Polyhedra nielenže zaujímajú popredné miesto v geometrii, ale vyskytujú sa aj v každodennom živote každého človeka. Nehovoriac o umelo vytvorených predmetoch do domácnosti v podobe rôznych mnohouholníkov, zápalkovou škatuľkou počnúc a architektonickými prvkami končiac, kryštály v podobe kocky (soľ), hranolu (kryštál), pyramídy (scheelit), osemstenu (diamant), atď. e.
Koncept mnohostenu, typy mnohostenov v geometrii
Geometria ako veda obsahuje časť stereometrie, ktorá študuje charakteristiky a vlastnosti trojrozmerných útvarov. Geometrické telesá, ktorých strany v trojrozmernom priestore tvoria ohraničené roviny (tváre), sa nazývajú "polyhedra". Typy mnohostenov zahŕňajú viac ako tucet zástupcov, ktorí sa líšia počtom a tvarom tvárí.
Všetky mnohosteny však majú spoločné vlastnosti:
- Všetky majú 3 základné zložky: tvár(plocha mnohouholníka), vrchol (rohy vytvorené na spojení plôch), hrana (strana postavy alebo segment vytvorený na spojení dvoch plôch).
- Každá hrana mnohouholníka spája dve a iba dve plochy, ktoré spolu susedia.
- Konvexnosť znamená, že telo je úplne umiestnené iba na jednej strane roviny, na ktorej leží jedna z tvárí. Toto pravidlo platí pre všetky strany mnohostenu. Takéto geometrické útvary v stereometrii sa nazývajú konvexné mnohosteny. Výnimkou sú mnohosteny v tvare hviezdy, ktoré sú derivátmi pravidelných mnohostenných geometrických telies.
Mnohosteny možno podmienečne rozdeliť na:
- Typy konvexných mnohostenov, ktoré pozostávajú z nasledujúcich tried: obyčajné alebo klasické (hranol, pyramída, rovnobežnostěn), pravidelné (nazývané aj platónske telesá), polopravidelné (druhý názov - Archimedove telesá).
- Nekonvexné mnohosteny (v tvare hviezdy).
Hranol a jeho vlastnosti
Stereometria ako odvetvie geometrie študuje vlastnosti trojrozmerných útvarov, typy mnohostenov (jedným z nich je hranol). Hranol je geometrické teleso, ktoré má nevyhnutne dve absolútne identické plochy (nazývané tiež základne) ležiace v rovnobežných rovinách a n-tý počet bočných plôch vo forme rovnobežníkov. Na druhej strane má hranol tiež niekoľko odrôd vrátane takých typov mnohostenov ako:
- Rovnobežník - vytvorený, ak je základňou rovnobežník -mnohouholník s 2 pármi rovnakých protiľahlých uhlov a 2 pármi zhodných protiľahlých strán.
- Priamy hranol má hrany kolmé na základňu.
- Naklonený hranol je charakterizovaný prítomnosťou iných než pravých uhlov (iných ako 90) medzi plochami a základňou.
- Pravidelný hranol je charakterizovaný základňami v tvare pravidelného mnohouholníka s rovnakými bočnými plochami.
Základné vlastnosti hranola:
- Kongruentné základy.
- Všetky hrany hranola sú rovnaké a navzájom rovnobežné.
- Všetky bočné strany majú tvar rovnobežníka.
Pyramída
Pyramída je geometrické teleso, ktoré pozostáva z jednej základne a n-tého počtu trojuholníkových plôch, spojených v jednom bode – vrchu. Treba poznamenať, že ak sú bočné strany pyramídy nevyhnutne reprezentované trojuholníkmi, potom základňa môže byť buď trojuholníkový mnohouholník, alebo štvoruholník, alebo päťuholník, atď. do nekonečna. V tomto prípade bude názov pyramídy zodpovedať polygónu na základni. Napríklad, ak trojuholník leží na základni pyramídy, je to trojuholníková pyramída, štvoruholník je štvoruholník atď.
Pyramídy sú kužeľovité mnohosteny. Typy mnohostenov tejto skupiny, okrem tých, ktoré sú uvedené vyššie, zahŕňajú aj nasledujúcich zástupcov:
- Pravidelná pyramída má na svojej základni pravidelný mnohouholník a jej výška sa premieta do stredukruh vpísaný do základne alebo opísaný okolo nej.
- Obdĺžnikový ihlan sa vytvorí, keď sa jedna z bočných hrán pretína so základňou v pravom uhle. V tomto prípade je tiež spravodlivé nazvať tento okraj výškou pyramídy.
Vlastnosti pyramídy:
- Ak sú všetky bočné okraje pyramídy zhodné (v rovnakej výške), potom sa všetky pretínajú so základňou pod rovnakým uhlom a okolo základne môžete nakresliť kruh so stredom zhodným s priemetom vrchol pyramídy.
- Ak je základňou pyramídy pravidelný mnohouholník, potom sú všetky bočné hrany zhodné a steny sú rovnoramenné trojuholníky.
Pravidelný mnohosten: typy a vlastnosti mnohostenov
V stereometrii zaujímajú zvláštne miesto geometrické telesá s absolútne rovnakými plochami, na ktorých vrcholoch je spojený rovnaký počet hrán. Tieto telesá sa nazývajú platónske telesá alebo pravidelné mnohosteny. Typy mnohostenov s takýmito vlastnosťami majú iba päť tvarov:
- Tetrahedron.
- Hexahedron.
- Octahedron.
- Dodecahedron.
- Ikosahedrón.
Pravidelné mnohosteny vďačia za svoj názov starogréckemu filozofovi Platónovi, ktorý tieto geometrické telesá opísal vo svojich spisoch a spojil ich s prírodnými živlami: zem, voda, oheň, vzduch. Piata postava bola ocenená podobnosťou so štruktúrou vesmíru. Podľa jeho názoru atómy prírodných prvkov tvarom pripomínajú typy pravidelných mnohostenov. Vďaka svojej najzaujímavejšej vlastnosti -symetria tieto geometrické telesá veľmi zaujímali nielen starovekých matematikov a filozofov, ale aj architektov, umelcov a sochárov všetkých čias. Prítomnosť iba 5 typov mnohostenov s absolútnou symetriou bola považovaná za zásadný objav, dokonca im bola ocenená spojitosť s božským princípom.
Šesťsten a jeho vlastnosti
Vo forme šesťuholníka Platónovi nástupcovia predpokladali podobnosť so štruktúrou atómov Zeme. Samozrejme, v súčasnosti je táto hypotéza úplne vyvrátená, čo však nebráni tomu, aby figúry svojou estetikou zaujali mysle slávnych postáv v modernej dobe.
V geometrii sa šesťsten, tiež známy ako kocka, považuje za špeciálny prípad rovnobežnostena, ktorý je zase akýmsi hranolom. V súlade s tým vlastnosti kocky súvisia s vlastnosťami hranola, len s tým rozdielom, že všetky strany a rohy kocky sú si navzájom rovné. Z toho vyplývajú nasledujúce vlastnosti:
- Všetky hrany kocky sú zhodné a ležia vo vzájomných rovnobežných rovinách.
- Všetky plochy sú zhodné štvorce (v kocke je ich celkom 6), z ktorých ktorýkoľvek možno považovať za základ.
- Všetky uhly rozhrania sú 90.
- Z každého vrcholu vychádza rovnaký počet hrán, konkrétne 3.
- Kocka má 9 osí symetrie, ktoré sa všetky pretínajú v priesečníku uhlopriečok šesťstenu, ktorý sa nazýva stred symetrie.
Tetrahedron
Štvorsten je štvorsten s rovnakými stranami vo forme trojuholníkov, z ktorých každý vrcholje styčný bod troch stien.
Vlastnosti pravidelného štvorstenu:
- Všetky strany štvorstenu sú rovnostranné trojuholníky, čo znamená, že všetky steny štvorstenu sú zhodné.
- Keďže základňu predstavuje pravidelný geometrický útvar, to znamená, že má rovnaké strany, strany štvorstenu sa zbiehajú pod rovnakým uhlom, to znamená, že všetky uhly sú rovnaké.
- Súčet plochých uhlov v každom z vrcholov je 180, pretože všetky uhly sú rovnaké, potom každý uhol pravidelného štvorstenu je 60.
- Každý z vrcholov sa premieta do priesečníka výšok protiľahlej (ortocentrickej) steny.
Osemsten a jeho vlastnosti
Pri popise typov pravidelných mnohostenov si nemožno nevšimnúť taký objekt ako osemsten, ktorý možno vizuálne znázorniť ako dve štvoruholníkové pravidelné pyramídy zlepené základňami.
Vlastnosti osemstenu:
- Samotný názov geometrického telesa naznačuje počet jeho plôch. Osemsten pozostáva z 8 zhodných rovnostranných trojuholníkov, v každom z vrcholov ktorých sa zbieha rovnaký počet stien, konkrétne 4.
- Keďže sú všetky strany osemstenu rovnaké, jeho uhly rozhrania sú tiež rovnaké, z ktorých každý je rovný 60, a súčet rovinných uhlov ktoréhokoľvek z vrcholov je teda 240.
Dodecahedron
Ak si predstavíme, že všetky plochy geometrického telesa sú pravidelným päťuholníkom, dostaneme dvanásťsten -postava 12 polygónov.
Vlastnosti dvanásťstena:
- Tri plochy sa pretínajú v každom vrchole.
- Všetky plochy sú rovnaké a majú rovnakú dĺžku hrany a rovnakú plochu.
- Dvanásťsten má 15 osí a rovín symetrie a ktorákoľvek z nich prechádza cez vrchol plochy a stred protiľahlej hrany.
Ikosahedrón
Postava dvadsaťstena, ktorá nie je menej zaujímavá ako dvanásťsten, je trojrozmerné geometrické teleso s 20 rovnakými plochami. Medzi vlastnosti pravidelného dvadsaťstena možno zaznamenať nasledovné:
- Všetky strany dvadsaťstenu sú rovnoramenné trojuholníky.
- Päť plôch sa zbieha v každom vrchole mnohostenu a súčet susedných uhlov vrcholu je 300.
- Ikosahedrón, podobne ako dvanásťsten, má 15 osí a rovín symetrie prechádzajúcich stredmi protiľahlých plôch.
Polopravidelné polygóny
Okrem platónskych telies patria do skupiny konvexných mnohostenov aj Archimedove telesá, čo sú skrátené pravidelné mnohosteny. Typy mnohostenov tejto skupiny majú nasledujúce vlastnosti:
- Geometrické telesá majú párovo rovnaké steny niekoľkých typov, napríklad skrátený štvorsten má 8 stien, ako bežný štvorsten, ale v prípade Archimedovho telesa budú 4 steny trojuholníkové a 4 šesťuholníkové.
- Všetky uhly jedného vrcholu sú zhodné.
Hviezdicový mnohosten
Reprezentantmi neobjemových typov geometrických telies sú hviezdicovité mnohosteny, ktorých steny sa navzájom pretínajú. Môžu byť vytvorené zlúčením dvoch pravidelných 3D telies alebo predĺžením ich plôch.
Takéto hviezdicové mnohosteny sú teda známe ako: hviezdicové formy osemstenu, dvanásťstenu, dvadsaťstenu, kuboktahedru, dvadsaťdekaedru.
