Logaritmy: príklady a riešenia

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy zmenené: 2024-01-02 17:55

Ako viete, pri násobení výrazov mocninami sa ich exponenty vždy sčítajú (a^ba^c=a^{b+ c). Tento matematický zákon odvodil Archimedes a neskôr, v 8. storočí, vytvoril matematik Virasen tabuľku celočíselných ukazovateľov. Boli to oni, ktorí slúžili na ďalšie objavovanie logaritmov. Príklady použitia tejto funkcie nájdeme takmer všade tam, kde je potrebné zjednodušiť ťažkopádne násobenie na jednoduché sčítanie. Ak strávite 10 minút čítaním tohto článku, vysvetlíme vám, čo sú to logaritmy a ako s nimi pracovať. Jednoduchý a prístupný jazyk.}

Definícia v matematike

Logaritmus je vyjadrením nasledujúceho tvaru: log_ab=c c“do ktorého musíte zvýšiť základ „a“, aby ste nakoniec dostali hodnotu „ b . Analyzujme logaritmus pomocou príkladov, povedzme, že existuje výraz log_{28. Ako nájsť odpoveď? Je to veľmi jednoduché, musíte nájsť taký stupeň, aby ste od 2 do požadovaného stupňa dostali 8. Po vykonaní niekoľkých výpočtov vo vašej mysli dostaneme číslo 3! A je to pravda, pretože2 umocnené na 3 dáva odpoveď 8.}

Rôzne logaritmy

Mnohým žiakom a študentom sa táto téma zdá zložitá a nezrozumiteľná, no v skutočnosti logaritmy nie sú také strašidelné, hlavné je pochopiť ich všeobecný význam a zapamätať si ich vlastnosti a niektoré pravidlá. Existujú tri samostatné druhy logaritmických výrazov:

Prirodzený logaritmus ln a, kde základom je Eulerovo číslo (e=2, 7).
Desatinný logaritmus lg a, kde základom je číslo 10.
Logaritmus ľubovoľného čísla b na základ a>1.

Každá z nich je riešená štandardným spôsobom, vrátane zjednodušenia, redukcie a následnej redukcie na jeden logaritmus pomocou logaritmických viet. Aby ste získali správne hodnoty logaritmov, mali by ste si zapamätať ich vlastnosti a poradie akcií pri ich riešení.

Pravidlá a niektoré obmedzenia

V matematike existuje niekoľko pravidiel-obmedzení, ktoré sú akceptované ako axióma, to znamená, že sa o nich nedá vyjednávať a sú pravdivé. Napríklad nie je možné deliť čísla nulou a tiež nie je možné zo záporných čísel vziať párny odmocninec. Logaritmy majú tiež svoje pravidlá, podľa ktorých sa ľahko naučíte pracovať aj s dlhými a objemnými logaritmickými výrazmi:

základ „a“musí byť vždy väčší ako nula a zároveň nesmie byť rovný 1, inak výraz stratí svoj význam, pretože „1“a „0“v akomkoľvek stupni sú vždy rovná ich hodnotám;
ak je > 0, potom ab>0,ukázalo sa, že "c" musí byť tiež väčšie ako nula.

Ako riešiť logaritmy?

Ak napríklad dostaneme za úlohu nájsť odpoveď na rovnicu 10^x=100. Je to veľmi jednoduché, treba zvoliť takú mocninu, zdvihnutím čísla desať získaj 100. Toto, samozrejme, kvadratická mocnosť! 10^2=100.

Teraz predstavme tento výraz ako logaritmický. Dostaneme log_{10100=2. Pri riešení logaritmov všetky akcie prakticky konvergujú k nájdeniu mocniny, do ktorej musí byť zadaný základ logaritmu, aby sa získalo dané číslo.}

Ak chcete presne určiť hodnotu neznámeho stupňa, musíte sa naučiť pracovať s tabuľkou stupňov. Vyzerá to takto:

Ako vidíte, niektoré exponenty možno uhádnuť intuitívne, ak máte technické myslenie a znalosti násobilky. Väčšie hodnoty však budú vyžadovať tabuľku výkonu. Využiť ho môžu aj tí, ktorí v zložitých matematických témach nerozumejú vôbec ničomu. Ľavý stĺpec obsahuje čísla (základ a), horný rad čísel je hodnota mocniny c, na ktorú je číslo a umocnené. Na priesečníku bunky definujú hodnoty čísel, ktoré sú odpoveďou (ac=b). Zoberme si napríklad úplne prvú bunku s číslom 10 a odmocnime ju, dostaneme hodnotu 100, ktorá je naznačená na priesečníku našich dvoch buniek. Všetko je také jednoduché a ľahké, že to pochopí aj ten najskutočnejší humanista!

Rovnice a nerovnice

Ukazuje sa, že kedyZa určitých podmienok je exponentom logaritmus. Preto akékoľvek matematické numerické výrazy možno zapísať ako logaritmickú rovnicu. Napríklad 3⁴=81 možno zapísať ako logaritmus 81 k základu 3, čo sú štyri (log₃81=4). Pre záporné stupne sú pravidlá rovnaké: 2^-5=1/32 zapísaná ako logaritmus, dostaneme log_{2 (1/32)=-5. Jednou z najfascinujúcejších častí matematiky je téma „logaritmov“. Príklady a riešenia rovníc zvážime o niečo nižšie, hneď po preštudovaní ich vlastností. Zatiaľ sa pozrime, ako vyzerajú nerovnosti a ako ich odlíšiť od rovníc.}

Je daný nasledujúci výraz: log_{2(x-1) > 3 - ide o logaritmickú nerovnosť, keďže neznáma hodnota "x" je pod znamienkom logaritmus. Výraz tiež porovnáva dve hodnoty: základný dva logaritmus požadovaného čísla je väčší ako číslo tri.}

Najdôležitejší rozdiel medzi logaritmickými rovnicami a nerovnosťami je ten, že rovnice s logaritmami (príklad - logaritmus₂x=√9) _{znamenajú v odpovedi jedna alebo viac konkrétnych číselných hodnôt, pričom pri riešení nerovnosti sa určuje rozsah prijateľných hodnôt aj zlomové body tejto funkcie. Výsledkom je, že odpoveďou nie je jednoduchá množina jednotlivých čísel ako v odpovedi rovnice, ale súvislý rad alebo množina čísel.}

Základné vety o logaritmoch

Pri riešení primitívnych úloh na nájdenie hodnôt logaritmu možno nepoznáte jeho vlastnosti. Pokiaľ však ide o logaritmické rovnice alebo nerovnice, v prvom rade je potrebné jasne pochopiť a prakticky aplikovať všetky základné vlastnosti logaritmov. S príkladmi rovníc sa zoznámime neskôr, najskôr si každú vlastnosť podrobnejšie rozoberieme.

Základná identita vyzerá takto: alogaB=B. Platí to len vtedy, ak a je väčšie ako 0, nerovná sa jednej a B je väčšie ako nula.

Logaritmus produktu môže byť vyjadrený v nasledujúcom vzorci: log_d(s₁s_2)=logd_s1 _{+ log}d_s2. _{V tomto prípade je povinná podmienka: d, s}1 _{a s}2 _{> 0; a≠1. Môžete poskytnúť dôkaz pre tento vzorec logaritmov s príkladmi a riešením. Nech log}a_s1 _=f1 _{a log}a_s 2_=f2_{, potom a}f1^=s1_{, a} f2^=s2. _{Dostávame to s}1_s2 _=af1^a f2^=af1+f2 ^{(vlastnosti stupňov) a ďalej podľa definície: log}a_(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_=log a_{s1 + log}a_s2, _{čo malo byť dokázané.}

Logaritmus kvocientu vyzerá takto: log_a(s_1/s₂)=log _as₁- log_as_2.

Veta vo forme vzorca má nasledujúci tvar: log_a^qbⁿ =n/q log_ab.

Tento vzorec sa nazýva "vlastnosť stupňa logaritmu". Pripomína vlastnosti bežných stupňov a nie je to prekvapujúce, pretože celá matematika spočíva na pravidelných postulátoch. Pozrime sa na dôkaz.

Nechajte log_ab=t, dostaneme a^t=b. Ak zdvihnete obe strany na mocninu m: a^tn=b^;

ale pretože a^tn=(a^q)^nt/q=b ^{, teda log}aq _bn=(nt)/t, potom log^a_q b_n=n/q log^ab. Veta dokázaná.

Príklady problémov a nerovností

Najčastejšími typmi logaritmických problémov sú príklady rovníc a nerovníc. Nachádzajú sa takmer vo všetkých problémových knihách a sú zahrnuté aj v povinnej časti skúšok z matematiky. Ak chcete vstúpiť na univerzitu alebo prejsť vstupnými testami z matematiky, musíte vedieť, ako správne riešiť takéto úlohy.

Bohužiaľ, neexistuje jediný plán alebo schéma na riešenie a určenie neznámej hodnoty logaritmu, ale na každú matematickú nerovnosť alebo logaritmickú rovnicu možno použiť určité pravidlá. V prvom rade by ste si mali zistiť, či je možné výraz zjednodušiť alebo zredukovať na všeobecnú formu. Dlhé logaritmické výrazy môžete zjednodušiť, ak správne použijete ich vlastnosti. Poďme ich čoskoro spoznať.

Pri riešení logaritmických rovníc,je potrebné určiť, aký druh logaritmu máme pred sebou: príklad výrazu môže obsahovať prirodzený logaritmus alebo desiatkový.

Tu sú príklady desiatkových logaritmov: ln100, ln1026. Ich riešenie sa scvrkáva na skutočnosť, že musíte určiť, do akej miery sa základ 10 bude rovnať 100 a 1026. Pre riešenia prirodzených logaritmov je potrebné použiť logaritmické identity alebo ich vlastnosti. Pozrime sa na príklady riešenia logaritmických problémov rôznych typov.

Ako používať logaritmické vzorce: s príkladmi a riešeniami

Pozrime sa teda na príklady použitia hlavných viet o logaritmoch.

Vlastnosť logaritmu súčinu možno využiť v úlohách, kde je potrebné rozložiť veľkú hodnotu čísla b na jednoduchšie faktory. Napríklad log₂4 + log₂128=log₂(4128)=log_{2512. Odpoveď je 9.}

log₄8=log_2² 2³ =3/2 log_{22=1, 5 - ako vidíte, aplikáciou štvrtej vlastnosti stupňa logaritmu sa nám na prvý pohľad podarilo vyriešiť zložitý a neriešiteľný výraz. Všetko, čo musíte urobiť, je faktor základne a potom odobrať silu zo znamienka logaritmu.}

príklady riešenia prirodzených logaritmov

Úlohy zo skúšky

Logaritmy sa často vyskytujú na prijímacích skúškach, najmä veľa logaritmických problémov pri Jednotnej štátnej skúške (štátna skúška pre všetkých absolventov škôl). Zvyčajne sú tieto úlohy prítomné nielen v časti A (najviacľahká testová časť skúšky), ale aj časť C (najťažšie a najobjemnejšie úlohy). Skúška vyžaduje presnú a dokonalú znalosť témy "Prirodzené logaritmy".

Príklady a riešenia problémov sú prevzaté z oficiálnych verzií skúšky. Pozrime sa, ako sa takéto úlohy riešia.

Given log₂(2x-1)=4. Riešenie:

prepíšte výraz a trochu ho zjednodušte log_2(2x-1)=22^{, definíciou logaritmu dostaneme, že 2x-1=2}4^{, teda 2x=17; x=8, 5.}

Postupujte podľa niekoľkých pokynov, podľa ktorých môžete jednoducho vyriešiť všetky rovnice obsahujúce výrazy, ktoré sú pod znamienkom logaritmu.

Najlepšie je zredukovať všetky logaritmy na rovnaký základ, aby riešenie nebolo ťažkopádne a mätúce.
Všetky výrazy pod logaritmickým znamienkom sú označené ako kladné, takže pri násobení exponentu výrazu, ktorý je pod logaritmickým znamienkom a ako jeho základ, musí byť výraz zostávajúci pod logaritmom kladný.