Jednou zo základných častí matematickej analýzy je integrálny počet. Pokrýva najširšie pole objektov, kde prvým je neurčitý integrál. Stojí za to umiestniť ho ako kľúč, ktorý aj na strednej škole odhaľuje čoraz väčší počet perspektív a príležitostí, ktoré vyššia matematika opisuje.
Vzhľad
Na prvý pohľad sa zdá, že integrál je úplne moderný, relevantný, no v praxi sa ukazuje, že sa objavil už v roku 1800 pred Kristom. Egypt je oficiálne považovaný za vlasť, pretože predchádzajúce dôkazy o jeho existencii sa k nám nedostali. On, kvôli nedostatku informácií, bol celý ten čas umiestnený jednoducho ako fenomén. Opäť potvrdil úroveň rozvoja vedy medzi národmi tých čias. Nakoniec sa našli diela starovekých gréckych matematikov, ktoré siahajú do 4. storočia pred Kristom. Opísali metódu, pri ktorej sa použil neurčitý integrál, ktorého podstatou bolo nájsť objem alebo plochu krivočiareho útvaru (trojrozmernéhoa dvojrozmerné roviny). Princíp výpočtu bol založený na rozdelení pôvodného údaja na nekonečne malé zložky za predpokladu, že je už známy ich objem (plocha). Postupom času sa metóda rozrástla, Archimedes ju použil na nájdenie oblasti paraboly. Podobné výpočty v tom istom čase vykonali vedci v starovekej Číne a boli úplne nezávislé od svojich gréckych náprotivkov vo vede.
Vývoj
Ďalším prelomom v 11. storočí nášho letopočtu bola práca arabského vedca – „univerzálneho“Abu Ali al-Basriho, ktorý posunul hranice už známeho a odvodil vzorce založené na integráli na výpočet súčtov riadkov a súčty mocnín od prvého do štvrtého, pričom na to použijeme nám známu metódu matematickej indukcie.
Myseľ modernej doby obdivuje, ako starí Egypťania vytvorili úžasné architektonické pamiatky bez akýchkoľvek špeciálnych zariadení, snáď okrem rúk, no nie je sila mysle vtedajších vedcov o nič menší zázrak? V porovnaní s dneškom sa ich život zdá takmer primitívny, no riešenie neurčitých integrálov bolo všade odvodené a v praxi používané na ďalší vývoj.
Ďalší krok sa udial v 16. storočí, keď taliansky matematik Cavalieri vyvinul metódu nedeliteľných, ktorú prevzal Pierre Fermat. Práve tieto dve osobnosti položili základ modernému integrálnemu počtu, ktorý je v súčasnosti známy. Prepojili koncepty diferenciácie a integrácie, ktoré boli predtýmpovažovať za autonómne jednotky. Vo všeobecnosti bola matematika tých čias roztrieštená, častice záverov existovali samy osebe a mali obmedzený rozsah. Cesta zjednocovania a hľadania spoločného základu bola v tom čase jediná správna, vďaka čomu moderná matematická analýza dostala príležitosť rásť a rozvíjať sa.
Všetko sa časom zmenilo, vrátane zápisu integrálu. Vo všeobecnosti to vedci označovali všetkými prostriedkami, napríklad Newton použil štvorcovú ikonu, do ktorej umiestnil integrovateľnú funkciu alebo ju jednoducho umiestnil vedľa nej.
Táto nekonzistentnosť pokračovala až do 17. storočia, keď vedec Gottfried Leibniz, medzník pre celú teóriu matematickej analýzy, predstavil nám tak známy symbol. Podlhovasté „S“je skutočne založené na tomto písmene latinskej abecedy, pretože označuje súčet primitívnych derivátov. Integrál dostal svoje meno vďaka Jacobovi Bernoullimu o 15 rokov neskôr.
Formálna definícia
Neurčitý integrál priamo závisí od definície primitívnej derivácie, takže si ho najprv vezmime do úvahy.
Primitívna funkcia je funkcia, ktorá je inverznou funkciou derivácie, v praxi sa nazýva aj primitívna. Inak: primitívnou funkciou funkcie d je funkcia D, ktorej derivácia sa rovná v V'=v. Hľadanie primitívnej derivácie je výpočet neurčitého integrálu a tento proces samotný sa nazýva integrácia.
Príklad:
Funkcia s(y)=y3 a jej priradená funkcia S(y)=(y4/4).
Množina všetkých primitívnych derivátov uvažovanej funkcie je neurčitý integrál, označuje sa takto: ∫v(x)dx.
Vzhľadom na to, že V(x) je len nejaký primitívny prvok pôvodnej funkcie, výraz prebieha: ∫v(x)dx=V(x) + C, kde C je konštanta. Ľubovoľná konštanta je akákoľvek konštanta, pretože jej derivácia sa rovná nule.
Vlastnosti
Vlastnosti, ktoré má neurčitý integrál, sú založené na hlavnej definícii a vlastnostiach derivácií.
Pozrime sa na kľúčové body:
- integrál z derivácie primitívnej derivácie je samotný primitív plus ľubovoľná konštanta С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- derivácia funkčného integrálu je pôvodná funkcia (∫v(x)dx)'=v(x);
- konštanta je vybratá pod znamienkom integrálu ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx, kde k je ľubovoľné;
- integrál prevzatý zo súčtu sa identicky rovná súčtu integrálov ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy.
Z posledných dvoch vlastností môžeme usúdiť, že neurčitý integrál je lineárny. Vďaka tomu máme: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
Na konsolidáciu zvážte príklady riešenia neurčitých integrálov.
Je potrebné nájsť integrál ∫(3sinx + 4cosx)dx:
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx + C.xx
Z príkladu môžeme vyvodiť záver:neviete ako riešiť neurčité integrály? Stačí nájsť všetkých primitívov! Princípy vyhľadávania však zvážime nižšie.
Metódy a príklady
Na vyriešenie integrálu sa môžete uchýliť k nasledujúcim metódam:
- použite pripravenú tabuľku;
- integrovať po častiach;
- integrovať zmenou premennej;
- pod znamienkom diferenciálu.
Tables
Najjednoduchší a najpríjemnejší spôsob. V súčasnosti sa matematická analýza môže pochváliť pomerne rozsiahlymi tabuľkami, v ktorých sú zapísané základné vzorce neurčitých integrálov. Inými slovami, existujú šablóny, ktoré boli vyvinuté pred vami a pre vás zostáva len ich použiť. Tu je zoznam hlavných tabuľkových pozícií, z ktorých môžete odvodiť takmer každý príklad, ktorý má riešenie:
- ∫0dy=C, kde C je konštanta;
- ∫dy=y + C, kde C je konštanta;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, kde C je konštanta a n - iné než jedno číslo;
- ∫(1/y)dy=ln|y| + C, kde C je konštanta;
- ∫eydy=ey + C, kde C je konštanta;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, kde C je konštanta;
- ∫cosydy=siny + C, kde C je konštanta;
- ∫sinydy=-cosy + C, kde C je konštanta;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, kde C je konštanta;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, kde C je konštanta;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, kde C je konštanta;
- ∫chydy=hanblivý + C, kde C -konštanta;
- ∫shydy=chy + C, kde C je konštanta.
Ak je to potrebné, urobte pár krokov, uveďte integrand do tabuľkovej podoby a vychutnajte si víťazstvo. Príklad: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
Podľa riešenia je zrejmé, že v tabuľkovom príklade integrandu chýba faktor 5. Ten sčítame, paralelne vynásobíme 1/5, aby sa všeobecný výraz nezmenil.
Integrácia po častiach
Zvážte dve funkcie – z(y) a x(y). Musia byť nepretržite diferencovateľné v celej oblasti definície. Podľa jednej z diferenciačných vlastností máme: d(xz)=xdz + zdx. Integráciou oboch častí rovnice dostaneme: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
Prepísaním výslednej rovnosti získame vzorec, ktorý popisuje metódu integrácie po častiach: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Prečo je to potrebné? Ide o to, že niektoré príklady možno zjednodušiť, podmienečne povedané, zredukovať ∫zdx na ∫xdz, ak sa to blíži tabuľkovej forme. Tento vzorec možno použiť aj viackrát, čím sa dosiahnu optimálne výsledky.
Ako riešiť neurčité integrály týmto spôsobom:
treba vypočítať ∫(s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
treba vypočítať ∫lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Variabilná substitúcia
Tento princíp riešenia neurčitých integrálov nie je o nič menej žiadaný ako dva predchádzajúce, hoci je komplikovanejší. Metóda je nasledovná: nech V(x) je integrál nejakej funkcie v(x). V prípade, že sa samotný integrál v príklade javí ako zložitý, existuje vysoká pravdepodobnosť, že dôjde k zámene a nesprávnej ceste riešenia. Aby sa tomu predišlo, cvičí sa prechod z premennej x na z, v ktorom sa všeobecný výraz vizuálne zjednoduší pri zachovaní závislosti z na x.
Matematicky to vyzerá takto: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), kde x=y(z) je substitúcia. A samozrejme, inverzná funkcia z=y-1(x) plne popisuje závislosť a vzťah premenných. Dôležitá poznámka - diferenciál dx je nutne nahradený novým diferenciálom dz, pretože nahradenie premennej v neurčitom integráli znamená jej nahradenie všade, nielen v integrande.
Príklad:
treba nájsť ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
Použite náhradu z=(s+1)/(s2+2s-5). Potom dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. Výsledkom je nasledujúci výraz, ktorý sa dá veľmi ľahko vypočítať:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
treba nájsť integrál∫2sesdx
Na vyriešenie prepíšeme výraz do nasledujúceho tvaru:
∫2sesds=∫(2e)sds.
Označíme a=2e (tento krok nenahrádza argument, je to stále s), náš zdanlivo zložitý integrál prenesieme do elementárnej tabuľkovej formy:
∫(2e)sds=∫asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Uvedenie pod znamienko diferenciálu
Vo všeobecnosti je táto metóda neurčitých integrálov dvojitým bratom princípu premennej zmeny, existujú však rozdiely v procese návrhu. Poďme sa na to pozrieť bližšie.
Ak ∫v(x)dx=V(x) + C a y=z(x), potom ∫v(y)dy=V(y) + C.
V tomto prípade by sme nemali zabúdať na triviálne integrálne transformácie, medzi ktoré patria:
- dx=d(x + a), kde a je ľubovoľná konštanta;
- dx=(1 / a)d(ax + b), kde a je opäť konštanta, ale nerovná sa nule;
- xdx=1/2d(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
Ak pri výpočte neurčitého integrálu vezmeme do úvahy všeobecný prípad, príklady možno zhrnúť do všeobecného vzorca w'(x)dx=dw(x).
Príklady:
treba nájsť ∫(2s + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2s + 3)2ds=1/2∫(2s + 3)2d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2 s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
Pomocník online
V niektorých prípadoch, ktorých na vine môže byť lenivosť alebo naliehavá potreba, môžete využiť online tipy, alebo radšej použiť neurčitú integrálnu kalkulačku. Napriek všetkej zdanlivej zložitosti a spornosti integrálov, ich riešenie podlieha určitému algoritmu, ktorý je založený na princípe „ak nie …, tak …“.
Samozrejme, takáto kalkulačka nezvládne obzvlášť zložité príklady, pretože existujú prípady, v ktorých je potrebné nájsť riešenie umelo, „násilne“zavádzaním určitých prvkov do procesu, pretože výsledok nemožno dosiahnuť zrejmým spôsoby. Napriek všetkej kontroverznosti tohto tvrdenia je to pravda, keďže matematika je v princípe abstraktná veda a za svoju prvoradú úlohu považuje potrebu rozširovania hraníc možností. V skutočnosti je mimoriadne ťažké posunúť sa vyššie a rozvíjať sa podľa hladkých, zabehnutých teórií, takže by ste nemali predpokladať, že príklady riešenia neurčitých integrálov, ktoré sme uviedli, predstavujú vrchol možností. Ale späť k technickej stránke veci. Aspoň na kontrolu výpočtov môžete využiť služby, v ktorých bolo všetko napísané pred nami. Ak je potrebný automatický výpočet zložitého výrazu, nemožno ich obísť, budete sa musieť uchýliť k serióznejšiemu softvéru. Pozornosť sa oplatí venovať predovšetkým prostrediu MatLab.
Aplikácia
Riešenie neurčitých integrálov na prvý pohľad vyzerá úplne mimo realitu, pretože je ťažké vidieť zrejmé oblasti použitia. Nedajú sa totiž nikde priamo použiť, ale považujú sa za nevyhnutný medzičlánok v procese odvodzovania riešení používaných v praxi. Integrácia je teda inverzná k diferenciácii, vďaka čomu sa aktívne podieľa na procese riešenia rovníc.
Tieto rovnice majú zasa priamy vplyv na riešenie mechanických problémov, výpočet trajektórií a tepelnú vodivosť – skrátka všetko, čo tvorí súčasnosť a formuje budúcnosť. Neurčitý integrál, ktorého príklady sme skúmali vyššie, je triviálny iba na prvý pohľad, pretože je základom pre stále nové a nové objavy.
