Sekcia fyziky, ktorá študuje vlastnosti pohybu kvapalných médií, sa nazýva hydrodynamika. Jedným z hlavných matematických vyjadrení hydrodynamiky je Bernoulliho rovnica pre ideálnu tekutinu. Článok je venovaný tejto téme.
Aká je ideálna tekutina?
Mnoho ľudí vie, že tekutá látka je taký súhrnný stav hmoty, ktorý si za stálych vonkajších podmienok zachováva objem, ale pri najmenšom dopade naň mení svoj tvar. Ideálna tekutina je tekutá látka, ktorá nemá viskozitu a je nestlačiteľná. Toto sú dve hlavné vlastnosti, ktoré ho odlišujú od skutočných tekutín.
Všimnite si, že takmer všetky skutočné kvapaliny možno považovať za nestlačiteľné, pretože malá zmena ich objemu si vyžaduje obrovský vonkajší tlak. Ak napríklad vytvoríte tlak 5 atmosfér (500 kPa), voda zvýši svoju hustotu iba o 0,024 %. Čo sa týka otázky viskozity, pre množstvo praktických problémov, keď sa voda považuje za pracovnú kvapalinu, môže byť zanedbaná. Pre úplnosť uvádzame, žedynamická viskozita vody pri 20 oC je 0,001 Pas2, čo je mizivé v porovnaní s touto hodnotou pre med (>2000).
Je dôležité nezamieňať si pojmy ideálna kvapalina a ideálny plyn, pretože ten je ľahko stlačiteľný.
Rovnica kontinuity
V hydrodynamike sa pohyb ideálnej tekutiny začína uvažovať na základe štúdia rovnice kontinuity jej prúdenia. Aby sme pochopili podstatu problému, je potrebné zvážiť pohyb tekutiny potrubím. Predstavte si, že na vstupe má potrubie prierezovú plochu A1 a na výstupe A2.
Teraz predpokladajme, že kvapalina prúdi na začiatku potrubia rýchlosťou v1, to znamená, že v čase t cez úsek A1objem prietoku V1=A1v1t. Keďže kvapalina je ideálna, teda nestlačiteľná, presne rovnaký objem vody musí vyjsť z konca potrubia za čas t, dostaneme: V2=A2 v2t. Z rovnosti objemov V1 a V2 vyplýva rovnica spojitosti prúdenia ideálnej tekutiny:
A1v1=A2v2.
Z výslednej rovnice vyplýva, že ak A1>A2, potom v1 by malo byť menšie ako v2. Inými slovami, zmenšením prierezu potrubia tým zvýšime rýchlosť prúdenia tekutiny z neho. Je zrejmé, že tento efekt pozoroval každý človek v živote, ktorý aspoň raz polieval záhony hadicou respzáhradu, takže zakryte otvor hadice prstom a môžete sledovať, ako prúd vody vystreľujúci z nej zosilnie.
Rovnica kontinuity pre rozvetvené potrubie
Je zaujímavé zvážiť prípad pohybu ideálnej tekutiny potrubím, ktoré nemá jeden, ale dva alebo viac výstupov, čiže je rozvetvené. Napríklad plocha prierezu potrubia na vstupe je A1 a smerom k výstupu sa vetví na dve potrubia s sekciami A2a A3. Určme prietoky v2 a v3, ak je známe, že voda vstupuje do prívodu rýchlosťou v 1.
Pomocou rovnice kontinuity dostaneme výraz: A1v1=A2 v 2 + A3v3. Aby ste vyriešili túto rovnicu pre neznáme rýchlosti, musíte pochopiť, že na výstupe, v akomkoľvek potrubí je prietok, sa pohybuje rovnakou rýchlosťou, to znamená v2=v3. Túto skutočnosť možno pochopiť intuitívne. Ak je výstupné potrubie rozdelené na dve časti nejakou prepážkou, prietok sa nezmení. Vzhľadom na túto skutočnosť dostaneme riešenie: v2=v3 =A1v1/(A2 + A3).
Bernoulliho rovnica pre ideálnu tekutinu
Daniil Bernoulli, švajčiarsky fyzik a matematik holandského pôvodu, vo svojej práci „Hydrodynamika“(1734) predstavil rovnicu ideálnej tekutiny, ktorá opisuje jej pohyb. Píše sa v nasledujúcom tvare:
P+ ρv2/2 + ρgh=const.
Tento výraz odráža zákon zachovania energie v prípade prúdenia tekutín. Prvý člen (P) je teda tlak smerovaný pozdĺž vektora vytesnenia tekutiny, ktorý popisuje prácu toku, druhý člen (ρv2/2) je kinetický energia tekutej látky a tretí člen (ρgh) je jej potenciálna energia.
Pripomeňme, že táto rovnica platí pre ideálnu tekutinu. V skutočnosti vždy dochádza k treniu tekutej látky o steny potrubia a vo vnútri jeho objemu, preto je do vyššie uvedenej Bernoulliho rovnice zavedený dodatočný člen, ktorý popisuje tieto straty energie.
Používanie Bernoulliho rovnice
Je zaujímavé uviesť niektoré vynálezy, ktoré využívajú odvody z Bernoulliho rovnice:
- Komín a digestor. Z rovnice vyplýva, že čím väčšia je rýchlosť pohybu tekutej látky, tým nižší je jej tlak. Rýchlosť pohybu vzduchu v hornej časti komína je väčšia ako v jeho spodnej časti, takže prúd dymu má vždy tendenciu stúpať v dôsledku tlakového rozdielu.
- Vodovodné potrubia. Rovnica pomáha pochopiť, ako sa zmení tlak vody v potrubí, ak sa zmení jeho priemer.
- Lietadlá a Formula 1. Uhol krídel lietadla a krídla F1 poskytuje rozdiel v tlaku vzduchu nad a pod krídlom, čo vytvára vztlakovú a prítlačnú silu.
Režimy prúdenia tekutín
Bernoulliho rovnica nie jeberie do úvahy režim pohybu tekutiny, ktorý môže byť dvoch typov: laminárny a turbulentný. Laminárne prúdenie sa vyznačuje pokojným prúdením, pri ktorom sa vrstvy tekutín pohybujú po relatívne hladkých trajektóriách a navzájom sa nemiešajú. Turbulentný spôsob pohybu tekutín je charakterizovaný chaotickým pohybom každej molekuly, ktorá tok tvorí. Charakteristickým znakom turbulentného režimu je prítomnosť vírov.
Akým spôsobom bude kvapalina prúdiť, závisí od mnohých faktorov (vlastnosti systému, napríklad prítomnosť alebo neprítomnosť nerovností na vnútornom povrchu potrubia, viskozita látky a rýchlosť jej pohyb). Prechod medzi uvažovanými spôsobmi pohybu je popísaný Reynoldsovými číslami.
Výrazným príkladom laminárneho prúdenia je pomalý pohyb krvi cez hladké cievy. Príkladom turbulentného prúdenia je silný tlak vody z kohútika.
