Školský kurz geometrie je rozdelený do dvoch veľkých častí: planimetrie a objemovej geometrie. Stereometria študuje priestorové obrazce a ich charakteristiky. V tomto článku sa pozrieme na to, čo je priamy hranol, a poskytneme vzorce, ktoré popisujú jeho vlastnosti, ako sú diagonálne dĺžky, objem a povrch.
Čo je hranol?
Keď sú školáci požiadaní, aby pomenovali definíciu hranola, odpovedia, že tento obrazec sú dva rovnaké rovnobežné mnohouholníky, ktorých strany sú spojené rovnobežníkmi. Táto definícia je čo najvšeobecnejšia, keďže nekladie podmienky na tvar mnohouholníkov, na ich vzájomné usporiadanie v rovnobežných rovinách. Okrem toho to znamená prítomnosť spojovacích rovnobežníkov, ktorých trieda zahŕňa aj štvorec, kosoštvorec a obdĺžnik. Nižšie vidíte, čo je štvoruholníkový hranol.
Vidíme, že hranol je mnohosten (mnohosten) pozostávajúci z n + 2strany, 2 × n vrcholov a 3 × n hrán, kde n je počet strán (vrcholov) jedného z mnohouholníkov.
Oba polygóny sa zvyčajne nazývajú základne postavy, ostatné strany sú strany hranola.
Koncept priameho hranolu
Existujú rôzne druhy hranolov. Hovorí sa teda o pravidelných a nepravidelných obrazcoch, o trojuholníkových, päťuholníkových a iných hranoloch, sú tam konvexné a konkávne obrazce a napokon sú naklonené a rovné. Povedzme si o tom druhom podrobnejšie.
Pravý hranol je taký útvar skúmanej triedy mnohostenov, ktorých všetky bočné štvoruholníky majú pravé uhly. Existujú len dva typy takýchto štvoruholníkov – obdĺžnik a štvorec.
Uvažovaná forma postavy má dôležitú vlastnosť: výška rovného hranola sa rovná dĺžke jeho bočnej hrany. Všimnite si, že všetky bočné okraje obrázku sú si navzájom rovné. Pokiaľ ide o bočné plochy, vo všeobecnom prípade sa navzájom nerovnajú. Ich rovnosť je možná, ak okrem toho, že hranol je rovný, bude aj správny.
Na obrázku nižšie je znázornený rovný obrázok s päťuholníkovou základňou. Je vidieť, že všetky jeho bočné strany sú obdĺžniky.
Uhlopriečky hranolov a ich lineárne parametre
Hlavnými lineárnymi charakteristikami každého hranola sú jeho výška h a dĺžky strán jeho základne ai, kde i=1, …, n. Ak je základňou pravidelný mnohouholník, potom na popis jej vlastností stačí poznať dĺžku a jednej strany. Poznanie vyznačených lineárnych parametrov nám umožňuje jednoznačnedefinovať také vlastnosti útvaru, ako je jeho objem alebo povrch.
Uhlopriečky priameho hranola sú segmenty, ktoré spájajú ľubovoľné dva nesusediace vrcholy. Takéto uhlopriečky môžu byť troch typov:
- ležiace v základných rovinách;
- umiestnený v rovinách bočných obdĺžnikov;
- čísla patriace k zväzku.
Dĺžky týchto uhlopriečok súvisiacich so základňou by sa mali určiť v závislosti od typu n-uholníka.
Uhlopriečky bočných obdĺžnikov sa vypočítajú pomocou nasledujúceho vzorca:
d1i=√(ai2+ h2).
Na určenie objemových uhlopriečok potrebujete poznať hodnotu dĺžky zodpovedajúcej základnej uhlopriečky a výšku. Ak je nejaká uhlopriečka základne označená písmenom d0i, objemová uhlopriečka d2i sa vypočíta takto:
d2i=√(d0i2+ h2).
Napríklad v prípade pravidelného štvoruholníkového hranola bude dĺžka objemovej uhlopriečky:
d2=√(2 × a2+ h2).
Všimnite si, že pravý trojuholníkový hranol má iba jeden z troch vymenovaných typov uhlopriečok: bočnú uhlopriečku.
Povrch študovanej triedy tvarov
Povrch je súčet plôch všetkých tvárí postavy. Aby ste si predstavili všetky tváre, mali by ste naskenovať hranol. Ako príklad je nižšie uvedené pretiahnutie pre päťuholníkový útvar.
Vidíme, že počet rovinných útvarov je n + 2 a n sú obdĺžniky. Ak chcete vypočítať plochu celého zametania, pridajte plochy dvoch rovnakých základní a plochy všetkých obdĺžnikov. Potom bude zodpovedajúci vzorec vyzerať takto:
S=2 × So+ h × ∑i=1n (ai).
Táto rovnosť ukazuje, že plocha bočného povrchu študovaného typu hranolov sa rovná súčinu výšky postavy a obvodu jej základne.
Základnú plochu So možno vypočítať použitím príslušného geometrického vzorca. Napríklad, ak základňa pravého hranola je pravouhlý trojuholník, dostaneme:
So=a1 × a2 / 2.
Kde a1 a2 sú nohy trojuholníka.
Ak je základňou n-uholník s rovnakými uhlami a stranami, potom bude spravodlivý nasledujúci vzorec:
So=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Vzorec objemu
Určenie objemu hranola akéhokoľvek druhu nie je náročná úloha, ak je známa jeho základná plocha So a výška h. Vynásobením týchto hodnôt spolu dostaneme objem V obrázku, to znamená:
V=So × h.
Keďže parameter h priameho hranola sa rovná dĺžke bočnej hrany, celý problém výpočtu objemu spočíva na výpočte plochy So. Nad namiuž povedali pár slov a dali pár vzorcov na určenie So. Tu len poznamenávame, že v prípade základne ľubovoľného tvaru by ste ju mali rozdeliť na jednoduché segmenty (trojuholníky, obdĺžniky), vypočítať plochu každého z nich a potom pridať všetky oblasti, aby ste dostali S o.
