Stereometria je štúdium charakteristík trojrozmerných geometrických tvarov. Jedným zo známych objemových útvarov, ktoré sa objavujú v úlohách geometrie, je priamy hranol. Uvažujme v tomto článku, čo to je, a tiež podrobne popíšme hranol s trojuholníkovou základňou.
Hranol a jeho typy
Hranol je útvar, ktorý vzniká ako výsledok paralelného posunu mnohouholníka v priestore. V dôsledku tejto geometrickej operácie sa vytvorí obrazec, ktorý sa skladá z niekoľkých rovnobežníkov a dvoch rovnakých polygónov, ktoré sú navzájom rovnobežné. Rovnobežníky sú strany hranola a jeho základňami sú mnohouholníky.
Akýkoľvek hranol má n+2 strán, 3n hrán a 2n vrcholov, kde n je počet rohov alebo strán polygonálnej základne. Na obrázku je päťuholníkový hranol, ktorý má 7 strán, 10 vrcholov a 15 hrán.
Uvažovaná trieda obrazcov je reprezentovaná niekoľkými typmi hranolov. Stručne ich vymenujeme:
- konkávne a konvexné;
- šikmé a rovné;
- nesprávne a správne.
Každá postava patrí do jedného z troch uvedených typov klasifikácie. Pri riešení geometrických úloh je najjednoduchšie vykonať výpočty pre pravidelné a priame hranoly. O tom druhom sa budeme podrobnejšie rozprávať v nasledujúcich odsekoch článku.
Čo je to priamy hranol?
Priamy hranol je konkávny alebo konvexný, pravidelný alebo nepravidelný hranol, v ktorom sú všetky strany reprezentované štvoruholníkmi s 90° uhlami. Ak aspoň jeden zo štvoruholníkov strán nie je obdĺžnik alebo štvorec, potom sa hranol nazýva šikmý. Dá sa uviesť aj iná definícia: rovný hranol je taký útvar danej triedy, pri ktorom sa ľubovoľná bočná hrana rovná výške. Pod výškou h hranola sa predpokladá vzdialenosť medzi jeho základňami.
Obe uvedené definície, že ide o priamy hranol, sú rovnocenné a sebestačné. Z nich vyplýva, že všetky uhly medzi základňami a každou stranou sú 90°.
Vyššie bolo povedané, že pri riešení problémov je vhodné pracovať s rovnými figúrami. Je to spôsobené tým, že výška zodpovedá dĺžke bočného rebra. Posledná skutočnosť uľahčuje proces výpočtu objemu obrazca a plochy jeho bočného povrchu.
Objem priameho hranola
Objem – hodnota vlastná každému priestorovému útvaru, ktorá číselne odráža časť priestoru uzavretého medzi povrchmi uvažovanéhoobjekt. Objem hranola možno vypočítať pomocou nasledujúceho všeobecného vzorca:
V=Soh.
To znamená, že súčin výšky a plochy základne dá požadovanú hodnotu V. Keďže základne rovného hranolu sú rovnaké, potom na určenie plochy So môžete si vziať ktorýkoľvek z nich.
Výhodou použitia vyššie uvedeného vzorca špeciálne pre rovný hranol v porovnaní s jeho inými typmi je, že je veľmi ľahké nájsť výšku postavy, pretože sa zhoduje s dĺžkou bočnej hrany.
Bočná oblasť
Je vhodné vypočítať nielen objem pre rovný útvar uvažovanej triedy, ale aj jeho bočnú plochu. Každá jeho strana je v skutočnosti buď obdĺžnik, alebo štvorec. Každý študent vie, ako vypočítať plochu týchto plochých útvarov, preto je potrebné vynásobiť susedné strany navzájom.
Predpokladajme, že základňa hranola je ľubovoľný n-uholník, ktorého strany sa rovnajú i. Index i beží od 1 do n. Plocha jedného obdĺžnika sa vypočíta takto:
Si=aih.
Obsah bočnej plochy Sbje ľahké vypočítať, ak spočítate všetky plochy Si obdĺžnikov. V tomto prípade dostaneme konečný vzorec pre Sbprizma:
Sb=h∑i=1(ai)=hPo.
Ak teda chcete určiť plochu bočného povrchu priameho hranolu, musíte jeho výšku vynásobiť obvodom jednej základne.
Problém s trojuholníkovým hranolom
Predpokladajme, že je daný rovný hranol. Základňa je pravouhlý trojuholník. Nohy tohto trojuholníka sú 12 cm a 8 cm. Ak je výška hranola 15 cm, je potrebné vypočítať objem postavy a jej celkovú plochu.
Najprv si vypočítajme objem priameho hranolu. Trojuholník (obdĺžnikový), ktorý sa nachádza na jeho základniach, má obsah:
So=a1a2/2=128/2=48 cm2.
Ako by ste mohli hádať, a1 a a2 sú nohy v tejto rovnici. Keď poznáte základnú plochu a výšku (pozrite si stav problému), môžete použiť vzorec pre V:
V=Soh=4815=720 cm3.
Celkovú plochu figúry tvoria dve časti: plochy podstavcov a bočný povrch. Plochy týchto dvoch základní sú:
S2o=2So=482=96 cm2.
Na výpočet bočného povrchu potrebujete poznať obvod pravouhlého trojuholníka. Vypočítajte pomocou Pytagorovej vety jej preponu a3, máme:
a3 =√(a12+ a2 2)=√(122+ 82)=14,42 cm.
Potom obvod trojuholníka podstavy pravého hranola bude:
P=a1+ a2+ a3=12 + 8 + 14, 42=34, 42 cm.
Použitie vzorca pre Sb, ktorý bol napísaný v predchádzajúcom odseku,získať:
Sb=vP=1534, 42=516, 3 cm.
Pridaním oblastí S2o a Sb dostaneme celkovú plochu študovaného geometrického útvaru:
S=S2o+ Sb=96 + 516, 3=612, 3 cm2.
Trojuholníkový hranol, ktorý je vyrobený zo špeciálnych druhov skla, sa používa v optike na štúdium spektier predmetov vyžarujúcich svetlo. Takéto hranoly sú schopné rozložiť svetlo na jednotlivé frekvencie v dôsledku javu disperzie.
