V matematike sú inverzné funkcie vzájomne zodpovedajúce výrazy, ktoré sa navzájom menia. Aby sme pochopili, čo to znamená, stojí za to zvážiť konkrétny príklad. Povedzme, že máme y=cos(x). Ak vezmeme kosínus z argumentu, potom môžeme nájsť hodnotu y. Je zrejmé, že na to musíte mať x. Ale čo ak je hráč na začiatku daný? Tu sa dostáva k podstate veci. Na vyriešenie problému je potrebné použiť inverznú funkciu. V našom prípade ide o oblúkový kosínus.
Po všetkých transformáciách dostaneme: x=arccos(y).
To znamená, že na nájdenie funkcie inverznej k danej funkcii stačí z nej vyjadriť argument. Funguje to však iba vtedy, ak bude mať výsledok jedinú hodnotu (o tom neskôr).
Vo všeobecnosti možno túto skutočnosť zapísať takto: f(x)=y, g(y)=x.
Definícia
Nech f je funkcia, ktorej doménou je množina X arozsah hodnôt je množina Y. Potom, ak existuje g, ktorého domény vykonávajú opačné úlohy, potom f je reverzibilné.
Okrem toho, v tomto prípade je g jedinečné, čo znamená, že existuje práve jedna funkcia, ktorá spĺňa túto vlastnosť (nie viac, nie menej). Potom sa nazýva inverzná funkcia a písomne sa označuje takto: g(x)=f -1(x).
Inými slovami, možno ich považovať za binárny vzťah. Reverzibilita nastáva iba vtedy, keď jeden prvok množiny zodpovedá jednej hodnote inej.
Nie vždy existuje inverzná funkcia. Aby to bolo možné urobiť, každý prvok y є Y musí zodpovedať najviac jednému x є X. Potom sa f nazýva jedna ku jednej alebo vstrekovanie. Ak f -1 patrí do Y, potom každý prvok tejto množiny musí zodpovedať nejakému x ∈ X. Funkcie s touto vlastnosťou sa nazývajú surjekcie. Podľa definície platí, ak Y je obraz f, ale nie je to vždy tak. Aby bola funkcia inverzná, musí byť injekcia aj vstreknutie. Takéto výrazy sa nazývajú bijekcie.
Príklad: funkcie druhej mocniny a odmocniny
Funkcia je definovaná na [0, ∞) a daná vzorcom f (x)=x2.
Potom to nie je injekčné, pretože každý možný výsledok Y (okrem 0) zodpovedá dvom rôznym X - jednému pozitívnemu a jednému negatívnemu, takže nie je reverzibilný. V tomto prípade nebude možné získať počiatočné údaje z prijatých údajov, čo je v rozporeteórie. Bude to neinjekčné.
Ak je doména definície podmienene obmedzená na nezáporné hodnoty, všetko bude fungovať ako predtým. Potom je bijektívny, a teda invertovateľný. Inverzná funkcia sa tu nazýva kladná.
Poznámka k záznamu
Nech označenie f -1 (x) môže človeka zmiasť, ale v žiadnom prípade by sa nemalo používať takto: (f (x)) - 1 . Odkazuje na úplne iný matematický koncept a nemá nič spoločné s inverznou funkciou.
Niektorí autori vo všeobecnosti používajú výrazy ako hriech-1 (x).
Iní matematici sa však domnievajú, že to môže spôsobiť zmätok. Aby sa predišlo takýmto ťažkostiam, inverzné goniometrické funkcie sa často označujú predponou „oblúk“(z latinského oblúka). V našom prípade hovoríme o arcsínusu. Príležitostne môžete vidieť aj predponu „ar“alebo „inv“pre niektoré ďalšie funkcie.
