Už v škole sa každý z nás učil rovnice a určite aj sústavy rovníc. Málokto však vie, že existuje niekoľko spôsobov, ako ich vyriešiť. Dnes si podrobne rozoberieme všetky metódy riešenia sústavy lineárnych algebraických rovníc, ktoré pozostávajú z viac ako dvoch rovníc.
História
Dnes je známe, že umenie riešenia rovníc a ich sústav má svoj pôvod v starovekom Babylone a Egypte. Rovnosti vo svojej obvyklej podobe sa však objavili po objavení sa znaku rovnosti „=“, ktorý v roku 1556 zaviedol anglický matematik Record. Mimochodom, toto znamenie bolo vybrané z nejakého dôvodu: znamená dva paralelné rovnaké segmenty. V skutočnosti neexistuje lepší príklad rovnosti.
Zakladateľom moderných písmenných označení neznámych a znakov stupňov je francúzsky matematik Francois Viet. Jeho označenia sa však výrazne líšili od dnešných. Napríklad druhú mocninu neznámeho čísla označil písmenom Q (lat. „quadratus“) a kocku písmenom C (lat. „cubus“). Tieto označenia sa teraz zdajú byť nepohodlné, ale potombol to najzrozumiteľnejší spôsob písania sústav lineárnych algebraických rovníc.
Nevýhodou vtedajších metód riešenia však bolo, že matematici uvažovali iba o kladných koreňoch. Možno je to spôsobené tým, že záporné hodnoty nemali praktické využitie. Tak či onak, boli to talianski matematici Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano a Rafael Bombelli, ktorí ako prví uvažovali o negatívnych koreňoch v 16. storočí. A moderný vzhľad, hlavná metóda riešenia kvadratických rovníc (prostredníctvom diskriminantu), vznikla až v 17. storočí vďaka práci Descarta a Newtona.
V polovici 18. storočia našiel švajčiarsky matematik Gabriel Cramer nový spôsob, ako uľahčiť riešenie sústav lineárnych rovníc. Táto metóda bola následne po ňom pomenovaná a používame ju dodnes. O Cramerovej metóde si však povieme o niečo neskôr, ale zatiaľ budeme diskutovať o lineárnych rovniciach a metódach ich riešenia oddelene od systému.
Lineárne rovnice
Lineárne rovnice sú najjednoduchšie rovnosti s premennými. Sú klasifikované ako algebraické. Lineárne rovnice sa píšu vo všeobecnom tvare takto: 2+…a x =b. Ich reprezentáciu v tejto forme budeme potrebovať pri ďalšej kompilácii systémov a matíc.
Systémy lineárnych algebraických rovníc
Definícia tohto pojmu je takáto: ide o súbor rovníc, ktoré majú spoločné neznáme a spoločné riešenie. V škole spravidla o všetkom rozhodovali systémys dvoma alebo dokonca tromi rovnicami. Existujú však systémy so štyrmi alebo viacerými komponentmi. Poďme najprv zistiť, ako ich zapísať, aby bolo vhodné ich neskôr vyriešiť. Po prvé, systémy lineárnych algebraických rovníc budú vyzerať lepšie, ak budú všetky premenné napísané ako x s príslušným indexom: 1, 2, 3 atď. Po druhé, všetky rovnice by sa mali zredukovať na kanonickú formu: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Po všetkých týchto krokoch môžeme začať hovoriť o tom, ako nájsť riešenie systémov lineárnych rovníc. Na to budú veľmi užitočné matice.
Matrices
Matrica je tabuľka, ktorá pozostáva z riadkov a stĺpcov a jej prvky sú umiestnené v ich priesečníku. Môžu to byť špecifické hodnoty alebo premenné. Na označenie prvkov sa pod ne najčastejšie umiestňujú dolné indexy (napríklad a11 alebo a23). Prvý index znamená číslo riadku a druhý číslo stĺpca. Na maticách, ako aj na akomkoľvek inom matematickom prvku, môžete vykonávať rôzne operácie. Takže môžete:
1) Odčítajte a pridajte tabuľky rovnakej veľkosti.
2) Vynásobte maticu nejakým číslom alebo vektorom.
3) Transponovať: Premeňte riadky matice na stĺpce a stĺpce na riadky.
4) Vynásobte matice, ak sa počet riadkov jednej z nich rovná počtu stĺpcov druhej.
Všetky tieto techniky si rozoberieme podrobnejšie, pretože sa nám budú hodiť v budúcnosti. Odčítanie a sčítanie matíc je veľmi jednoduché. Takžekeď vezmeme matice rovnakej veľkosti, potom každý prvok jednej tabuľky zodpovedá každému prvku inej. Tieto dva prvky teda sčítame (odčítame) (dôležité je, aby boli vo svojich maticiach na rovnakých miestach). Pri násobení matice číslom alebo vektorom jednoducho musíte vynásobiť každý prvok matice týmto číslom (alebo vektorom). Transpozícia je veľmi zaujímavý proces. Niekedy je veľmi zaujímavé vidieť to v reálnom živote, napríklad pri zmene orientácie tabletu alebo telefónu. Ikony na pracovnej ploche sú maticou a keď zmeníte polohu, transponujú sa a rozširujú sa, ale zmenšujú sa na výšku.
Pozrime sa ešte raz na taký proces, akým je násobenie matíc. Aj keď nám to nebude užitočné, stále bude užitočné to vedieť. Dve matice môžete vynásobiť iba vtedy, ak sa počet stĺpcov v jednej tabuľke rovná počtu riadkov v druhej tabuľke. Teraz si vezmime prvky riadku jednej matice a prvky zodpovedajúceho stĺpca inej matice. Vzájomne ich vynásobíme a potom sčítame (teda napr. súčin prvkov a11 a a12 podľa b 12a b22 sa budú rovnať: a11b12 + a 12 b22). Takto sa získa jeden prvok tabuľky a ten sa ďalej vyplní podobnou metódou.
Teraz sa môžeme začať zaoberať tým, ako sa rieši systém lineárnych rovníc.
Gaussova metóda
Táto téma sa začína míňať už v škole. Pojem „sústava dvoch lineárnych rovníc“dobre poznáme a vieme ich riešiť. Ale čo ak je počet rovníc viac ako dve? Gaussova metóda nám v tom pomôže.
Táto metóda je samozrejme vhodná na použitie, ak zo systému vytvoríte maticu. Nemôžete ho však premeniť a vyriešiť v jeho najčistejšej forme.
Ako teda táto metóda rieši systém lineárnych Gaussových rovníc? Mimochodom, hoci je táto metóda pomenovaná po ňom, bola objavená už v staroveku. Gauss navrhuje nasledovné: vykonávať operácie s rovnicami, aby sa nakoniec celá množina zredukovala na stupňovitú formu. To znamená, že je potrebné, aby zhora nadol (ak je správne umiestnené) od prvej rovnice po poslednú klesala jedna neznáma. Inými slovami, musíme sa uistiť, že dostaneme, povedzme, tri rovnice: v prvej - tri neznáme, v druhej - dve, v tretej - jedna. Potom z poslednej rovnice nájdeme prvú neznámu, dosadíme jej hodnotu do druhej alebo prvej rovnice a potom nájdeme zvyšné dve premenné.
Cramerova metóda
Na zvládnutie tejto metódy je životne dôležité ovládať zručnosti sčítania, odčítania matíc a tiež musíte vedieť nájsť determinanty. Preto, ak toto všetko robíte zle alebo vôbec neviete ako, budete sa musieť naučiť a cvičiť.
Aká je podstata tejto metódy a ako ju urobiť tak, aby sa získal systém lineárnych Cramerových rovníc? Všetko je veľmi jednoduché. Maticu musíme zostrojiť z číselných (takmer vždy) koeficientov sústavy lineárnych algebraických rovníc. Ak to chcete urobiť, jednoducho zoberte čísla pred neznáme a usporiadajte ichtabuľky v poradí, v akom sú zaznamenané v systéme. Ak je pred číslom znak „-“, zapíšeme záporný koeficient. Prvú maticu sme teda zostavili z koeficientov neznámych, bez čísel za znamienkami rovnosti (prirodzene, rovnica by sa mala zredukovať na kanonickú formu, keď je vpravo len číslo a všetky neznáme s koeficienty vľavo). Potom musíte vytvoriť niekoľko ďalších matíc - jednu pre každú premennú. Aby sme to dosiahli, nahradíme postupne každý stĺpec koeficientmi v prvej matici stĺpcom čísel za znamienkom rovnosti. Takto získame niekoľko matíc a potom nájdeme ich determinanty.
Po tom, čo sme našli determinanty, je vec malá. Máme počiatočnú maticu a existuje niekoľko výsledných matíc, ktoré zodpovedajú rôznym premenným. Aby sme dostali riešenia sústavy, vydelíme determinant výslednej tabuľky determinantom počiatočnej tabuľky. Výsledné číslo je hodnota jednej z premenných. Podobne nájdeme všetky neznáme.
Iné metódy
Existuje niekoľko ďalších metód na riešenie sústav lineárnych rovníc. Napríklad takzvaná Gauss-Jordanova metóda, ktorá sa používa na hľadanie riešení sústavy kvadratických rovníc a je spojená aj s používaním matíc. Existuje aj Jacobiho metóda na riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc. Najjednoduchšie sa prispôsobuje počítaču a používa sa vo výpočtovej technike.
Ťažké prípady
K zložitosti zvyčajne dochádza, keď je počet rovníc menší ako počet premenných. Potom môžeme s istotou povedať, že buď je systém nekonzistentný (čiže nemá korene), alebo počet jeho riešení má tendenciu k nekonečnu. Ak máme druhý prípad, musíme si zapísať všeobecné riešenie sústavy lineárnych rovníc. Bude obsahovať aspoň jednu premennú.
Záver
Tu sa dostávame na koniec. Aby sme to zhrnuli: analyzovali sme, čo je systém a matica, naučili sme sa nájsť všeobecné riešenie systému lineárnych rovníc. Okrem toho sa zvažovali aj ďalšie možnosti. Zistili sme, ako sa rieši sústava lineárnych rovníc: Gaussova metóda a Cramerova metóda. Hovorili sme o zložitých prípadoch a iných spôsoboch, ako nájsť riešenia.
V skutočnosti je táto téma oveľa rozsiahlejšia a ak jej chcete lepšie porozumieť, odporúčame vám prečítať si odbornejšiu literatúru.
