Číselné systémy – čo to je? Aj bez toho, aby sme poznali odpoveď na túto otázku, každý z nás vo svojom živote nedobrovoľne používa číselné sústavy a ani to netuší. Správne, množné číslo! Teda nie jeden, ale hneď niekoľko. Skôr než uvedieme príklady nepozičných číselných sústav, pochopme túto problematiku, povedzme si aj o pozičných sústavách.
Vyžaduje sa faktúra
Od staroveku mali ľudia potrebu počítať, to znamená, že si intuitívne uvedomovali, že potrebujú nejakým spôsobom vyjadriť kvantitatívnu víziu vecí a udalostí. Mozog naznačil, že na počítanie je potrebné použiť predmety. Prsty boli vždy najpohodlnejšie, a to je pochopiteľné, pretože sú vždy k dispozícii (až na zriedkavé výnimky).
Takže starodávni predstavitelia ľudskej rasy museli ohýbať prsty v doslovnom zmysle - napríklad na označenie počtu zabitých mamutov. Takéto prvky účtu ešte nemali názvy, ale iba vizuálny obrázok, porovnanie.
Moderné pozičné číselné systémy
Číselný systém je metóda (spôsob) reprezentácie kvantitatívnych hodnôt a veličín pomocou určitých znakov (symbolov alebo písmen).
Pred uvedením príkladov nepozičných číselných sústav je potrebné pochopiť, čo je pozičné a nepozičné pri počítaní. Existuje mnoho pozičných číselných systémov. Teraz sa v rôznych oblastiach poznania používajú nasledovné: binárne (obsahuje iba dva významné prvky: 0 a 1), hexadecimálne (počet znakov - 6), osmičkové (znaky - 8), duodecimálne (dvanásť znakov), šestnástkové (obsahuje šestnásť znaky). Navyše každý riadok znakov v systémoch začína od nuly. Moderné počítačové technológie sú založené na použití binárnych kódov - binárneho pozičného číselného systému.
Systém desiatkových čísel
Pozicionalita je prítomnosť významných pozícií v rôznej miere, na ktorých sa nachádzajú znamienka čísla. Najlepšie to možno demonštrovať na príklade desiatkovej číselnej sústavy. Koniec koncov, sme zvyknutí používať ho z detstva. V tomto systéme je desať znakov: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Vezmite si číslo 327. Má tri znaky: 3, 2, 7. Každé z nich sa nachádza v svoju vlastnú polohu (miesto). Sedmička má pozíciu vyhradenú pre jednotlivé hodnoty (jednotky), dve - desiatky a tri - stovky. Keďže číslo je trojmiestne, sú v ňom iba tri pozície.
Na základe vyššie uvedeného, tototrojmiestne desatinné číslo možno opísať takto: tri stovky, dve desiatky a sedem jednotiek. Okrem toho sa význam (dôležitosť) pozícií počíta zľava doprava, od slabej pozície (jedna) po silnejšiu (stovky).
V systéme desiatkových pozičných čísel sa cítime veľmi dobre. Na rukách máme desať prstov a na nohách to isté. Päť plus päť – tak si vďaka prstom ľahko predstavíme tucet z detstva. Preto je pre deti ľahké naučiť sa násobilku pre päť a desať. A tiež je také ľahké naučiť sa počítať bankovky, ktoré sú najčastejšie násobky (to znamená delené bezo zvyšku) piatimi a desiatimi.
Iné pozičné číselné systémy
Na prekvapenie mnohých treba povedať, že nielen v desiatkovom systéme počítania je náš mozog zvyknutý robiť nejaké výpočty. Až doteraz ľudstvo používalo šestkové a duodecimálne číselné sústavy. To znamená, že v takomto systéme je iba šesť znakov (v šestnástkovej sústave): 0, 1, 2, 3, 4, 5. V duodecimálnej sústave je ich dvanásť: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, kde A - označuje číslo 10, B - číslo 11 (pretože znamienko musí byť jedna).
Posúďte sami. Čas počítame po šestkách, nie? Jedna hodina má šesťdesiat minút (šesť desiatok), jeden deň dvadsaťštyri hodín (dvakrát dvanásť), rok dvanásť mesiacov atď… Všetky časové intervaly sa bez problémov zmestia do šesť- a duodecimálnych radov. Ale už sme si na to tak zvykli, že pri počítaní času na to ani nemyslíme.
Nepozičné číselné sústavy. Unary
Je potrebné definovať, čo to je - nepozičná číselná sústava. Ide o taký znakový systém, v ktorom neexistujú pozície pre znaky čísla, alebo princíp „čítania“čísla nezávisí od pozície. Má tiež svoje pravidlá pre písanie alebo počítanie.
Uveďme príklady nepozičných číselných sústav. Vráťme sa do antiky. Ľudia potrebovali účet a prišli s najjednoduchším vynálezom – uzlami. Nepozičný číselný systém je nodulárny. Jedna položka (vrecko ryže, býk, kopa sena atď.) sa spočítala napríklad pri kúpe alebo predaji a zauzlila sa na šnúrke.
V dôsledku toho sa na lane urobilo toľko uzlov, koľko sa kúpilo vriec ryže (napríklad). Ale mohli to byť aj zárezy na drevenej paličke, na kamennej doske atď. Takýto číselný systém sa stal známym ako nodulárny. Má druhé meno - jednočlenné alebo slobodné ("uno" v latinčine znamená "jedna").
Je zrejmé, že tento číselný systém nie je pozičný. Veď o akých pozíciách sa môžeme baviť, keď je to (pozícia) len jedna! Napodiv, v niektorých častiach Zeme sa stále používa unárny nepozičný číselný systém.
Nepozičné číselné systémy tiež zahŕňajú:
- Roman (písmená sa používajú na písanie číslic - latinské znaky);
- staroveká egyptčina (podobne ako rímska, používali sa aj symboly);
- abecedné (boli použité písmená abecedy);
- Babylončina (klinové písmo – používa sa priame aobrátený "klin");
- gréčtina (označovaná aj ako abeceda).
Sústava rímskych číslic
Staroveká Rímska ríša, rovnako ako jej veda, bola veľmi pokroková. Rimania dali svetu veľa užitočných vynálezov vedy a umenia, vrátane ich systému počítania. Pred dvesto rokmi sa rímske číslice používali na označenie súm v obchodných dokumentoch (čím sa predišlo falšovaniu).
Rímske číslovanie je príkladom nepolohovej číselnej sústavy, teraz to už vieme. Rímsky systém sa tiež aktívne používa, ale nie na matematické výpočty, ale na úzko zamerané akcie. Napríklad pomocou rímskych čísel je zvykom označovať historické dátumy, storočia, čísla zväzkov, sekcií a kapitol v knižných publikáciách. Rímske znaky sa často používajú na zdobenie ciferníkov hodiniek. A tiež rímske číslovanie je príkladom nepozičného číselného systému.
Rimania označovali čísla latinskými písmenami. Navyše čísla zapisovali podľa určitých pravidiel. V systéme rímskych číslic existuje zoznam kľúčových symbolov, pomocou ktorých boli zapísané všetky čísla bez výnimky.
| Číslo (desatinné) | Rímska číslica (písmeno latinskej abecedy) |
| 1 | I |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
Pravidlá skladania čísel
Požadované číslo bolo získané pridaním znakov (latinkových písmen) a výpočtom ich súčtu. Uvažujme o tom, ako sa znaky symbolicky píšu v rímskom systéme a ako by sa mali „čítať“. Uveďme si hlavné zákony tvorby čísel v rímskej nepozičnej číselnej sústave.
- Číslo štyri - IV pozostáva z dvoch znakov (I, V - jedna a päť). Získa sa odčítaním menšieho znamienka od väčšieho, ak je vľavo. Keď sa menšie znamienko nachádza vpravo, musíte pridať, potom dostanete číslo šesť - VI.
- Je potrebné pridať dva rovnaké znaky vedľa seba. Napríklad: SS je 200 (C je 100) alebo XX je 20.
- Ak je prvé znamienko čísla menšie ako druhé, potom tretím znakom v tomto riadku môže byť znak, ktorého hodnota je ešte menšia ako prvá. Aby nedošlo k zámene, tu je príklad: CDX - 410 (v desiatkovej sústave).
- Niektoré veľké čísla môžu byť reprezentované rôznymi spôsobmi, čo je jedna z nevýhod rímskeho systému počítania. Tu je niekoľko príkladov: MVM (rím.)=1 000 + (1 000 - 5)=1995 (desiatkové číslo) alebo MDVD=1 000 + 500 + (500 - 5)=1995. A to nie je všetko.
Aritmetické triky
Nepozičná číselná sústava je niekedy zložitý súbor pravidiel pre tvorbu čísel, ich spracovanie (akcie na ne). Aritmetické operácie v nepozičných číselných sústavách nie sú jednoduchépre moderných ľudí. Nezávidíme starým rímskym matematikom!
Príklad pridania. Skúsme pridať dve čísla: XIX + XXVI=XXXV, táto úloha sa vykonáva v dvoch krokoch:
- Najprv - vezmite a pridajte menšie zlomky čísel: IX + VI=XV (ja po V a ja pred X sa navzájom "zničia").
- Druhý – pridajte veľké zlomky dvoch čísel: X + XX=XXX.
Odčítanie je o niečo zložitejšie. Číslo, ktoré sa má zmenšiť, sa musí rozdeliť na jeho základné prvky a potom sa duplikované znaky zmenšia na počet, ktorý sa má znížiť a odčítať. Odpočítajte 263 od 500:
D – CCLXIII=CCCCLXXXXVIIIIII – CCLXIII=CCXXXVII.
Násobenie rímskymi číslicami. Mimochodom, je potrebné spomenúť, že Rimania nemali znaky aritmetických operácií, len ich označovali slovami.
Viacnásobné číslo bolo potrebné vynásobiť každým jednotlivým symbolom násobiteľa, výsledkom čoho bolo niekoľko produktov, ktoré bolo potrebné pridať. Takto sa násobia polynómy.
Pokiaľ ide o delenie, tento proces v systéme rímskych čísel bol a zostáva najťažší. Používalo sa tu starorímske počítadlo. Na prácu s ním boli ľudia špeciálne vyškolení (a nie každému sa podarilo zvládnuť takúto vedu).
O nevýhodách nepolohových systémov
Ako bolo spomenuté vyššie, nepozičné číselné systémy majú svoje nevýhody, nevýhody pri používaní. Unary je dostatočne jednoduchý na jednoduché počítanie, ale na aritmetické a zložité výpočty nie jedosť dobré.
V latinčine neexistujú jednotné pravidlá na tvorenie veľkých čísel a vzniká zmätok a je tiež veľmi ťažké v nej robiť výpočty. Tiež najväčšie číslo, ktoré mohli starí Rimania zapísať svojou metódou, bolo 100 000.
