Čo sú premenné? Premenná v matematike

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy zmenené: 2024-01-02 17:55

Význam premenných v matematike je veľký, pretože počas jej existencie sa vedcom podarilo v tejto oblasti urobiť mnoho objavov a aby sme stručne a jasne vyslovili tú či onú vetu, pomocou premenných napíšeme zodpovedajúce vzorce. Napríklad Pytagorova veta o pravouhlom trojuholníku: a² =b² + c^{2. Ako písať zakaždým pri riešení úlohy: podľa Pytagorovej vety sa druhá mocnina prepony rovná súčtu druhých mocnín nôh - zapíšeme to pomocou vzorca a všetko sa okamžite vyjasní.}

V tomto článku sa teda budeme zaoberať tým, čo sú premenné, ich typy a vlastnosti. Zohľadnia sa aj rôzne matematické výrazy: nerovnosti, vzorce, systémy a algoritmy na ich riešenie.

Premenný koncept

V prvom rade, čo je to premenná? Ide o číselnú hodnotu, ktorá môže nadobúdať mnoho hodnôt. Nemôže byť konštantná, pretože v rôznych problémoch a rovniciach pre pohodlie berieme riešenia akopremenné rôzne čísla, teda napríklad z je všeobecné označenie pre každú z veličín, pre ktoré sa berie. Zvyčajne sa označujú písmenami latinskej alebo gréckej abecedy (x, y, a, b atď.).

Existujú rôzne druhy premenných. Nastavujú niektoré fyzikálne veličiny - cestu (S), čas (t) a jednoducho neznáme hodnoty v rovniciach, funkciách a iných výrazoch.

Existuje napríklad vzorec: S=Vt. Tu premenné označujú určité veličiny súvisiace so skutočným svetom – cestu, rýchlosť a čas.

A existuje rovnica v tvare: 3x - 16=12x. Tu je x už brané ako abstraktné číslo, ktoré dáva zmysel v tomto zápise.

Typy množstiev

Množstvo znamená niečo, čo vyjadruje vlastnosti určitého predmetu, látky alebo javu. Napríklad teplota vzduchu, hmotnosť zvieraťa, percento vitamínov v tablete - to všetko sú veličiny, ktorých číselné hodnoty je možné vypočítať.

Každá veličina má svoje vlastné merné jednotky, ktoré spolu tvoria systém. Nazýva sa to číselný systém (SI).

Čo sú premenné a konštanty? Zvážte ich na konkrétnych príkladoch.

Vezmime si priamočiary rovnomerný pohyb. Bod v priestore sa pohybuje zakaždým rovnakou rýchlosťou. To znamená, že čas a vzdialenosť sa menia, ale rýchlosť zostáva rovnaká. V tomto príklade sú čas a vzdialenosť premenné a rýchlosť je konštantná.

Alebo napríklad „pi“. Toto je iracionálne číslo, ktoré pokračuje bez opakovaniapostupnosť číslic a nemožno ju zapísať celú, preto sa v matematike vyjadruje všeobecne akceptovaným symbolom, ktorý nadobúda iba hodnotu daného nekonečného zlomku. To znamená, že „pi“je konštantná hodnota.

História

História zápisu premenných sa začína v sedemnástom storočí u vedca Reného Descarta.

Známe hodnoty označil prvými písmenami abecedy: a, b atď., a pre neznáme navrhol použiť posledné písmená: x, y, z. Je pozoruhodné, že Descartes považoval takéto premenné za nezáporné čísla, a keď sa stretol so zápornými parametrami, dal pred premennú znamienko mínus alebo, ak nebolo známe, o aké znamienko ide, elipsu. Postupom času však názvy premenných začali označovať čísla akéhokoľvek znaku a začalo to matematikom Johannom Huddem.

S premennými sa výpočty v matematike riešia ľahšie, pretože napríklad ako teraz riešime bikvadratické rovnice? Zadáme premennú. Napríklad:

x⁴ + 15x^{2 + 7=0}

Pre x2 vezmeme nejaké k a rovnica je jasná:

x2=k, pre k ≧ 0

k2 + 15k + 7=0

Toto prináša zavedenie premenných do matematiky.

Nerovnosti, príklady riešení

Nerovnosť je záznam, v ktorom sú dva matematické výrazy alebo dve čísla spojené porovnávacími znamienkami:, ≦, ≧. Sú prísne a sú označené znakmi alebo neprísne so znakmi ≦, ≧.

Po prvýkrát sa tieto značky predstaviliThomas Harriot. Po Thomasovej smrti vyšla jeho kniha s týmito zápismi, matematici si ich obľúbili a postupom času sa stali široko používanými v matematických výpočtoch.

Pri riešení jednotlivých premenných nerovností je potrebné dodržiavať niekoľko pravidiel:

Pri prenose čísla z jednej časti nerovnosti do druhej zmeňte jeho znamienko na opačné.
Pri násobení alebo delení častí nerovnosti záporným číslom sa ich znamienka obrátia.
Ak vynásobíte alebo vydelíte obe strany nerovnosti kladným číslom, dostanete nerovnosť rovnajúcu sa pôvodnej.

Riešenie nerovnosti znamená nájsť všetky platné hodnoty pre premennú.

Príklad jednej premennej:

10x – 50 > 150

Riešime to ako normálnu lineárnu rovnicu - členy s premennou posunieme doľava, bez premennej - doprava a dáme podobné členy:

10x > 200

Vydelíme obe strany nerovnosti 10 a dostaneme:

x > 20

Pre názornosť v príklade riešenia nerovnice s jednou premennou nakreslite číselnú os, vyznačte na nej prepichnutý bod 20, keďže nerovnosť je prísna a toto číslo nie je zahrnuté v množine jej riešení.

Riešením tejto nerovnosti je interval (20; +∞).

Riešenie neprísnej nerovnosti sa vykonáva rovnakým spôsobom ako striktné:

6x – 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

Je tu však jedna výnimka. Záznam v tvare x ≧ 5 treba chápať takto: x je väčšie alebo rovné päť, čo znamenáčíslo päť je zahrnuté v množine všetkých riešení nerovnice, to znamená, že pri písaní odpovede dávame pred číslo päť hranatú zátvorku.

x ∈ [5; +∞)

Štvorcové nerovnosti

Ak zoberieme kvadratickú rovnicu v tvare ax2 + bx +c=0 a zmeníme v nej znamienko rovnosti na znamienko nerovnosti, potom dostaneme kvadratická nerovnosť.

Ak chcete vyriešiť kvadratickú nerovnosť, musíte vedieť vyriešiť kvadratické rovnice.

y=ax2 + bx + c je kvadratická funkcia. Môžeme to vyriešiť pomocou diskriminantu alebo pomocou Vietovej vety. Pripomeňme si, ako sa riešia tieto rovnice:

1) y=x2 + 12x + 11 - funkcia je parabola. Jeho vetvy smerujú nahor, pretože znamienko koeficientu „a“je kladné.

2) x2 + 12x + 11=0 – rovná sa nule a vyriešte pomocou diskriminantu.

a=1, b=12, c=11

D=b2 - 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 korene

Podľa vzorca koreňov kvadratickej rovnice dostaneme:

x₁ =-1, x_2=-11

Alebo môžete túto rovnicu vyriešiť pomocou Vietovej vety:

x₁ + x₂ =-b/a, x₁ + x _2=-12

x₁x₂ =c/a, x₁x₂₌₁₁

Pomocou metódy výberu získame rovnaké korene rovnice.

Parabola

Prvým spôsobom, ako vyriešiť kvadratickú nerovnosť, je parabola. Algoritmus na jeho vyriešenie je nasledujúci:

1. Určte, kam smerujú vetvy paraboly.

2. Prirovnajte funkciu k nule a nájdite korene rovnice.

3. Postavíme číselnú os, označíme na nej korene, nakreslíme parabolu a nájdeme medzeru, ktorú potrebujeme v závislosti od znamienka nerovnosti.

Vyriešte nerovnosť x2 + x - 12 > 0

Napíšte ako funkciu:

1) y=x2 + x - 12 - parabola, vetvy nahor.

Nastaviť na nulu.

2) x2 + x -12=0

Ďalej riešime ako kvadratickú rovnicu a nájdeme nuly funkcie:

x₁ =3, x_2=-4

3) Nakreslite číselnú os s bodmi 3 a -4. Parabola nimi prejde, rozvetví sa a odpoveďou na nerovnosť bude množina kladných hodnôt, teda (-∞; -4), (3; +∞).

Intervalová metóda

Druhým spôsobom je metóda medzier. Algoritmus na jeho vyriešenie:

1. Nájdite korene rovnice, pre ktorú sa nerovnosť rovná nule.

2. Označíme ich na číselnom rade. Je teda rozdelená do niekoľkých intervalov.

3. Určite znamienko ľubovoľného intervalu.

4. Značky umiestňujeme v zostávajúcich intervaloch a po jednom ich meníme.

Vyriešte nerovnosť (x - 4) (x - 5) (x + 7) ≦ 0

1) Nerovnosť nuly: 4, 5 a -7.

2) Nakreslite ich na číselnú os.

3) Určite znamienka intervalov.

Odpoveď: (-∞; -7]; [4; 5].

Vyriešte ešte jednu nerovnosť: x2(3x - 6)(x + 2)(x - 1) > 0

1. Nuly nerovnosti: 0, 2, -2 a 1.

2. Označte ich na číselnej osi.

3. Určite intervalové znaky.

Riadka je rozdelená na intervaly - od -2 do 0, od 0 do 1, od 1 do 2.

Zoberte hodnotu na prvom intervale - (-1). Náhrada v nerovnosti. S touto hodnotou sa nerovnosť stane kladnou, čo znamená, že znamienko na tomto intervale bude +.

Počínajúc od prvej medzery usporiadame značky a po jednej ich meníme.

Nerovnosť je väčšia ako nula, to znamená, že na riadku musíte nájsť množinu kladných hodnôt.

Odpoveď: (-2; 0), (1; 2).

Sústavy rovníc

Sústava rovníc s dvoma premennými sú dve rovnice spojené zloženou zátvorkou, pre ktoré je potrebné nájsť spoločné riešenie.

Systémy môžu byť ekvivalentné, ak všeobecné riešenie jedného z nich je riešením druhého, alebo ak oba nemajú žiadne riešenia.

Budeme študovať riešenie sústav rovníc s dvoma premennými. Existujú dva spôsoby, ako ich vyriešiť - substitučná metóda alebo algebraická metóda.

Algebraická metóda

Na vyriešenie sústavy znázornenej na obrázku pomocou tejto metódy musíte najprv vynásobiť jednu z jej častí takým číslom, aby ste neskôr mohli vzájomne zrušiť jednu premennú z oboch častí rovnice. Tu vynásobíme tromi, nakreslíme čiaru pod sústavu a sčítame jej časti. V dôsledku toho sa x stanú identickými v module, ale opačným v znamienku a znížime ich. Ďalej dostaneme lineárnu rovnicu s jednou premennou a vyriešime ju.

Našli sme Y, ale nemôžeme tam prestať, pretože sme ešte X nenašli. NáhradníkY na časť, z ktorej bude vhodné vybrať X, napríklad:

-x + 5r=8, pričom y=1

-x + 5=8

Vyriešte výslednú rovnicu a nájdite x.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

Pri riešení systému je hlavné správne zapísať odpoveď. Mnoho študentov robí chybu, keď píšu:

Odpoveď: -3, 1.

Toto je však nesprávne zadanie. Veď, ako už bolo spomenuté vyššie, pri riešení sústavy rovníc hľadáme všeobecné riešenie pre jej časti. Správna odpoveď by bola:

(-3; 1)