Polyhedra priťahovala pozornosť matematikov a vedcov už v staroveku. Egypťania stavali pyramídy. A Gréci študovali "pravidelné mnohosteny". Niekedy sa nazývajú platónske telesá. "Tradičné mnohosteny" pozostávajú z plochých plôch, rovných hrán a vrcholov. Hlavnou otázkou však vždy bolo, aké pravidlá musia tieto oddelené časti spĺňať, ako aj aké dodatočné globálne podmienky musia byť splnené, aby sa objekt kvalifikoval ako mnohosten. Odpoveď na túto otázku bude uvedená v článku.
Problémy v definícii
Z čoho pozostáva tento údaj? Mnohosten je uzavretý pevný tvar, ktorý má ploché plochy a rovné hrany. Preto prvý problém jeho definície možno nazvať presne stranami obrázku. Nie všetky tváre ležiace v rovinách sú vždy znakom mnohostenu. Vezmime si ako príklad „trojuholníkový valec“. Z čoho pozostáva? Časť jeho povrchu tri v párochpretínajúce sa vertikálne roviny nemožno považovať za polygóny. Dôvodom je, že nemá žiadne vrcholy. Povrch takejto postavy je vytvorený na základe troch lúčov, ktoré sa stretávajú v jednom bode.
Ešte jeden problém – lietadlá. V prípade „trojuholníkového valca“spočíva v ich neobmedzených častiach. Obrazec sa považuje za konvexný, ak sa v ňom nachádza aj úsečka spájajúca dva ľubovoľné body v množine. Predstavme si jednu z ich dôležitých vlastností. Pre konvexné množiny platí, že množina bodov spoločných pre množinu je rovnaká. Existuje aj iný druh postáv. Sú to nekonvexné 2D mnohosteny, ktoré majú buď zárezy alebo otvory.
Tvary, ktoré nie sú mnohosteny
Plochá množina bodov môže byť odlišná (napríklad nekonvexná) a nevyhovuje bežnej definícii mnohostenu. Aj cez ňu je limitovaný úsekmi liniek. Čiary konvexného mnohostenu pozostávajú z konvexných obrazcov. Tento prístup k definícii však vylučuje číslo idúce do nekonečna. Príkladom toho môžu byť tri lúče, ktoré sa nestretnú v rovnakom bode. Ale zároveň sú spojené s vrcholmi inej postavy. Pre mnohosten bolo tradične dôležité, aby pozostával z rovných plôch. Postupom času sa však koncept rozšíril, čo viedlo k výraznému zlepšeniu chápania pôvodnej „užšej“triedy mnohostenov, ako aj k vzniku novej, širšej definície.
Správne
Predstavme ešte jednu definíciu. Pravidelný mnohosten je taký, v ktorom je každá plocha zhodná pravidelnákonvexné polygóny a všetky vrcholy sú „rovnaké“. To znamená, že každý vrchol má rovnaký počet pravidelných mnohouholníkov. Použite túto definíciu. Takže môžete nájsť päť pravidelných mnohostenov.
Prvé kroky k Eulerovej vete pre mnohosten
Gréci vedeli o mnohouholníku, ktorý sa dnes nazýva pentagram. Tento mnohouholník by sa dal nazvať pravidelným, pretože všetky jeho strany majú rovnakú dĺžku. Je tu ešte jedna dôležitá poznámka. Uhol medzi dvoma po sebe idúcimi stranami je vždy rovnaký. Pri kreslení v rovine však nedefinuje konvexnú množinu a strany mnohostenu sa navzájom pretínajú. Nebolo to však vždy tak. Matematici dlho uvažovali o myšlienke „nekonvexných“pravidelných mnohostenov. Pentagram bol jedným z nich. Povolené boli aj „hviezdne polygóny“. Bolo objavených niekoľko nových príkladov „pravidelných mnohostenov“. Teraz sa nazývajú mnohosteny Kepler-Poinsot. Neskôr G. S. M. Coxeter a Branko Grünbaum rozšírili pravidlá a objavili ďalšie „pravidelné mnohosteny“.
Polyedrický vzorec
Systematické štúdium týchto čísel sa začalo pomerne skoro v histórii matematiky. Leonhard Euler bol prvý, kto si všimol, že vzorec týkajúci sa počtu ich vrcholov, plôch a hrán platí pre konvexné 3D mnohosteny.
Vyzerá takto:
V + F – E=2, kde V je počet vrcholov mnohostenu, F je počet hrán mnohostenu a E je počet plôch.
Leonhard Euler je Švajčiarmatematik, ktorý je považovaný za jedného z najväčších a najproduktívnejších vedcov všetkých čias. Väčšinu svojho života bol slepý, no strata zraku mu dala dôvod stať sa ešte produktívnejším. Je po ňom pomenovaných niekoľko vzorcov a ten, na ktorý sme sa práve pozreli, sa niekedy nazýva Eulerov vzorec mnohostenu.
Je tu jedno vysvetlenie. Eulerov vzorec však funguje len pre mnohosteny, ktoré dodržiavajú určité pravidlá. Spočívajú v tom, že forma by nemala mať žiadne otvory. A je neprijateľné, aby sa krížilo. Mnohosten sa tiež nemôže skladať z dvoch častí spojených dohromady, ako sú napríklad dve kocky s rovnakým vrcholom. Euler spomenul výsledok svojho výskumu v liste Christianovi Goldbachovi v roku 1750. Neskôr publikoval dva články, v ktorých opísal, ako sa snažil nájsť dôkaz o svojom novom objave. V skutočnosti existujú formy, ktoré dávajú inú odpoveď na V + F - E. Odpoveď na súčet F + V - E=X sa nazýva Eulerova charakteristika. Má iný aspekt. Niektoré tvary môžu mať dokonca zápornú Eulerovu charakteristiku
Teória grafov
Niekedy sa tvrdí, že Eulerovu vetu odvodil už skôr Descartes. Hoci tento vedec objavil fakty o trojrozmerných mnohostenoch, ktoré by mu umožnili odvodiť požadovaný vzorec, tento dodatočný krok neurobil. Dnes je Euler považovaný za „otca“teórie grafov. Pomocou svojich nápadov vyriešil problém mosta Königsberg. Vedec sa ale na mnohosten nepozeral v kontexteteória grafov. Euler sa pokúsil podať dôkaz o vzorci založenom na rozklade mnohostenu na jednoduchšie časti. Tento pokus nespĺňa moderné štandardy dôkazov. Hoci Euler neuviedol prvé správne odôvodnenie svojho vzorca, nemožno dokázať dohady, ktoré neboli urobené. Výsledky, ktoré boli neskôr podložené, však umožňujú použiť Eulerovu vetu aj v súčasnosti. Prvý dôkaz získal matematik Adrian Marie Legendre.
Dôkaz Eulerovho vzorca
Euler prvýkrát sformuloval mnohostenný vzorec ako vetu o mnohostenoch. Dnes sa k nemu často pristupuje vo všeobecnejšom kontexte spojených grafov. Napríklad ako štruktúry pozostávajúce z bodov a ich spájajúcich úsečiek, ktoré sú v rovnakej časti. Augustin Louis Cauchy bol prvým človekom, ktorý našiel toto dôležité spojenie. Slúžil ako dôkaz Eulerovej vety. V podstate si všimol, že graf konvexného mnohostena (alebo toho, čo sa dnes takémuto nazýva) je topologicky homeomorfný ku gule, má súvislý plošný graf. Čo to je? Rovinný graf je taký, ktorý bol nakreslený v rovine tak, že jeho hrany sa stretávajú alebo pretínajú iba vo vrchole. Tu bolo nájdené spojenie medzi Eulerovou vetou a grafmi.
Jedným znakom dôležitosti výsledku je, že David Epstein dokázal zhromaždiť sedemnásť rôznych dôkazov. Existuje mnoho spôsobov, ako ospravedlniť Eulerov polyedrický vzorec. V istom zmysle sú najzrejmejšími dôkazmi metódy, ktoré využívajú matematickú indukciu. Výsledok sa dá dokázaťkreslenie pozdĺž počtu hrán, plôch alebo vrcholov grafu.
Dôkaz Rademachera a Toeplitza
Zvlášť atraktívny je nasledujúci dôkaz Rademachera a Toeplitza, založený na prístupe Von Staudta. Na zdôvodnenie Eulerovej vety predpokladajme, že G je súvislý graf vložený do roviny. Ak má schémy, je možné z každej z nich vylúčiť jednu hranu tak, aby sa zachovala vlastnosť, že zostane spojená. Medzi odstránenými časťami na prechod na spojený graf bez uzavretia a tými, ktoré nie sú nekonečnou hranou, existuje vzájomná zhoda. Tento výskum viedol ku klasifikácii „orientovateľných povrchov“z hľadiska takzvanej Eulerovej charakteristiky.
Jordánska krivka. Teorém
Hlavná téza, ktorá sa priamo alebo nepriamo používa pri dôkaze mnohostenného vzorca Eulerovej vety pre grafy, závisí od Jordanovej krivky. Táto myšlienka súvisí so zovšeobecňovaním. Hovorí, že každá jednoduchá uzavretá krivka rozdeľuje rovinu na tri množiny: body na nej, vnútri a mimo nej. Keď sa v devätnástom storočí rozvinul záujem o Eulerov polyedrický vzorec, urobili sa mnohé pokusy o jeho zovšeobecnenie. Tento výskum položil základ pre rozvoj algebraickej topológie a spojil ju s algebrou a teóriou čísel.
Moebius group
Čoskoro sa zistilo, že niektoré povrchy môžu byť „orientované“konzistentným spôsobom iba lokálne, nie globálne. Príkladom je známa Möbiova skupinapovrchy. O niečo skôr ho objavil Johann Listing. Tento pojem zahŕňa pojem rodu grafu: najmenší počet deskriptorov g. Musí byť pridaný na povrch gule a môže byť vložený na rozšírený povrch tak, že sa okraje stretávajú iba vo vrcholoch. Ukazuje sa, že akúkoľvek orientovateľnú plochu v euklidovskom priestore možno považovať za guľu s určitým počtom rukovätí.
Eulerov diagram
Vedec urobil ďalší objav, ktorý sa používa dodnes. Tento takzvaný Eulerov diagram je grafickým znázornením kruhov, ktoré sa zvyčajne používajú na znázornenie vzťahov medzi množinami alebo skupinami. Grafy zvyčajne obsahujú farby, ktoré sa prelínajú v oblastiach, kde sa kruhy prekrývajú. Súpravy sú znázornené presne kruhmi alebo oválmi, hoci na ne môžu byť použité aj iné figúrky. Začlenenie predstavuje prekrytie elipsy nazývané Eulerove kruhy.
Predstavujú množiny a podmnožiny. Výnimkou sú neprekrývajúce sa kruhy. Eulerove diagramy úzko súvisia s iným grafickým znázornením. Často sú zmätení. Toto grafické znázornenie sa nazýva Vennove diagramy. V závislosti od príslušných súprav môžu obe verzie vyzerať rovnako. Vo Vennových diagramoch však prekrývajúce sa kruhy nemusia nevyhnutne indikovať zhodu medzi súbormi, ale iba možný logický vzťah, ak ich označenia nie sú vpretínajúci sa kruh. Obe možnosti boli prijaté pre výučbu teórie množín ako súčasť nového matematického hnutia v 60. rokoch.
Fermatove a Eulerove vety
Euler zanechal výraznú stopu v matematickej vede. Algebraická teória čísel bola obohatená o vetu pomenovanú po ňom. Je to aj dôsledok ďalšieho dôležitého objavu. Toto je takzvaná všeobecná algebraická Lagrangeova veta. Eulerovo meno sa spája aj s Fermatovou malou vetou. Hovorí, že ak p je prvočíslo a a je celé číslo nedeliteľné p, potom:
ap-1 - 1 je deliteľné p.
Ten istý objav má niekedy iný názov, najčastejšie sa vyskytuje v zahraničnej literatúre. Znie to ako Fermatova vianočná veta. Ide o to, že objav sa stal známym vďaka listu od vedca zaslaného v predvečer 25. decembra 1640. Ale so samotným vyhlásením sme sa už stretli. Použil ho iný vedec menom Albert Girard. Fermat sa len snažil dokázať svoju teóriu. Autor v ďalšom liste naznačuje, že sa inšpiroval metódou nekonečného zostupu. Neposkytol však žiadne dôkazy. Neskôr sa k rovnakej metóde priklonil aj Eider. A po ňom mnohí ďalší slávni vedci, vrátane Lagrangea, Gaussa a Minkoskyho.
Funkcie identity
Fermatova malá veta sa vďaka Eulerovi nazýva aj špeciálny prípad vety z teórie čísel. V tejto teórii Eulerova funkcia identity počíta kladné celé čísla až po dané celé číslo n. Sú coprime s ohľadom nan. Eulerova veta v teórii čísel je napísaná pomocou gréckeho písmena φ a vyzerá ako φ(n). Formálnejšie ho možno definovať ako počet celých čísel k v rozsahu 1 ≦ k ≦ n, pre ktoré je najväčší spoločný deliteľ gcd(n, k) 1. Zápis φ(n) možno nazvať aj Eulerovou funkciou phi. Celé čísla k tejto formy sa niekedy nazývajú totatívne. V jadre teórie čísel je Eulerova funkcia identity multiplikatívna, čo znamená, že ak sú dve čísla m a n rovnaké, potom φ(mn)=φ(m)φ(n). Hrá tiež kľúčovú úlohu pri definovaní šifrovacieho systému RSA.
Eulerova funkcia bola predstavená v roku 1763. V tom čase však matematik pre ňu nevybral žiadny konkrétny symbol. V publikácii z roku 1784 Euler študoval túto funkciu podrobnejšie a na jej vyjadrenie si vybral grécke písmeno π. James Sylvester pre túto funkciu vymyslel výraz „totálny“. Preto sa označuje aj ako Eulerov súčet. Celkové φ(n) kladného celého čísla n väčšieho ako 1 je počet kladných celých čísel menších ako n, ktoré sú relatívne prvočíslo až do n.φ(1) je definované ako 1. Eulerova funkcia alebo funkcia phi(φ) je veľmi dôležitá číselná teoretická funkcia, ktorá hlboko súvisí s prvočíslami a takzvaným poradím celých čísel.
