Ako nakresliť päťuholníkový hranol? Objem a povrch postavy

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy zmenené: 2023-12-17 05:40

Päťuholníkový hranol pri riešení úloh v geometrii je oveľa menej bežný ako hranoly ako trojuholníkové, štvoruholníkové alebo šesťuholníkové. Napriek tomu je užitočné zopakovať si základné vlastnosti tohto tvaru a naučiť sa, ako sa dá nakresliť.

Čo je to päťuholníkový hranol?

Toto je trojrozmerný obrazec, ktorého základy sú päťuholníky a strany sú rovnobežníky. Ak je každý z týchto rovnobežníkov kolmý na rovnobežné základne, potom sa takýto hranol nazýva pravouhlý. Bočná plocha obdĺžnikového päťuholníkového hranola pozostáva z piatich obdĺžnikov. Navyše, strana priľahlá k základni každého z nich sa rovná zodpovedajúcej dĺžke strany päťuholníka.

Ak je päťuholník pravidelný, to znamená, že všetky jeho strany a uhly sú si navzájom rovné, potom sa takýto pravouhlý hranol nazýva pravidelný. Ďalej v článku zvážime vlastnosti tohto konkrétneho obrázku.

Prvky hranolov

Pre ňu, ako pre každý hranol,nasledujúce prvky sú charakteristické:

• tváre alebo strany sú časti rovín, ktoré ohraničujú postavu v priestore;
• vrcholy - priesečníky troch strán;
• rebrá - segmenty priesečníka dvoch strán obrázku.

Čísla všetkých pomenovaných prvkov sú vo vzájomnom vzťahu podľa nasledujúcej rovnosti:

Počet hrán=počet vrcholov + počet plôch - 2

Tento výraz sa nazýva Eulerov vzorec pre mnohosten.

V päťuholníkovom hranole je počet strán sedem (dve základne + päť obdĺžnikov). Počet vrcholov je 10 (päť pre každú základňu). Počet hrán v tomto prípade bude:

Počet rebier=10 + 7 - 2=15

Desať hrán patrí k základniam hranola a päť hrán tvoria obdĺžniky.

Ako nakresliť päťuholníkový hranol?

Odpoveď na túto otázku závisí od konkrétnej úlohy. Ak je potrebné nakresliť ľubovoľný hranol, mal by sa nakresliť ľubovoľný päťuholník. Potom nakreslite päť rovnobežných segmentov rovnakej dĺžky z každého vrcholu päťuholníka. Potom pripojte horné konce segmentov. Výsledkom je päťuholníkový ľubovoľný hranol.

Ak je potrebné nakresliť pravidelný hranol, potom celá zložitosť úlohy spočíva v získaní pravidelného päťuholníka. Existuje niekoľko spôsobov, ako nakresliť tento mnohouholník. Tu zvážime iba dva spôsoby.

Prvým spôsobom je nakresliť kružnicu pomocou kružidla. Potom sa nakreslí ľubovoľný priemerkruh a z neho sa počíta päť uhlov pomocou uhlomeru na 72^o(572^o=360^{o). Pri počítaní každého uhla sa na kruhu urobí zárez. Na vytvorenie obdĺžnika zostáva spojiť označené zárezy rovnými segmentmi.}

Druhá metóda zahŕňa použitie iba kompasu a pravítka. V porovnaní s predchádzajúcim je to trochu zložité. Nižšie je video, ktoré podrobne vysvetľuje každý krok tejto zostavy.

Všimnite si, že je ľahké nakresliť päťuholník, ak spojíte konce hviezdy. Ak nie je potrebné kresliť presne pravidelný päťuholník, môžete použiť metódu ručne kreslenej hviezdy.

Akonáhle je päťuholník nakreslený, nakreslite päť rovnakých rovnobežných segmentov z každého z jeho vrcholov a spojte ich vrcholy. Výsledkom je päťuholníkový hranol.

Oblasť tvaru

Teraz zvážte, ako nájsť oblasť päťuholníkového hranola. Na obrázku nižšie je znázornený jeho vývoj. Je vidieť, že požadovanú plochu tvoria dva rovnaké päťuholníky a päť navzájom rovnakých obdĺžnikov.

Plocha celého povrchu postavy je vyjadrená vzorcom:

S=2S_o+ 5S_p

Indexy o a p znamenajú základňu a obdĺžnik. Označme dĺžku strany päťuholníka ako a a výšku postavy ako h. Potom pre obdĺžnik napíšeme:

S_p=ah

Ak chcete vypočítať plochu päťuholníka,použite univerzálny vzorec:

S=n/4a²ctg(pi/n)

Kde n je počet strán mnohouholníka. Dosadením n=5 dostaneme:

S₅=5/4a²ctg(pi/5) ≈ 1, 72a ²

Výsledná rovnosť má presnosť na 3 desatinné miesta, čo úplne stačí na vyriešenie akýchkoľvek problémov.

Teraz zostáva nájsť súčet získaných plôch základne a bočného povrchu. Máme:

S=21, 72a² + 5ah=3, 44a² + 5a h

Treba si uvedomiť, že výsledný vzorec platí len pre pravouhlý hranol. V prípade šikmej postavy sa plocha jej bočnej plochy zistí na základe znalosti obvodu rezu, ktorý musí byť kolmý na všetky rovnobežníky.

Objem postavy

Vzorec na výpočet objemu päťuholníkového hranola sa nelíši od podobného výrazu pre akýkoľvek iný hranol alebo valec. Objem postavy sa rovná súčinu jej výšky a plochy základne:

V=S_oh

Ak je daný hranol pravouhlý, potom jeho výška je dĺžka hrany tvorenej obdĺžnikmi. Oblasť pravidelného päťuholníka bola vypočítaná vyššie s vysokou presnosťou. Dosaďte túto hodnotu do vzorca pre objem a získajte potrebný výraz pre pravidelný päťuholníkový hranol:

V=1, 72a²h

Výpočet objemu a povrchupravidelný päťuholníkový hranol je možný, ak je známa strana základne a výška postavy.