Trojuholník, štvorec, šesťuholník – tieto obrazce pozná takmer každý. Nie každý však vie, čo je to pravidelný mnohouholník. Ale toto sú všetky rovnaké geometrické tvary. Pravidelný mnohouholník je taký, ktorý má rovnaké uhly a strany. Existuje veľa takýchto obrázkov, ale všetky majú rovnaké vlastnosti a platia pre ne rovnaké vzorce.
Vlastnosti pravidelných mnohouholníkov
Akýkoľvek pravidelný mnohouholník, či už je to štvorec alebo osemuholník, môže byť vpísaný do kruhu. Táto základná vlastnosť sa často využíva pri konštrukcii figúry. Okrem toho môže byť kruh vpísaný aj do mnohouholníka. V tomto prípade sa počet bodov kontaktu bude rovnať počtu jeho strán. Dôležité je, že kružnica vpísaná do pravidelného mnohouholníka bude mať s ním spoločný stred. Tieto geometrické útvary podliehajú rovnakým vetám. Akákoľvek stranapravidelného n-uholníka súvisí s polomerom R kružnice opísanej okolo neho, preto ho možno vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca: a=2R ∙ sin180°. Prostredníctvom polomeru kruhu môžete nájsť nielen strany, ale aj obvod mnohouholníka.
Ako zistiť počet strán pravidelného mnohouholníka
Akýkoľvek pravidelný n-uholník pozostáva z určitého počtu navzájom rovnakých segmentov, ktoré po spojení tvoria uzavretú čiaru. V tomto prípade majú všetky rohy vytvorenej figúry rovnakú hodnotu. Polygóny sa delia na jednoduché a zložité. Do prvej skupiny patrí trojuholník a štvorec. Zložité polygóny majú viac strán. Patria k nim aj postavičky v tvare hviezdy. V prípade zložitých pravidelných mnohouholníkov sa strany nachádzajú vpísaním do kruhu. Dajme dôkaz. Nakreslite pravidelný mnohouholník s ľubovoľným počtom strán n. Opíšte kruh okolo neho. Zadajte polomer R. Teraz si predstavte, že je daný nejaký n-uholník. Ak body jeho uhlov ležia na kružnici a sú si navzájom rovné, strany možno nájsť podľa vzorca: a=2R ∙ sinα: 2.
Zistenie počtu strán vpísaného pravidelného trojuholníka
Rovnostranný trojuholník je pravidelný mnohouholník. Platia pre ňu rovnaké vzorce ako pre štvorec a n-uholník. Trojuholník sa bude považovať za správny, ak má strany rovnakej dĺžky. V tomto prípade sú uhly 60⁰. Zostrojte trojuholník s danou dĺžkou strany a. Poznať jeho stred a výšku,môžete nájsť hodnotu jeho strán. Na tento účel použijeme metódu hľadania pomocou vzorca a \u003d x: cosα, kde x je medián alebo výška. Keďže všetky strany trojuholníka sú rovnaké, dostaneme a=b=c. Potom bude nasledujúce tvrdenie pravdivé a=b=c=x: cosα. Podobne môžete nájsť hodnotu strán v rovnoramennom trojuholníku, ale x bude daná výška. Zároveň by sa mala premietať striktne na základňu postavy. Keď teda poznáme výšku x, nájdeme stranu a rovnoramenného trojuholníka pomocou vzorca a \u003d b \u003d x: cosα. Po zistení hodnoty a môžete vypočítať dĺžku základne c. Aplikujme Pytagorovu vetu. Budeme hľadať hodnotu polovice základne c: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2)=√x^2 (1 - cos^2α): cos^2α=x ∙ tgα. Potom c=2xtanα. Tu je jednoduchý spôsob, ako zistiť počet strán akéhokoľvek vpísaného mnohouholníka.
Vypočítajte strany štvorca vpísaného do kruhu
Ako každý iný vpísaný pravidelný mnohouholník má štvorec rovnaké strany a uhly. Platia preň rovnaké vzorce ako pre trojuholník. Strany štvorca môžete vypočítať pomocou hodnoty uhlopriečky. Zvážme túto metódu podrobnejšie. Je známe, že uhlopriečka pretína uhol. Spočiatku bola jeho hodnota 90 stupňov. Po rozdelení teda vzniknú dva pravouhlé trojuholníky. Ich základné uhly budú 45 stupňov. Každá strana štvorca bude teda rovnaká, to znamená: a \u003d c \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, kde e je uhlopriečka štvorca alebo základňa po rozdelení vznikol pravouhlý trojuholník. Nie je to jediný spôsobnájsť strany štvorca. Vpíšme túto postavu do kruhu. Keď poznáme polomer tohto kruhu R, nájdeme stranu štvorca. Vypočítame to takto a4=R√2. Polomery pravidelných mnohouholníkov sa vypočítavajú podľa vzorca R=a: 2tg (360o: 2n), kde a je dĺžka strany.
Ako vypočítať obvod n-uholníka
Obvod n-uholníka je súčtom všetkých jeho strán. Je ľahké to vypočítať. Aby ste to dosiahli, musíte poznať hodnoty všetkých strán. Pre niektoré typy polygónov existujú špeciálne vzorce. Umožňujú vám nájsť obvod oveľa rýchlejšie. Je známe, že každý pravidelný mnohouholník má rovnaké strany. Preto na výpočet jeho obvodu stačí poznať aspoň jeden z nich. Vzorec bude závisieť od počtu strán obrázku. Vo všeobecnosti to vyzerá takto: P \u003d an, kde a je hodnota strany a n je počet uhlov. Napríklad, ak chcete nájsť obvod pravidelného osemuholníka so stranou 3 cm, musíte ho vynásobiť číslom 8, teda P=3 ∙ 8=24 cm. Pre šesťuholník so stranou 5 cm vypočítame takto: P=5 ∙ 6=30 cm. A tak pre každý mnohouholník.
Hľadanie obvodu rovnobežníka, štvorca a kosoštvorca
V závislosti od toho, koľko strán má pravidelný mnohouholník, sa vypočíta jeho obvod. Vďaka tomu je úloha oveľa jednoduchšia. Na rozdiel od iných figúrok totiž v tomto prípade netreba hľadať všetky jeho strany, stačí len jedna. Rovnakým princípom nájdeme obvod prištvoruholníky, teda štvorec a kosoštvorec. Napriek tomu, že ide o rôzne čísla, vzorec pre ne je rovnaký P=4a, kde a je strana. Vezmime si príklad. Ak je strana kosoštvorca alebo štvorca 6 cm, potom nájdeme obvod takto: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm. Rovnobežník má iba opačné strany. Preto sa jeho obvod zisťuje pomocou inej metódy. Potrebujeme teda poznať dĺžku a a šírku b obrázku. Potom použijeme vzorec P=(a + c) ∙ 2. Rovnobežník, v ktorom sú všetky strany a uhly medzi nimi rovnaké, sa nazýva kosoštvorec.
Hľadanie obvodu rovnostranného a pravouhlého trojuholníka
Obvod pravidelného rovnostranného trojuholníka možno nájsť podľa vzorca P=3a, kde a je dĺžka strany. Ak nie je známy, možno ho nájsť prostredníctvom mediánu. V pravouhlom trojuholníku sú rovnaké iba dve strany. Základ možno nájsť prostredníctvom Pytagorovej vety. Keď budú známe hodnoty všetkých troch strán, vypočítame obvod. Dá sa nájsť použitím vzorca P \u003d a + b + c, kde a a b sú rovnaké strany a c je základ. Pripomeňme, že v rovnoramennom trojuholníku a \u003d b \u003d a teda a + b \u003d 2a, potom P \u003d 2a + c. Napríklad strana rovnoramenného trojuholníka je 4 cm, nájdite jeho základňu a obvod. Hodnotu prepony vypočítame pomocou Pytagorovej vety c=√a2 + v2=√16+16=√32=5,65 cm. Teraz vypočítame obvod Р=2 ∙ 4 + 5, 65=13,65 cm.
Ako nájsť rohy pravidelného mnohouholníka
Pravidelný mnohouholníksa v našom živote vyskytuje každý deň, napríklad obyčajný štvorec, trojuholník, osemuholník. Zdalo by sa, že nie je nič jednoduchšie, ako si túto postavu postaviť sami. Ale to je len na prvý pohľad. Aby ste mohli zostrojiť akýkoľvek n-uholník, potrebujete poznať hodnotu jeho uhlov. Ale ako ich nájdete? Dokonca aj vedci staroveku sa pokúšali postaviť pravidelné polygóny. Hádali, že ich zapadnú do kruhov. A potom boli na ňom vyznačené potrebné body spojené rovnými čiarami. Pre jednoduché figúrky je konštrukčný problém vyriešený. Boli získané vzorce a vety. Napríklad Euclid vo svojom slávnom diele „Začiatok“sa zaoberal riešením problémov pre 3-, 4-, 5-, 6- a 15-uholníky. Našiel spôsoby, ako ich skonštruovať a nájsť uhly. Pozrime sa, ako to urobiť pre 15-uholník. Najprv musíte vypočítať súčet jeho vnútorných uhlov. Je potrebné použiť vzorec S=180⁰(n-2). Dostaneme teda 15-uholník, čo znamená, že číslo n je 15. Známe údaje dosadíme do vzorca a dostaneme S=180⁰ (15 - 2)=180⁰ x 13=2340⁰. Našli sme súčet všetkých vnútorných uhlov 15-uholníka. Teraz musíme zistiť hodnotu každého z nich. Celkovo je uhlov 15. Výpočet robíme 2340⁰: 15=156⁰. To znamená, že každý vnútorný uhol je 156⁰, teraz pomocou pravítka a kompasu môžete postaviť obyčajný 15-uholník. Ale čo zložitejšie n-uholníky? Po stáročia sa vedci snažili vyriešiť tento problém. Našiel ho až v 18. storočí Carl Friedrich Gauss. Dokázal postaviť 65537-gon. Odvtedy sa problém oficiálne považuje za úplne vyriešený.
Výpočet uhlov n-uholníkovv radiánoch
Samozrejme, existuje niekoľko spôsobov, ako nájsť rohy polygónov. Najčastejšie sa počítajú v stupňoch. Môžete ich však vyjadriť aj v radiánoch. Ako to spraviť? Je potrebné postupovať nasledovne. Najprv zistíme počet strán pravidelného mnohouholníka, potom od neho odčítame 2. Dostaneme teda hodnotu: n - 2. Nájdený rozdiel vynásobíme číslom n („pi“=3, 14). Teraz zostáva len rozdeliť výsledný produkt počtom uhlov v n-uholníku. Zvážte tieto výpočty pomocou príkladu toho istého pätnásťstranného. Číslo n je teda 15. Použite vzorec S=p(n - 2): n=3, 14(15 - 2): 15=3, 14 ∙ 13: 15=2, 72. Toto, samozrejme, nie je jediný spôsob výpočtu uhla v radiánoch. Veľkosť uhla v stupňoch môžete jednoducho vydeliť číslom 57, 3. Koniec koncov, toľko stupňov zodpovedá jednému radiánu.
Vypočítajte hodnotu uhlov v stupňoch
Okrem stupňov a radiánov môžete skúsiť nájsť hodnotu uhlov pravidelného mnohouholníka v gradoch. Toto sa vykonáva nasledujúcim spôsobom. Od celkového počtu uhlov odpočítajte 2, výsledný rozdiel vydeľte počtom strán pravidelného mnohouholníka. Nájdený výsledok vynásobíme 200. Mimochodom, taká jednotka merania uhlov ako krúpy sa prakticky nepoužíva.
Výpočet vonkajších uhlov n-uholníkov
Pre každý bežný mnohouholník, okrem vnútorného, môžete vypočítať aj vonkajší uhol. Jeho hodnota sa zisťuje rovnakým spôsobom ako pri iných číslach. Takže, aby ste našli vonkajší uhol pravidelného mnohouholníka, potrebujetepoznať význam vnútorného. Ďalej vieme, že súčet týchto dvoch uhlov je vždy 180 stupňov. Preto výpočty robíme takto: 180⁰ mínus hodnota vnútorného uhla. Nájdeme rozdiel. Bude sa rovnať hodnote uhla priľahlého k nej. Napríklad vnútorný roh štvorca je 90 stupňov, takže vonkajší uhol bude 180⁰ - 90⁰=90⁰. Ako vidíme, nie je ťažké ho nájsť. Vonkajší uhol môže nadobúdať hodnotu od +180⁰ do -180⁰.
