Tieto geometrické tvary nás obklopujú všade. Konvexné polygóny môžu byť prirodzené, ako napríklad plást, alebo umelé (vyrobené človekom). Tieto figúrky sa používajú pri výrobe rôznych druhov náterov, v maliarstve, architektúre, dekoráciách a pod. Konvexné mnohouholníky majú tú vlastnosť, že všetky ich body sú na tej istej strane priamky, ktorá prechádza dvojicou susedných vrcholov tohto geometrického útvaru. Existujú aj iné definície. Mnohouholník sa nazýva konvexný, ak je umiestnený v jednej polrovine vzhľadom na akúkoľvek priamku obsahujúcu jednu z jeho strán.
Konvexné mnohouholníky
V priebehu elementárnej geometrie sa vždy berú do úvahy iba jednoduché polygóny. Pochopiť všetky vlastnosti takýchgeometrické tvary, je potrebné pochopiť ich podstatu. Na začiatok je potrebné pochopiť, že každá čiara sa nazýva uzavretá, ktorej konce sa zhodujú. Okrem toho, obrazec, ktorý tvorí, môže mať rôzne konfigurácie. Mnohouholník je jednoduchá uzavretá prerušovaná čiara, v ktorej susedné prepojenia nie sú umiestnené na rovnakej priamke. Jeho spojnice a vrcholy sú strany a vrcholy tohto geometrického útvaru. Jednoduchá lomená čiara nesmie mať vlastné priesečníky.
Vrcholy mnohouholníka sa nazývajú susedné, ak predstavujú konce jednej z jeho strán. Geometrický útvar, ktorý má n-tý počet vrcholov, a teda n-tý počet strán, sa nazýva n-uholník. Samotná prerušovaná čiara sa nazýva hranica alebo obrys tohto geometrického útvaru. Polygonálna rovina alebo plochý mnohouholník sa nazýva koncová časť akejkoľvek roviny, ktorá je ňou ohraničená. Priľahlé strany tohto geometrického útvaru sa nazývajú segmenty prerušovanej čiary vychádzajúcej z jedného vrcholu. Nebudú susediť, ak pochádzajú z rôznych vrcholov mnohouholníka.
Iné definície konvexných polygónov
V elementárnej geometrii existuje niekoľko ekvivalentných definícií, ktoré označujú, ktorý polygón sa nazýva konvexný. Všetky tieto tvrdenia sú rovnako pravdivé. Mnohouholník sa považuje za konvexný, ak:
• každý segment, ktorý spája akékoľvek dva body vo vnútri, leží celý v ňom;
• vnútrivšetky jeho uhlopriečky ležia;
• žiadny vnútorný uhol nepresahuje 180°.
Mnohouholník vždy rozdeľuje rovinu na 2 časti. Jeden z nich je obmedzený (môže byť uzavretý v kruhu) a druhý je neobmedzený. Prvá sa nazýva vnútorná oblasť a druhá je vonkajšia oblasť tohto geometrického útvaru. Tento mnohouholník je priesečníkom (inými slovami, spoločným komponentom) niekoľkých polrovín. Navyše každý segment, ktorý končí v bodoch, ktoré patria do polygónu, k nemu úplne patrí.
Rôzne konvexné polygóny
Definícia konvexného mnohouholníka nenaznačuje, že existuje veľa druhov. A každý z nich má určité kritériá. Takže konvexné polygóny, ktoré majú vnútorný uhol 180°, sa nazývajú slabo konvexné. Konvexný geometrický útvar, ktorý má tri vrcholy, sa nazýva trojuholník, štyri - štvoruholník, päť - päťuholník atď. Každý z konvexných n-uholníkov spĺňa nasledujúcu základnú požiadavku: n musí byť rovné alebo väčšie ako 3. trojuholníky sú konvexné. Geometrický útvar tohto typu, v ktorom sú všetky vrcholy umiestnené na rovnakom kruhu, sa nazýva vpísaný do kruhu. Konvexný mnohouholník sa nazýva opísaný, ak sa ho dotýkajú všetky jeho strany v blízkosti kruhu. O dvoch polygónoch sa hovorí, že sú rovnaké iba vtedy, ak ich možno superponovať superpozíciou. Rovinný mnohouholník sa nazýva mnohouholníková rovina.(časť roviny), ktorá je ohraničená týmto geometrickým útvarom.
Pravidelné konvexné polygóny
Pravidelné mnohouholníky sú geometrické tvary s rovnakými uhlami a stranami. V ich vnútri sa nachádza bod 0, ktorý je v rovnakej vzdialenosti od každého z jeho vrcholov. Nazýva sa stredom tohto geometrického útvaru. Segmenty spájajúce stred s vrcholmi tohto geometrického útvaru sa nazývajú apotémy a tie, ktoré spájajú bod 0 so stranami, sa nazývajú polomery.
Pravidelný štvoruholník je štvorec. Rovnostranný trojuholník sa nazýva rovnostranný trojuholník. Pre takéto obrázky platí nasledujúce pravidlo: každý roh konvexného mnohouholníka je 180°(n-2)/n, kde n je počet vrcholov tohto konvexného geometrického útvaru.
Oblasť akéhokoľvek pravidelného mnohouholníka je určená vzorcom:
S=ph, kde p je polovica súčtu všetkých strán daného mnohouholníka a h je dĺžka apotému.
Vlastnosti konvexných polygónov
Konvexné polygóny majú určité vlastnosti. Segment, ktorý spája akékoľvek 2 body takéhoto geometrického útvaru, sa teda nevyhnutne nachádza v ňom. Dôkaz:
Predpokladajme, že P je daný konvexný mnohouholník. Zoberieme 2 ľubovoľné body, napríklad A, B, ktoré patria do P. Podľa existujúcej definície konvexného mnohouholníka sú tieto body umiestnené na tej istej strane priamky, ktorá obsahuje ľubovoľnú stranu P. Preto má aj AB túto vlastnosť a je obsiahnutá v P. Konvexný mnohouholník môže byť vždy rozdelený na niekoľko trojuholníkov absolútne všetkými uhlopriečkami nakreslenými z jedného z jeho vrcholov.
Uhly konvexných geometrických tvarov
Rohy konvexného mnohouholníka sú rohy tvorené jeho stranami. Vnútorné rohy sa nachádzajú vo vnútornej oblasti daného geometrického útvaru. Uhol, ktorý tvoria jeho strany, ktoré sa zbiehajú v jednom vrchole, sa nazýva uhol konvexného mnohouholníka. Uhly susediace s vnútornými uhlami daného geometrického útvaru sa nazývajú vonkajšie. Každý roh konvexného mnohouholníka, ktorý sa v ňom nachádza, je:
180° - x, kde x je hodnota vonkajšieho uhla. Tento jednoduchý vzorec funguje pre všetky geometrické tvary tohto typu.
Vo všeobecnosti platí pre vonkajšie rohy nasledovné pravidlo: každý uhol konvexného mnohouholníka sa rovná rozdielu medzi 180° a hodnotou vnútorného uhla. Môže mať hodnoty od -180° do 180°. Preto, keď je vnútorný uhol 120°, vonkajší uhol bude 60°.
Súčet uhlov konvexných mnohouholníkov
Súčet vnútorných uhlov konvexného mnohouholníka je daný vzorcom:
180°(n-2), kde n je počet vrcholov n-uholníka.
Súčet uhlov konvexného mnohouholníka sa dá pomerne ľahko vypočítať. Zvážte akýkoľvek takýto geometrický útvar. Na určenie súčtu uhlov vo vnútri konvexného mnohouholníka je potrebnéspojiť jeden z jeho vrcholov s inými vrcholmi. V dôsledku tejto akcie sa získajú (n-2) trojuholníky. Vieme, že súčet uhlov akéhokoľvek trojuholníka je vždy 180°. Keďže ich počet v ľubovoľnom mnohouholníku je (n-2), súčet vnútorných uhlov takéhoto útvaru je 180° x (n-2).
Súčet uhlov konvexného mnohouholníka, menovite akýchkoľvek dvoch vnútorných a susedných vonkajších uhlov, pre daný konvexný geometrický útvar bude vždy rovný 180°. Na základe toho môžete určiť súčet všetkých jeho uhlov:
180 x n.
Súčet vnútorných uhlov je 180°(n-2). Na základe toho je súčet všetkých vonkajších rohov tohto obrázku nastavený podľa vzorca:
180°n-180°-(n-2)=360°.
Súčet vonkajších uhlov akéhokoľvek konvexného mnohouholníka bude vždy 360° (bez ohľadu na počet strán).
Vonkajší uhol konvexného mnohouholníka je vo všeobecnosti reprezentovaný rozdielom medzi 180° a hodnotou vnútorného uhla.
Ďalšie vlastnosti konvexného mnohouholníka
Okrem základných vlastností týchto geometrických tvarov majú aj ďalšie, ktoré vznikajú pri manipulácii s nimi. Takže ktorýkoľvek z polygónov môže byť rozdelený na niekoľko konvexných n-uholníkov. Aby ste to dosiahli, je potrebné pokračovať v každej z jej strán a vyrezať túto geometrickú postavu pozdĺž týchto priamych línií. Je tiež možné rozdeliť ľubovoľný mnohouholník na niekoľko konvexných častí tak, aby sa vrcholy každého z dielov zhodovali so všetkými jeho vrcholmi. Z takéhoto geometrického útvaru sa dajú veľmi jednoducho vyrobiť trojuholníky nakreslením všetkýchuhlopriečky z jedného vrcholu. Akýkoľvek mnohouholník teda môže byť nakoniec rozdelený na určitý počet trojuholníkov, čo sa ukazuje ako veľmi užitočné pri riešení rôznych problémov spojených s takýmito geometrickými tvarmi.
Obvod konvexného mnohouholníka
Segmenty prerušovanej čiary, nazývané strany mnohouholníka, sa najčastejšie označujú týmito písmenami: ab, bc, cd, de, ea. Sú to strany geometrického útvaru s vrcholmi a, b, c, d, e. Súčet dĺžok všetkých strán tohto konvexného mnohouholníka sa nazýva jeho obvod.
Obvod mnohouholníka
Konvexné mnohouholníky možno vpísať a opísať. Kruh, ktorý sa dotýka všetkých strán tohto geometrického útvaru, sa nazýva vpísaný do neho. Takýto mnohouholník sa nazýva opísaný. Stred kruhu, ktorý je vpísaný do mnohouholníka, je priesečníkom priesečníkov všetkých uhlov v rámci daného geometrického útvaru. Plocha takéhoto mnohouholníka je:
S=pr, kde r je polomer vpísanej kružnice ap je semiperimeter daného mnohouholníka.
Kruh obsahujúci vrcholy mnohouholníka sa nazýva opísaný okolo neho. Okrem toho sa tento konvexný geometrický útvar nazýva vpísaný. Stred kružnice, ktorá je opísaná okolo takého mnohouholníka, je priesečníkom takzvaných kolmých osi všetkých strán.
Uhlopriečky konvexných geometrických tvarov
Uhlopriečky konvexného mnohouholníka sú segmenty, ktoréspájať nesusediace vrcholy. Každý z nich leží vo vnútri tohto geometrického útvaru. Počet uhlopriečok takéhoto n-uholníka je daný vzorcom:
N=n (n – 3)/ 2.
Počet uhlopriečok konvexného mnohouholníka hrá v elementárnej geometrii dôležitú úlohu. Počet trojuholníkov (K), na ktoré je možné rozdeliť každý konvexný mnohouholník, sa vypočíta podľa nasledujúceho vzorca:
K=n – 2.
Počet uhlopriečok konvexného mnohouholníka vždy závisí od počtu jeho vrcholov.
Rozklad konvexného mnohouholníka
V niektorých prípadoch je na vyriešenie geometrických problémov potrebné rozdeliť konvexný mnohouholník na niekoľko trojuholníkov s nepretínajúcimi sa uhlopriečkami. Tento problém možno vyriešiť odvodením špecifického vzorca.
Definícia problému: nazvime správne rozdelenie konvexného n-uholníka na niekoľko trojuholníkov uhlopriečkami, ktoré sa pretínajú iba vo vrcholoch tohto geometrického útvaru.
Riešenie: Predpokladajme, že Р1, Р2, Р3 …, Pn sú vrcholy tohto n-uholníka. Číslo Xn je počet jeho oddielov. Pozorne zvážme získanú uhlopriečku geometrického útvaru Pi Pn. V ktoromkoľvek z pravidelných oddielov P1 Pn patrí do určitého trojuholníka P1 Pi Pn, ktorý má 1<i<n. Vychádzajúc z toho a za predpokladu, že i=2, 3, 4 …, n-1, dostaneme (n-2) skupiny týchto partícií, ktoré zahŕňajú všetky možné konkrétne prípady.
Nech i=2 je jedna skupina pravidelných oddielov, ktoré vždy obsahujú uhlopriečku Р2 Pn. Počet partícií, ktoré do nej vstupujú, je rovnaký ako počet partícií(n-1)-gon P2 P3 P4… Pn. Inými slovami, rovná sa Xn-1.
Ak i=3, potom táto ďalšia skupina oddielov bude vždy obsahovať uhlopriečky Р3 Р1 a Р3 Pn. V tomto prípade sa počet pravidelných oddielov, ktoré sú obsiahnuté v tejto skupine, zhoduje s počtom oddielov (n-2)-uholníka P3 P4 … Pn. Inými slovami, bude sa rovnať Xn-2.
Nech i=4, potom bude medzi trojuholníkmi pravidelná priečka určite obsahovať trojuholník P1 P4 Pn, ku ktorému bude priliehať štvoruholník P1 P2 P3 P4, (n-3)-uholník P4 P5 … Pn. Počet pravidelných delení takéhoto štvoruholníka je X4 a počet delení (n-3)-uholníka je Xn-3. Na základe vyššie uvedeného môžeme povedať, že celkový počet správnych partícií obsiahnutých v tejto skupine je Xn-3 X4. Ostatné skupiny s i=4, 5, 6, 7… budú obsahovať Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … bežné oddiely.
Nech i=n-2, potom bude počet správnych rozdelení v tejto skupine rovnaký ako počet rozdelení v skupine, kde i=2 (inými slovami, rovná sa Xn-1).
Keďže X1=X2=0, X3=1, X4=2…, počet všetkých oblastí konvexného mnohouholníka je:
Xn=Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + … + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
Príklad:
X5=X4 + X3 + X4=5
X6=X5 + X4 + X4 + X5=14
X7=X6 + X5 + X4X4 + X5 + X6=42
X8=X7 + X6 + X5X4 + X4X5 + X6 + X7=132
Počet správnych oddielov pretínajúcich jednu uhlopriečku vo vnútri
Pri kontrole špeciálnych prípadov je možné prísť napredpoklad, že počet uhlopriečok konvexných n-uholníkov sa rovná súčinu všetkých delení tohto obrázku číslom (n-3).
Dôkaz tohto predpokladu: predstavte si, že P1n=Xn(n-3), potom ľubovoľný n-uholník možno rozdeliť na (n-2)-trojuholníky. Navyše z nich môže byť zložený (n-3)-štvoruholník. Spolu s tým bude mať každý štvoruholník uhlopriečku. Keďže v tomto konvexnom geometrickom obrazci možno nakresliť dve uhlopriečky, znamená to, že ďalšie (n-3) uhlopriečky možno nakresliť v ľubovoľných (n-3)-štvorhranoch. Na základe toho môžeme konštatovať, že v každom pravidelnom oddiele je možné nakresliť (n-3)-uhlopriečky, ktoré spĺňajú podmienky tohto problému.
Oblasť konvexných polygónov
Pri riešení rôznych problémov elementárnej geometrie je často potrebné určiť oblasť konvexného mnohouholníka. Predpokladajme, že (Xi. Yi), i=1, 2, 3… n je postupnosť súradníc všetkých susedných vrcholov polygónu, ktorý nemá vlastné priesečníky. V tomto prípade sa jeho plocha vypočíta pomocou nasledujúceho vzorca:
S=½ (∑ (Xi + Xi + 1) (Yi + Yi + 1)), kde (X1, Y1)=(Xn +1, Yn + 1).
