Vo fyzike je často potrebné riešiť problémy na výpočet rovnováhy v zložitých systémoch, ktoré majú veľa pôsobiacich síl, pák a osí otáčania. V tomto prípade je najjednoduchšie použiť koncept momentu sily. Tento článok poskytuje všetky potrebné vzorce s podrobnými vysvetleniami, ktoré by sa mali použiť na riešenie problémov uvedeného typu.
O čom sa budeme rozprávať?
Mnoho ľudí si pravdepodobne všimlo, že ak pôsobíte akoukoľvek silou na objekt upevnený v určitom bode, začne sa otáčať. Nápadným príkladom sú dvere do domu alebo do izby. Ak ho vezmete za rukoväť a zatlačíte (vyviniete silu), začne sa otvárať (zapne pánty). Tento proces je v každodennom živote prejavom pôsobenia fyzikálnej veličiny, ktorá sa nazýva moment sily.
Z opísaného príkladu s dverami vyplýva, že predmetná hodnota označuje schopnosť sily otáčať sa, čo je jej fyzikálny význam. Aj táto hodnotasa nazýva moment krútenia.
Určenie momentu sily
Pred definovaním uvažovaného množstva si urobme jednoduchý obrázok.
Na obrázku je teda páka (modrá), ktorá je upevnená na osi (zelená). Táto páka má dĺžku d a na jej koniec pôsobí sila F. Čo sa v tomto prípade stane so systémom? Správne, páčka sa pri pohľade zhora začne otáčať proti smeru hodinových ručičiek (všimnite si, že ak trochu natiahnete fantáziu a predstavíte si, že pohľad smeruje zdola na páku, tak sa bude otáčať v smere hodinových ručičiek).
Nech sa bod pripojenia osi nazýva O a bod pôsobenia sily - P. Potom môžeme napísať nasledujúci matematický výraz:
OP¯ F¯=M¯FO.
Kde OP¯ je vektor, ktorý smeruje od osi ku koncu páky, nazýva sa aj silová páka, F¯je vektor pôsobiaca sila na bod P a M¯FO je moment sily okolo bodu O (osi). Tento vzorec je matematickou definíciou danej fyzikálnej veličiny.
Smer momentu a pravidlo pravej ruky
Výraz uvedený vyššie predstavuje krížový produkt. Ako viete, jeho výsledkom je tiež vektor, ktorý je kolmý na rovinu prechádzajúcu cez príslušné multiplikačné vektory. Táto podmienka je splnená dvoma smermi hodnoty M¯FO (nadol a nahor).
Jedinečnena určenie by sa malo použiť takzvané pravidlo pravej ruky. Dá sa to formulovať takto: ak zohnete štyri prsty pravej ruky do polovičného oblúka a nasmerujete tento polovičný oblúk tak, aby išiel pozdĺž prvého vektora (prvý faktor vo vzorci) a prešiel na koniec druhý, potom palec vyčnievajúci nahor bude ukazovať smer momentu krútenia. Upozorňujeme tiež, že pred použitím tohto pravidla musíte nastaviť vynásobené vektory tak, aby vychádzali z rovnakého bodu (ich počiatky sa musia zhodovať).
V prípade obrázku v predchádzajúcom odseku môžeme pomocou pravidla pravej ruky povedať, že moment sily vzhľadom na os bude smerovať nahor, teda k nám.
Okrem označenej metódy určenia smeru vektora M¯FO sú ešte dve. Tu sú ich:
- Moment krútenia bude nasmerovaný tak, že ak sa pozriete na otáčajúcu sa páku z konca jej vektora, táto sa bude pohybovať proti hodinám. Vo všeobecnosti sa pri riešení rôznych druhov problémov považuje toto smerovanie momentu za pozitívne.
- Ak otočíte prívesok v smere hodinových ručičiek, krútiaci moment bude smerovať k pohybu (prehĺbeniu) prívesku.
Všetky vyššie uvedené definície sú ekvivalentné, takže každý si môže vybrať tú, ktorá mu vyhovuje.
Zistilo sa teda, že smer momentu sily je rovnobežný s osou, okolo ktorej sa otáča príslušná páka.
Uhlová sila
Pozrite si obrázok nižšie.
Tu tiež vidíme páku dĺžky L upevnenú v bode (označený šípkou). Pôsobí na ňu sila F, ktorá však smeruje k vodorovnej páke pod určitým uhlom Φ (phi). Smer okamihu M¯FO v tomto prípade bude rovnaký ako na predchádzajúcom obrázku (na nás). Ak chcete vypočítať absolútnu hodnotu alebo modul tohto množstva, musíte použiť vlastnosť krížového produktu. Podľa neho pre uvažovaný príklad môžete napísať výraz: MFO=LFsin(180 o -Φ) alebo pomocou vlastnosti sínus prepíšeme:
MFO=LFsin(Φ).
Na obrázku je znázornený aj dokončený pravouhlý trojuholník, ktorého strany tvoria samotná páka (hypotenúza), línia pôsobenia sily (noha) a strana dĺžky d (druhá noha). Vzhľadom na to, že sin(Φ)=d/L, tento vzorec bude mať tvar: MFO=dF. Je vidieť, že vzdialenosť d je vzdialenosť od bodu pripevnenia páky k línii pôsobenia sily, to znamená, že d je páka sily.
Oba vzorce uvedené v tomto odseku, ktoré vyplývajú priamo z definície momentu krútenia, sú užitočné pri riešení praktických problémov.
Jednotky krútiaceho momentu
Pomocou definície je možné stanoviť, že hodnota MFO by sa mala merať v newtonoch na meter (Nm). V skutočnosti sa vo forme týchto jednotiek používa v SI.
Všimnite si, že Nm je jednotka práce, ktorá sa vyjadruje v jouloch, ako je energia. Jouly sa však nepoužívajú pre koncept momentu sily, pretože táto hodnota presne odráža možnosť implementácie druhého. Existuje však súvislosť s jednotkou práce: ak sa v dôsledku sily F páka úplne pootočí okolo svojho bodu otáčania O, vykonaná práca sa bude rovnať A=MF O 2pi (2pi je uhol v radiánoch, ktorý zodpovedá 360o). V tomto prípade môže byť jednotka krútiaceho momentu MFO vyjadrená v jouloch na radián (J/rad.). Ten sa spolu s Hm používa aj v sústave SI.
Varignonova veta
Na konci 17. storočia francúzsky matematik Pierre Varignon, ktorý študoval rovnováhu systémov s pákami, prvýkrát sformuloval vetu, ktorá teraz nesie jeho priezvisko. Je formulovaný nasledovne: celkový moment viacerých síl sa rovná momentu výslednej jednej sily, ktorá pôsobí na určitý bod vzhľadom na rovnakú os otáčania. Matematicky to možno zapísať takto:
M¯1+M¯2 +…+M¯=M¯=d¯ ∑ i=1(F¯i)=d¯F¯.
Túto vetu je vhodné použiť na výpočet torzných momentov v systémoch s viacerými pôsobiacimi silami.
Ďalej uvádzame príklad použitia vyššie uvedených vzorcov na riešenie problémov vo fyzike.
Problém s kľúčom
Jedno zPozoruhodným príkladom demonštrácie dôležitosti zohľadnenia momentu sily je proces odskrutkovania matíc pomocou kľúča. Ak chcete odskrutkovať maticu, musíte použiť určitý krútiaci moment. Je potrebné vypočítať, aká sila by mala byť použitá v bode A, aby sa matica začala odskrutkovať, ak je táto sila v bode B 300 N (pozri obrázok nižšie).
Z vyššie uvedeného obrázku vyplývajú dve dôležité veci: po prvé, vzdialenosť OB je dvojnásobkom vzdialenosti OA; po druhé, sily FA a FBsmerujú kolmo na zodpovedajúcu páku, pričom os otáčania sa zhoduje so stredom matice (bod O).
Krútiaci moment pre tento prípad možno zapísať v skalárnom tvare takto: M=OBFB=OAFA. Keďže OB/OA=2, táto rovnosť bude platiť iba vtedy, ak je FA 2-krát väčšie ako FB. Zo stavu problému získame, že FA=2300=600 N. To znamená, že čím dlhší je kľúč, tým ľahšie je odskrutkovať maticu.
Problém s dvoma loptičkami rôznych hmotností
Na obrázku nižšie je znázornený systém, ktorý je v rovnováhe. Ak je dĺžka dosky 3 metre, je potrebné nájsť polohu otočného bodu.
Keďže systém je v rovnováhe, súčet momentov všetkých síl je rovný nule. Na dosku pôsobia tri sily (váha dvoch loptičiek a reakčná sila podpery). Keďže podperná sila nevytvára krútiaci moment (dĺžka páky je nulová), sú len dva momenty vytvárané váhou loptičiek.
Nech je rovnovážny bod vo vzdialenosti x odokraj obsahujúci 100 kg loptičku. Potom môžeme napísať rovnosť: M1-M2=0. Keďže hmotnosť telesa je určená vzorcom mg, potom máme: m 1gx - m2g(3-x)=0. Zmenšíme g a dosadíme údaje, dostaneme: 100x - 5(3-x)=0=> x=15/105=0,143 m alebo 14,3 cm.
Aby bol teda systém v rovnováhe, je potrebné vo vzdialenosti 14,3 cm od okraja stanoviť referenčný bod, kde bude ležať guľa s hmotnosťou 100 kg.
