Čo sú iracionálne čísla? Prečo sa tak volajú? Kde sa používajú a aké sú? Len málokto dokáže na tieto otázky odpovedať bez váhania. Ale v skutočnosti sú odpovede na ne celkom jednoduché, hoci nie každý ich potrebuje a vo veľmi zriedkavých situáciách
Podstata a označenie
Iracionálne čísla sú nekonečné neperiodické desatinné zlomky. Potreba zaviesť tento pojem je spôsobená tým, že predtým existujúce pojmy reálnych alebo reálnych, celých, prirodzených a racionálnych čísel už nestačili na riešenie nových vznikajúcich problémov. Napríklad, ak chcete vypočítať druhú mocninu 2, musíte použiť neopakujúce sa nekonečné desatinné miesta. Navyše mnohé z najjednoduchších rovníc nemajú riešenie bez zavedenia konceptu iracionálneho čísla.
Táto množina je označená ako I. A ako je už jasné, tieto hodnoty nemožno reprezentovať ako jednoduchý zlomok, v čitateľovi ktorého bude celé číslo a v menovateli - prirodzené číslo.
Vôbec prvýkrátinak sa indickí matematici s týmto javom stretli v 7. storočí pred Kristom, keď sa zistilo, že odmocniny niektorých veličín nemožno výslovne uviesť. A prvý dôkaz existencie takýchto čísel sa pripisuje pytagorejskému Hippasovi, ktorý to urobil v procese štúdia rovnoramenného pravouhlého trojuholníka. Vážny príspevok k štúdiu tohto súboru urobili niektorí ďalší vedci, ktorí žili pred naším letopočtom. Zavedenie konceptu iracionálnych čísel si vyžiadalo revíziu existujúceho matematického systému, a preto sú také dôležité.
Pôvod mena
Ak pomer v latinčine znamená „zlomok“, „pomer“, potom predpona „ir“
dáva tomuto slovu opačný význam. Názov množiny týchto čísel teda naznačuje, že ich nemožno korelovať s celým číslom alebo zlomkom, majú samostatné miesto. Vyplýva to z ich podstaty.
Miesto v celkovej klasifikácii
Iracionálne čísla patria spolu s racionálnymi číslami do skupiny reálnych alebo reálnych čísel, ktoré zase patria ku komplexným číslam. Neexistujú žiadne podmnožiny, existujú však algebraické a transcendentálne odrody, o ktorých sa bude diskutovať nižšie.
Vlastnosti
Keďže iracionálne čísla sú súčasťou množiny reálnych čísel, platia pre ne všetky ich vlastnosti, ktoré sa študujú v aritmetike (nazývajú sa aj základné algebraické zákony).
a + b=b + a (komutativity);
(a + b) + c=a + (b + c)(asociativita);
a + 0=a;
a + (-a)=0 (existencia opačného čísla);
ab=ba (zákon o posune);
(ab)c=a(bc) (distributivita);
a(b+c)=ab + ac (distribučný zákon);
a x 1=a
a x 1/a=1 (existencia inverzného čísla);
Porovnanie sa vykonáva aj v súlade so všeobecnými zákonmi a zásadami:
Ak a > b a b > c, potom a > c (prechodnosť pomeru) a. atď.
Samozrejme, všetky iracionálne čísla možno previesť pomocou základnej aritmetiky. Neexistujú na to žiadne špeciálne pravidlá.
Okrem toho platí Archimedova axióma pre iracionálne čísla. Hovorí, že pre akékoľvek dve veličiny a a b platí tvrdenie, že ak vezmete a ako výraz dostatočne veľakrát, môžete prekonať b.
Použiť
Napriek tomu, že v bežnom živote ich často nemusíte riešiť, iracionálne čísla sa nedajú spočítať. Je ich veľa, no takmer ich nevidno. Všade sme obklopení iracionálnymi číslami. Všetkým známym príkladom je číslo pi, ktoré sa rovná 3, 1415926 … alebo e, čo je v podstate základ prirodzeného logaritmu, 2, 718281828 … V algebre, trigonometrii a geometrii sa musia používať neustále.. Mimochodom, slávna hodnota „zlatého rezu“, teda pomer väčšej časti k menšej a naopak, je tiež
patrí do tejto sady. Menej známe "striebro" - tiež.
Nachádzajú sa na číselnej osi veľmi husto, takže medzi akýmikoľvek dvoma hodnotami súvisiacimi s množinou racionálnych sa určite vyskytne jedna iracionálna.
S touto súpravou je stále veľa nevyriešených problémov. Existujú také kritériá ako miera iracionality a normalita čísla. Matematici pokračujú v skúmaní najvýznamnejších príkladov ich príslušnosti k tej či onej skupine. Napríklad sa verí, že e je normálne číslo, to znamená, že pravdepodobnosť výskytu rôznych číslic v jeho zázname je rovnaká. Pokiaľ ide o pí, stále prebiehajú výskumy týkajúce sa toho. Miera iracionality sa tiež nazýva hodnota, ktorá ukazuje, ako dobre možno to alebo ono číslo aproximovať racionálnymi číslami.
Algebraické a transcendentálne
Ako už bolo spomenuté, iracionálne čísla sú podmienene rozdelené na algebraické a transcendentálne. Podmienečne, keďže, prísne vzaté, táto klasifikácia sa používa na rozdelenie množiny C.
Toto označenie skrýva komplexné čísla, ktoré zahŕňajú reálne alebo reálne čísla.
Algebraická hodnota je teda hodnota, ktorá je koreňom polynómu, ktorý nie je identicky rovný nule. Napríklad druhá odmocnina z 2 by bola v tejto kategórii, pretože je riešením rovnice x2 - 2=0.
Všetky ostatné reálne čísla, ktoré nespĺňajú túto podmienku, sa nazývajú transcendentálne. K tejto odrodezahrňte najznámejšie a už spomenuté príklady - číslo pí a základ prirodzeného logaritmu e.
Zaujímavé je, že ani jedno, ani druhé nebolo pôvodne odvodené matematikmi v tejto funkcii, ich iracionalita a transcendencia bola preukázaná mnoho rokov po ich objave. Pre pí bol dôkaz uvedený v roku 1882 a zjednodušený v roku 1894, čím sa ukončila 2500-ročná polemika o probléme kvadratúry kruhu. Stále to nie je úplne pochopené, takže moderní matematici majú na čom pracovať. Mimochodom, prvý dostatočne presný výpočet tejto hodnoty vykonal Archimedes. Pred ním boli všetky výpočty príliš približné.
Pre e (Eulerove alebo Napierove čísla) sa v roku 1873 našiel dôkaz o jeho transcendencii. Používa sa pri riešení logaritmických rovníc.
Ďalšie príklady zahŕňajú hodnoty sínus, kosínus a tangens pre akékoľvek algebraické nenulové hodnoty.
