Priamy trojuholníkový hranol. Vzorce pre objem a povrch. Riešenie geometrickej úlohy

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy zmenené: 2024-01-02 17:55

Na strednej škole, po preštudovaní vlastností obrazcov v rovine, prechádzajú k úvahám o priestorových geometrických objektoch, ako sú hranoly, gule, pyramídy, valce a kužele. V tomto článku poskytneme najúplnejší popis rovného trojuholníkového hranolu.

Čo je to trojuholníkový hranol?

Začnime článok definíciou postavy, o ktorej sa bude diskutovať ďalej. Hranol z hľadiska geometrie je obrazec v priestore tvorený dvoma rovnakými n-uholníkmi umiestnenými v rovnobežných rovinách, ktorých rovnaké uhly sú spojené úsečkami. Tieto segmenty sa nazývajú bočné rebrá. Spolu so stranami základne tvoria bočnú plochu, ktorá je vo všeobecnosti reprezentovaná rovnobežníkmi.

Základom obrázku sú dva n-uholníky. Ak sú bočné hrany na ne kolmé, potom hovoria o priamom hranole. Ak je teda počet strán n mnohouholníka na základniach tri, potom sa takýto útvar nazýva trojuholníkový hranol.

Trojuholníkový rovný hranol je zobrazený vyššie na obrázku. Toto číslo sa tiež nazýva pravidelné, pretože jeho základňami sú rovnostranné trojuholníky. Dĺžka bočného okraja obrázku, označená na obrázku písmenom h, sa nazýva jeho výška.

Obrázok ukazuje, že hranol s trojuholníkovou základňou je tvorený piatimi stenami, z ktorých dve sú rovnostranné trojuholníky a tri sú identické obdĺžniky. Okrem plôch má hranol šesť vrcholov na základniach a deväť hrán. Počty uvažovaných prvkov sú vo vzájomnom vzťahu podľa Eulerovej vety:

počet hrán=počet vrcholov + počet strán - 2.

Oblasť pravého trojuholníkového hranola

Vyššie sme zistili, že predmetnú postavu tvorí päť plôch dvoch typov (dva trojuholníky, tri obdĺžniky). Všetky tieto plochy tvoria celý povrch hranola. Ich celková plocha je plocha postavy. Nižšie je rozvinutý trojuholníkový hranol, ktorý možno získať tak, že z obrázku najprv odrežete dve základne a potom odrežete pozdĺž jednej hrany a rozviniete bočnú plochu.

Poďme uviesť vzorce na určenie plochy povrchu tohto zametania. Začnime základňami pravého trojuholníkového hranolu. Keďže predstavujú trojuholníky, oblasť S_{3 každého z nich možno nájsť takto:}

S₃=1/2ah_a.

Tu a je strana trojuholníka, h_{a je výška znížená od vrcholu trojuholníka na túto stranu.}

Ak je trojuholník rovnostranný (pravidelný), potom vzorec pre S_{3závisí len od jedného parametra a. Vyzerá to takto:}

S₃=√3/4a^2.

Tento výraz možno získať uvažovaním pravouhlého trojuholníka tvoreného úsečkami a, a/2, h_a.

Oblasť základne S_o pre bežný údaj je dvojnásobkom hodnoty S_3:

S_o=2S₃=√3/2a^2.

Pokiaľ ide o bočnú plochu S_{b, nie je ťažké ju vypočítať. Na to stačí vynásobiť tromi plochami jedného obdĺžnika tvoreného stranami a a h. Zodpovedajúci vzorec je:}

S_b=3ah.

Plochu pravidelného hranolu s trojuholníkovou základňou teda nájdeme podľa nasledujúceho vzorca:

S=S_o+ S_b=√3/2a^{2+ 3 ah.}

Ak je hranol rovný, ale nepravidelný, na výpočet jeho plochy by ste mali samostatne spočítať plochy obdĺžnikov, ktoré sa navzájom nerovnajú.

Určenie objemu figúrky

Objem hranola sa chápe ako priestor ohraničený jeho stranami (čelami). Výpočet objemu pravého trojuholníkového hranolu je oveľa jednoduchší ako výpočet jeho plochy. Na to stačí poznať oblasť základne a výšku postavy. Keďže výška h rovného útvaru je dĺžka jeho bočného okraja a ako vypočítať základnú plochu, uviedli sme v predchádzajúcombodu, potom zostáva vynásobiť tieto dve hodnoty navzájom, aby ste získali požadovaný objem. Vzorec pre to znie:

V=S_3h.

Všimnite si, že súčin plochy jednej podstavy a výšky dá objem nielen rovného hranolu, ale aj šikmej figúry a dokonca aj valca.

Riešenie problémov

Sklenené trojuholníkové hranoly sa používajú v optike na štúdium spektra elektromagnetického žiarenia v dôsledku fenoménu disperzie. Je známe, že bežný sklenený hranol má dĺžku základnej strany 10 cm a dĺžku hrany 15 cm. Akú plochu majú jeho sklenené plochy a aký objem obsahuje?

Na určenie oblasti použijeme vzorec napísaný v článku. Máme:

S=√3/2a²+ 3ah=√3/210² + 3 1015=536,6 cm^2.

Na určenie objemu V používame aj vyššie uvedený vzorec:

V=S₃h=√3/4a²h=√3/410 2^{15=649,5 cm}3^.

Napriek tomu, že okraje hranola sú dlhé 10 cm a 15 cm, objem postavičky je len 0,65 litra (kocka so stranou 10 cm má objem 1 liter).