V prírode a technike sa často stretávame s prejavom rotačného pohybu pevných telies, ako sú hriadele a ozubené kolesá. Ako je tento typ pohybu opísaný vo fyzike, aké vzorce a rovnice sa na to používajú, tieto a ďalšie problémy sú uvedené v tomto článku.
Čo je rotácia?
Každý z nás si intuitívne predstaví, o akom pohybe hovoríme. Rotácia je proces, pri ktorom sa teleso alebo hmotný bod pohybuje po kruhovej dráhe okolo nejakej osi. Z geometrického hľadiska je osou otáčania tuhého telesa priamka, ktorej vzdialenosť zostáva počas pohybu nezmenená. Táto vzdialenosť sa nazýva polomer otáčania. Ďalej ho budeme označovať písmenom r. Ak os rotácie prechádza ťažiskom telesa, potom sa nazýva jeho vlastná os. Príkladom rotácie okolo vlastnej osi je zodpovedajúci pohyb planét slnečnej sústavy.
Aby došlo k rotácii, musí existovať dostredivé zrýchlenie, ku ktorému dochádza v dôsledkudostredivá sila. Táto sila smeruje od ťažiska telesa k osi otáčania. Povaha dostredivej sily môže byť veľmi odlišná. Takže v kozmickom meradle hrá svoju úlohu gravitácia, ak je telo upevnené závitom, jeho napínacia sila bude dostredivá. Keď sa teleso otáča okolo svojej vlastnej osi, úlohu dostredivej sily zohráva vnútorná elektrochemická interakcia medzi prvkami (molekuly, atómy), ktoré tvoria telo.
Treba pochopiť, že bez prítomnosti dostredivej sily sa teleso bude pohybovať priamočiaro.
Fyzikálne veličiny popisujúce rotáciu
Po prvé, ide o dynamické vlastnosti. Patria sem:
- momentum L;
- moment zotrvačnosti I;
- moment sily M.
Po druhé, toto sú kinematické charakteristiky. Poďme si ich vymenovať:
- uhol otočenia θ;
- uhlová rýchlosť ω;
- uhlové zrýchlenie α.
Poďme stručne popísať každú z týchto veličín.
Moment hybnosti je určený vzorcom:
L=pr=mvr
Kde p je lineárna hybnosť, m je hmotnosť hmotného bodu, v je jeho lineárna rýchlosť.
Moment zotrvačnosti hmotného bodu sa vypočíta pomocou výrazu:
I=mr2
Pre akékoľvek teleso zložitého tvaru sa hodnota I vypočíta ako integrálny súčet momentov zotrvačnosti hmotných bodov.
Moment sily M sa vypočíta takto:
M=Fd
Tu F -vonkajšia sila, d - vzdialenosť od bodu jej pôsobenia k osi rotácie.
Fyzikálny význam všetkých veličín, v názve ktorých je prítomné slovo „moment“, je podobný významu zodpovedajúcich lineárnych veličín. Napríklad moment sily ukazuje schopnosť aplikovanej sily udeliť uhlové zrýchlenie systému rotujúcich telies.
Kinematické charakteristiky sú matematicky definované nasledujúcimi vzorcami:
ω=dθ/dt;
α=dω/dt.
Ako môžete vidieť z týchto výrazov, uhlové charakteristiky majú podobný význam ako lineárne (rýchlosť v a zrýchlenie a), len sú použiteľné pre kruhovú trajektóriu.
Dynamika rotácie
Vo fyzike sa štúdium rotačného pohybu tuhého telesa uskutočňuje pomocou dvoch odvetví mechaniky: dynamiky a kinematiky. Začnime s dynamikou.
Dynamika študuje vonkajšie sily pôsobiace na systém rotujúcich telies. Okamžite si zapíšme rovnicu rotačného pohybu tuhého telesa a potom analyzujeme jeho súčasti. Takže táto rovnica vyzerá takto:
M=Iα
Moment sily, ktorý pôsobí na sústavu s momentom zotrvačnosti I, spôsobuje vznik uhlového zrýchlenia α. Čím je hodnota I menšia, tým ľahšie je pomocou určitého momentu M roztočiť systém do vysokých otáčok v krátkych časových intervaloch. Napríklad kovová tyč sa ľahšie otáča pozdĺž svojej osi ako kolmo na ňu. Je však jednoduchšie otáčať tú istú tyč okolo osi kolmej na ňu a prechádzajúcej cez ťažisko než cez jej koniec.
Zákon o ochranehodnoty L
Táto hodnota bola predstavená vyššie, nazýva sa to moment hybnosti. Rovnica rotačného pohybu tuhého telesa uvedená v predchádzajúcom odseku sa často píše v inom tvare:
Mdt=dL
Ak moment vonkajších síl M pôsobí na sústavu za čas dt, potom spôsobí zmenu momentu hybnosti sústavy o dL. Ak je teda moment síl rovný nule, potom L=konšt. Toto je zákon zachovania hodnoty L. Pomocou vzťahu medzi lineárnou a uhlovou rýchlosťou môžeme napísať:
L=mvr=mωr2=Iω.
Pri absencii momentu síl je teda súčin uhlovej rýchlosti a momentu zotrvačnosti konštantnou hodnotou. Tento fyzikálny zákon využívajú krasokorčuliari pri svojich vystúpeniach alebo umelé satelity, ktoré sa musia vo vesmíre otáčať okolo vlastnej osi.
Dostredivé zrýchlenie
Pri štúdiu rotačného pohybu tuhého telesa už bola táto veličina popísaná vyššie. Zaznamenal sa aj charakter dostredivých síl. Tu tieto informácie len doplníme a uvedieme zodpovedajúce vzorce na výpočet tohto zrýchlenia. Označte to ac.
Keďže dostredivá sila smeruje kolmo na os a prechádza cez ňu, nevytvára moment. To znamená, že táto sila nemá absolútne žiadny vplyv na kinematické charakteristiky otáčania. Vytvára však dostredivé zrýchlenie. Uvádzame dva vzorce prejeho definície:
ac=v2/r;
ac=ω2r.
Čím väčšia je uhlová rýchlosť a polomer, tým väčšia sila musí byť použitá, aby sa telo udržalo na kruhovej dráhe. Pozoruhodným príkladom tohto fyzikálneho procesu je šmyk auta počas zákruty. Šmyk nastane, keď sa dostredivá sila, ktorú pôsobí trecia sila, zníži ako odstredivá sila (zotrvačná charakteristika).
Rotačná kinematika
Tri hlavné kinematické charakteristiky boli uvedené vyššie v článku. Kinematika rotačného pohybu tuhého telesa je opísaná nasledujúcimi vzorcami:
θ=ωt=>ω=konšt., α=0;
θ=ω0t + αt2/2=> ω=ω0 + αt, α=konšt.
Prvý riadok obsahuje vzorce pre rovnomerné otáčanie, ktoré predpokladá absenciu vonkajšieho momentu síl pôsobiacich na systém. Druhý riadok obsahuje vzorce pre rovnomerne zrýchlený pohyb v kruhu.
Všimnite si, že rotácia môže nastať nielen pri kladnom, ale aj zápornom zrýchlení. V tomto prípade vložte do vzorcov v druhom riadku pred druhý výraz znamienko mínus.
Príklad riešenia problému
Moment sily 1000 Nm pôsobil na kovový hriadeľ po dobu 10 sekúnd. S vedomím, že moment zotrvačnosti hriadeľa je 50kgm2, je potrebné určiť uhlovú rýchlosť, ktorú spomínaný moment sily udelil hriadeľu.
Aplikáciou základnej rovnice rotácie vypočítame zrýchlenie hriadeľa:
M=Iα=>
α=M/I.
Keďže toto uhlové zrýchlenie pôsobilo na hriadeľ počas času t=10 sekúnd, na výpočet uhlovej rýchlosti používame vzorec rovnomerne zrýchleného pohybu:
ω=ω0+ αt=M/It.
Tu ω0=0 (hriadeľ sa neotáčal až do momentu sily M).
Nahradením číselných hodnôt veličín rovnosťou dostaneme:
ω=1000/5010=200 rad/s.
Ak chcete toto číslo previesť na obvyklé otáčky za sekundu, musíte ho vydeliť 2pi. Po dokončení tejto akcie dostaneme, že hriadeľ sa bude otáčať frekvenciou 31,8 ot./min.
