Geometria je krásna, pretože na rozdiel od algebry, kde nie je vždy jasné, čo si myslíte a prečo, dáva objektu viditeľnosť. Tento nádherný svet rôznych tiel zdobia pravidelné mnohosteny.
Všeobecné informácie o bežných mnohostenoch
Podľa mnohých majú pravidelné mnohosteny, alebo ako sa tiež nazývajú platónske telesá, jedinečné vlastnosti. S týmito objektmi sa spája niekoľko vedeckých hypotéz. Keď začnete študovať tieto geometrické telesá, pochopíte, že neviete prakticky nič o takom koncepte, akým sú pravidelné mnohosteny. Prezentácia týchto predmetov v škole nie je vždy zaujímavá, preto si mnohí ani nepamätajú, ako sa volajú. Väčšina ľudí si pamätá iba kocku. Žiadne z telies v geometrii nie je také dokonalé ako pravidelné mnohosteny. Všetky názvy týchto geometrických telies pochádzajú zo starovekého Grécka. Znamenajú počet stien: štvorsten - štvorsten, šesťsten - šesťsten, osemsten - osemsten, dvanásťsten - dvanásťsten, dvadsaťsten - dvadsaťsten. Všetky tieto geometrické telesázaujímal dôležité miesto v Platónovej koncepcii vesmíru. Štyri z nich zosobňovali prvky alebo entity: štvorsten - oheň, dvadsaťsten - voda, kocka - zem, osemsten - vzduch. Dvanásťsten stelesňoval všetko, čo existuje. Bol považovaný za hlavný, pretože bol symbolom vesmíru.
Zovšeobecnenie pojmu mnohosten
Mnohosten je súbor konečného počtu mnohouholníkov tak, že:
- každá zo strán ktoréhokoľvek z mnohouholníkov je súčasne stranou iba jedného ďalšieho mnohouholníka na tej istej strane;
- z každého z polygónov sa môžete dostať k ostatným tak, že prejdete pozdĺž susedných polygónov.
Mnohouholníky, ktoré tvoria mnohosten, sú jeho steny a ich strany sú hrany. Vrcholy mnohostenov sú vrcholy mnohouholníkov. Ak sa pojem mnohouholník chápe ako ploché uzavreté prerušované čiary, potom sa dostaneme k jednej definícii mnohostenu. V prípade, že tento pojem znamená časť roviny, ktorá je ohraničená prerušovanými čiarami, potom je potrebné chápať povrch pozostávajúci z polygonálnych častí. Konvexný mnohosten je teleso ležiace na jednej strane roviny susediacej s jeho tvárou.
Ďalšia definícia mnohostenu a jeho prvkov
Mnohosten je plocha pozostávajúca z mnohouholníkov, ktorá ohraničuje geometrické teleso. Sú to:
- nekonvexné;
- konvexné (správne a nesprávne).
Pravidelný mnohosten je konvexný mnohosten s maximálnou symetriou. Prvky pravidelných mnohostenov:
- tetrahedron: 6 hrán, 4 plochy, 5 vrcholov;
- hexahedron (kocka): 12, 6, 8;
- dodecahedron: 30, 12, 20;
- oktaedrón: 12, 8, 6;
- ikosahedrón: 30, 20, 12.
Eulerova veta
Vytvára vzťah medzi počtom hrán, vrcholov a plôch, ktoré sú topologicky ekvivalentné gule. Sčítaním počtu vrcholov a plôch (B + D) rôznych pravidelných mnohostenov a ich porovnaním s počtom hrán možno vytvoriť jeden vzor: súčet počtu plôch a vrcholov sa rovná zvýšenému počtu hrán (P). o 2. Môžete odvodiť jednoduchý vzorec:
B + D=R + 2
Tento vzorec platí pre všetky konvexné mnohosteny.
Základné definície
Koncept pravidelného mnohostenu sa nedá opísať jednou vetou. Je to zmysluplnejšie a objemnejšie. Aby bol orgán uznaný ako taký, musí spĺňať niekoľko definícií. Geometrické teleso bude teda pravidelným mnohostenom, ak budú splnené nasledujúce podmienky:
- je konvexný;
- rovnaký počet hrán sa zbieha v každom z jeho vrcholov;
- všetky jeho plochy sú pravidelné mnohouholníky, ktoré sa navzájom rovnajú;
- všetky jeho dihedrálne uhly sú rovnaké.
Vlastnosti pravidelného mnohostenu
Existuje 5 rôznych typov pravidelných mnohostenov:
- Kocka (šesťsten) - v hornej časti má plochý uhol 90°. Má 3-stranný uhol. Súčet plochých uhlov v hornej časti je 270°.
- Tetrahedron - plochý uhol hore - 60°. Má 3-stranný uhol. Súčet plochých uhlov v hornej časti je 180°.
- Octaedrón - plochý vrcholový uhol - 60°. Má 4-stranný roh. Súčet plochých uhlov v hornej časti je 240°.
- Dodekaedrón - plochý uhol vo vrchole 108°. Má 3-stranný uhol. Súčet plochých uhlov v hornej časti je 324°.
- Ikosahedrón – hore má plochý uhol – 60°. Má 5-stranný uhol. Súčet plochých uhlov v hornej časti je 300°.
Plocha pravidelného mnohostenu
Povrch týchto geometrických telies (S) sa vypočíta ako plocha pravidelného mnohouholníka vynásobená počtom jeho plôch (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
Objem bežného mnohostena
Táto hodnota sa vypočíta vynásobením objemu pravidelnej pyramídy, na základni ktorej je pravidelný mnohouholník, počtom stien a jej výška je polomerom vpísanej gule (r):
V=1: 3rS
Objemy pravidelných mnohostenov
Ako každé iné geometrické teleso, aj pravidelné mnohosteny majú rôzne objemy. Nižšie sú uvedené vzorce, podľa ktorých ich môžete vypočítať:
- tetrahedron: α x 3√2: 12;
- oktaedrón: α x 3√2: 3;
- icosahedron; α x 3;
- hexaedrón (kocka): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- dodekaedrón: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Prvky pravidelného mnohostenu
Šesťsten a osemsten sú duálne geometrické telesá. Inými slovami, možno ich získať jeden od druhého, ak sa ťažisko tváre jednej zoberie ako vrchol druhej a naopak. Dvanásťsten a dvanásťsten sú tiež dvojité. Iba štvorsten je duálny sám so sebou. Podľa Euklidovej metódy môžete zo šesťstenu získať dvanásťsten stavaním „strech“na steny kocky. Vrcholy štvorstenu budú ľubovoľné 4 vrcholy kocky, ktoré nie sú susediace v pároch pozdĺž hrany. Z šesťstenu (kocky) môžete získať ďalšie pravidelné mnohosteny. Napriek tomu, že existuje nespočetné množstvo pravidelných mnohouholníkov, existuje iba 5 pravidelných mnohostenov.
Polomer pravidelných mnohouholníkov
S každým z týchto geometrických telies sú spojené 3 sústredné gule:
- popísané, prechádzajúce cez jeho vrcholy;
- vpísané, dotýkajúce sa každej zo svojich tvárí v strede;
- medián, dotýkajúci sa všetkých okrajov v strede.
Polomer opísanej gule sa vypočíta podľa nasledujúceho vzorca:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
Polomer vpísanej gule sa vypočíta podľa vzorca:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
kde θ je dihedrálny uhol medzi susednými plochami.
Pomer strednej gule možno vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca:
ρ=a cos π/p: 2 sin π/h,
kde hodnota h=4, 6, 6, 10 alebo 10. Pomer opísaných a vpísaných polomerov je symetrický vzhľadom na p a q. tovypočítané podľa vzorca:
R/r=tg π/p x tg π/q
Symetria mnohostenov
Symetria pravidelných mnohostenov spôsobuje hlavný záujem o tieto geometrické telesá. Rozumie sa ním taký pohyb telesa v priestore, ktorý zanecháva rovnaký počet vrcholov, plôch a hrán. Inými slovami, pod vplyvom transformácie symetrie si hrana, vrchol, plocha buď zachová svoju pôvodnú polohu, alebo sa presunie do pôvodnej polohy inej hrany, vrcholu alebo plochy.
Prvky symetrie pravidelných mnohostenov sú charakteristické pre všetky typy takýchto geometrických telies. Tu hovoríme o identickej transformácii, ktorá ponechá niektorý z bodov v pôvodnej polohe. Takže keď otočíte polygonálny hranol, môžete získať niekoľko symetrií. Ktorýkoľvek z nich môže byť reprezentovaný ako produkt odrazov. Symetria, ktorá je výsledkom párneho počtu odrazov, sa nazýva priamka. Ak je to súčin nepárneho počtu odrazov, potom sa nazýva inverzný. Všetky rotácie okolo priamky sú teda priama symetria. Akýkoľvek odraz mnohostenu je inverzná symetria.
Pre lepšie pochopenie prvkov symetrie pravidelných mnohostenov si môžeme vziať príklad štvorstena. Akákoľvek priamka, ktorá bude prechádzať jedným z vrcholov a stred tohto geometrického útvaru, prejde aj stredom protiľahlej plochy. Každý zo 120° a 240° otočení okolo čiary je množný.symetria štvorstenu. Keďže má 4 vrcholy a 4 steny, existuje iba osem priamych symetrií. Ktorákoľvek z čiar prechádzajúcich stredom okraja a stred tohto telesa prechádza stredom jeho protiľahlého okraja. Akékoľvek otočenie o 180°, nazývané polovičná otáčka, okolo priamky je symetria. Keďže štvorsten má tri páry hrán, existujú ďalšie tri priame symetrie. Na základe vyššie uvedeného môžeme konštatovať, že celkový počet priamych symetrií, vrátane identickej transformácie, dosiahne dvanásť. Štvorsten nemá žiadne ďalšie priame symetrie, ale má 12 inverzných symetrií. Preto je štvorsten charakterizovaný celkovo 24 symetriami. Pre názornosť si môžete postaviť model pravidelného štvorstenu z kartónu a uistiť sa, že toto geometrické teleso má naozaj len 24 symetrií.
Dvanásťsten a dvadsaťsten sú najbližšie k sfére tela. Dvadsaťsten má najväčší počet plôch, najväčší dihedrálny uhol a možno ho najpevnejšie pritlačiť k vpísanej gule. Dvanásťsten má najmenší uhlový defekt, najväčší priestorový uhol pri vrchole. Dokáže naplniť svoju opísanú guľu na maximum.
Sweeps of polyhedra
Bežné nezabalené mnohosteny, ktoré sme v detstve všetci zliepali, majú mnoho konceptov. Ak existuje súbor polygónov, ktorých každá strana je identifikovaná iba jednou stranou mnohostenu, potom identifikácia strán musí spĺňať dve podmienky:
- z každého polygónu môžete prejsť na polygóny, ktoré majúidentifikovaná strana;
- identifikované strany musia mať rovnakú dĺžku.
Súbor polygónov, ktoré spĺňajú tieto podmienky, sa nazýva vývoj mnohostenu. Každé z týchto orgánov ich má niekoľko. Napríklad kocka ich má 11.
