvoch. Vedľajšia os druhej elipsy, rovnobežná s osou Y, zostáva rovnaká - rovná sa dvom. A hlavná os, rovnobežná s osou Z, sa rovná dvom koreňom z troch.
Pomocou údajov získaných z pôvodnej rovnice prevodom do kanonického tvaru môžeme nakresliť elipsoid.
Zhrnutie
Popísané v tomto článkutéma je pomerne rozsiahla, ale v skutočnosti, ako teraz vidíte, nie príliš komplikovaná. Jeho vývoj sa v podstate končí v momente, keď si zapamätáte názvy a rovnice plôch (a samozrejme, ako vyzerajú). Vo vyššie uvedenom príklade sme podrobne rozobrali každý krok, ale uvedenie rovnice do kanonickej podoby si vyžaduje minimálne znalosti vyššej matematiky a študentovi by nemalo spôsobovať žiadne ťažkosti.
Analýza budúceho harmonogramu existujúcej rovnosti je už ťažšia úloha. K jeho úspešnému riešeniu však stačí pochopiť, ako sa vytvárajú zodpovedajúce krivky druhého rádu - elipsy, paraboly a iné.
Prípady degenerácie – ešte jednoduchšia časť. Vďaka absencii niektorých premenných sa zjednodušujú nielen výpočty, ako už bolo spomenuté, ale aj samotná konštrukcia.
Akonáhle dokážete s istotou pomenovať všetky typy povrchov, meniť konštanty, otáčať graf do jedného alebo druhého tvaru – téma bude zvládnutá.
Úspech v štúdiu!
