Na nájdenie distribučných funkcií náhodných premenných a ich premenných je potrebné preštudovať všetky vlastnosti tejto oblasti poznania. Existuje niekoľko rôznych metód na nájdenie príslušných hodnôt vrátane zmeny premennej a generovania momentu. Distribúcia je koncept založený na takých prvkoch, ako je rozptyl, variácie. Charakterizujú však iba stupeň amplitúdy rozptylu.
Dôležitejšie funkcie náhodných premenných sú tie, ktoré súvisia, sú nezávislé a rovnomerne rozdelené. Napríklad, ak X1 je váha náhodne vybraného jedinca z mužskej populácie, X2 je váha iného, … a Xn je váha ďalšej osoby z mužskej populácie, potom musíme vedieť, ako funguje náhodná X je distribuovaný. V tomto prípade platí klasická veta nazývaná centrálna limitná veta. Umožňuje vám ukázať, že pre veľké n sa funkcia riadi štandardnými distribúciami.
Funkcie jednej náhodnej premennej
Stredná limitná veta je určená na aproximáciu diskrétnych hodnôt, ako sú binomické a Poissonove. Distribučné funkcie náhodných premenných sa berú do úvahy predovšetkým na jednoduchých hodnotách jednej premennej. Napríklad, ak X je spojitá náhodná premenná s vlastným rozdelením pravdepodobnosti. V tomto prípade skúmame, ako nájsť funkciu hustoty Y pomocou dvoch rôznych prístupov, konkrétne metódy distribučnej funkcie a zmeny premennej. Najprv sa berú do úvahy iba hodnoty jedna ku jednej. Potom musíte upraviť techniku zmeny premennej, aby ste našli jej pravdepodobnosť. Nakoniec sa musíme naučiť, ako môže funkcia inverzného kumulatívneho rozdelenia pomôcť modelovať náhodné čísla, ktoré sa riadia určitými postupnými vzormi.
Metóda distribúcie uvažovaných hodnôt
Metóda funkcie rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej je použiteľná na nájdenie jej hustoty. Pri použití tejto metódy sa vypočíta kumulatívna hodnota. Potom jej diferenciáciou získate hustotu pravdepodobnosti. Teraz, keď máme metódu distribučnej funkcie, môžeme sa pozrieť na niekoľko ďalších príkladov. Nech X je spojitá náhodná premenná s určitou hustotou pravdepodobnosti.
Aká je funkcia hustoty pravdepodobnosti x2? Ak sa pozriete alebo zobrazíte graf funkcie (hore a vpravo) y \u003d x2, môžete si všimnúť, že ide o rastúce X a 0 <y<1. Teraz musíte použiť uvažovanú metódu na nájdenie Y. Najprv sa nájde funkcia kumulatívneho rozdelenia, stačí len diferencovať, aby ste získali hustotu pravdepodobnosti. Ak tak urobíme, dostaneme: 0<y<1. Distribučná metóda bola úspešne implementovaná na nájdenie Y, keď Y je rastúca funkcia X. Mimochodom, f(y) sa integruje do 1 oproti y.
V poslednom príklade sme venovali veľkú pozornosť indexovaniu kumulatívnych funkcií a hustoty pravdepodobnosti pomocou X alebo Y, aby sme označili, ku ktorej náhodnej premennej patria. Napríklad, keď sme našli kumulatívnu distribučnú funkciu Y, dostali sme X. Ak potrebujete nájsť náhodnú premennú X a jej hustotu, potom ju stačí diferencovať.
Technika variabilnej zmeny
Nech X je spojitá náhodná premenná daná distribučnou funkciou so spoločným menovateľom f (x). V tomto prípade, ak vložíte hodnotu y do X=v (Y), dostanete hodnotu x, napríklad v (y). Teraz potrebujeme získať distribučnú funkciu spojitej náhodnej premennej Y. Kde prvá a druhá rovnosť pochádza z definície kumulatívnej Y. Tretia rovnosť platí, pretože časť funkcie, pre ktorú je u (X) ≦ y tiež platí, že X ≦ v (Y). A posledný sa robí na určenie pravdepodobnosti v spojitej náhodnej premennej X. Teraz musíme vziať deriváciu FY (y), kumulatívnej distribučnej funkcie Y, aby sme dostali hustotu pravdepodobnosti Y.
Zovšeobecnenie funkcie zníženia
Nech X je spojitá náhodná premenná so spoločným f (x) definovaným cez c1<x<c2. A nech Y=u (X) je klesajúca funkcia X s inverzným X=v (Y). Keďže funkcia je spojitá a klesajúca, existuje inverzná funkcia X=v (Y).
Na vyriešenie tohto problému môžete zbierať kvantitatívne údaje a použiť funkciu empirického kumulatívneho rozdelenia. S týmito informáciami a apelovaním na ne musíte skombinovať vzorky priemerov, štandardné odchýlky, mediálne údaje atď.
Podobne aj celkom jednoduchý pravdepodobnostný model môže mať obrovské množstvo výsledkov. Napríklad, ak hodíte mincou 332-krát. Potom je počet výsledkov získaných z flipov väčší ako počet výsledkov google (10 100) - číslo, ale nie menej ako 100 kvintiliónkrát vyššie ako elementárne častice v známom vesmíre. Nezaujíma ma analýza, ktorá dáva odpoveď na každý možný výsledok. Bol by potrebný jednoduchší koncept, napríklad počet hláv alebo najdlhší zdvih chvostov. Na zameranie sa na otázky záujmu sa prijíma konkrétny výsledok. Definícia v tomto prípade je nasledovná: náhodná premenná je reálna funkcia s priestorom pravdepodobnosti.
Rozsah S náhodnej premennej sa niekedy nazýva stavový priestor. Ak je teda X príslušná hodnota, potom N=X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc atď. Posledná z nich, zaokrúhlenie X na najbližšie celé číslo, sa nazýva funkcia podlahy.
Funkcie distribúcie
Keď je určená distribučná funkcia, ktorá nás zaujíma, pre náhodnú premennú x, otázka zvyčajne znie: „Aká je pravdepodobnosť, že X spadá do nejakej podmnožiny hodnôt B?“. Napríklad B={nepárne čísla}, B={väčšie ako 1} alebo B={medzi 2 a 7} na označenie výsledkov, ktoré majú hodnotu Xnáhodná premenná v podmnožine A. Vo vyššie uvedenom príklade teda môžete udalosti opísať nasledovne.
{X je nepárne číslo}, {X je väčšie ako 1}={X> 1}, {X je medzi 2 a 7}={2 <X <7}, aby zodpovedalo trom vyššie uvedeným možnostiam pre podmnožinu B. Mnohé vlastnosti náhodných veličín nesúvisia s konkrétnym X. Závisia skôr od toho, ako X prideľuje svoje hodnoty. To vedie k definícii, ktorá znie takto: distribučná funkcia náhodnej premennej x je kumulatívna a je určená kvantitatívnymi pozorovaniami.
Náhodné premenné a distribučné funkcie
Môžete teda vypočítať pravdepodobnosť, že distribučná funkcia náhodnej premennej x nadobudne hodnoty v intervale odčítaním. Zamyslite sa nad zahrnutím alebo vylúčením koncových bodov.
Náhodnú premennú budeme nazývať diskrétnou, ak má konečný alebo spočítateľne nekonečný stavový priestor. X je teda počet hláv na troch nezávislých hodoch vychýlenej mince, ktorý stúpa s pravdepodobnosťou p. Potrebujeme nájsť kumulatívnu distribučnú funkciu diskrétnej náhodnej premennej FX pre X. Nech X je počet vrcholov v kolekcii troch kariet. Potom Y=X3 cez FX. FX začína na 0, končí na 1 a neznižuje sa, keď sa hodnoty x zvyšujú. Kumulatívna funkcia FX rozdelenia diskrétnej náhodnej premennej X je konštantná, s výnimkou skokov. Pri skoku je FX súvislý. Dokážte tvrdenie o správnostikontinuita distribučnej funkcie z pravdepodobnostnej vlastnosti je možná pomocou definície. Znie to takto: konštantná náhodná premenná má kumulatívny FX, ktorý je diferencovateľný.
Aby sme ukázali, ako sa to môže stať, môžeme uviesť príklad: cieľ s jednotkovým polomerom. Pravdepodobne. šípka je rovnomerne rozložená na určenú plochu. Pre niektoré λ> 0. Distribučné funkcie spojitých náhodných veličín teda plynulo narastajú. FX má vlastnosti distribučnej funkcie.
Muž čaká na autobusovej zastávke, kým nepríde autobus. Sám sa rozhodol, že odmietne, keď čakanie dosiahne 20 minút. Tu je potrebné nájsť funkciu kumulatívneho rozdelenia pre T. Čas, kedy bude človek ešte na autobusovej stanici alebo neodíde. Napriek tomu, že kumulatívna distribučná funkcia je definovaná pre každú náhodnú premennú. Pomerne často sa však budú používať ďalšie charakteristiky: hmotnosť pre diskrétnu premennú a funkcia hustoty distribúcie náhodnej premennej. Zvyčajne sa hodnota zobrazuje prostredníctvom jednej z týchto dvoch hodnôt.
Hromadné funkcie
Tieto hodnoty sú zohľadnené nasledujúcimi vlastnosťami, ktoré majú všeobecný (hromadný) charakter. Prvý je založený na skutočnosti, že pravdepodobnosti nie sú negatívne. Druhý vyplýva z pozorovania, že množina pre všetky x=2S, stavový priestor pre X, tvorí časť pravdepodobnostnej slobody X. Príklad: hádzanie zaujatej mince, ktorej výsledky sú nezávislé. Môžete pokračovaťurčité akcie, kým nezískate rolku hláv. Nech X označuje náhodnú premennú, ktorá udáva počet chvostov pred prvou hlavou. A p označuje pravdepodobnosť v danej akcii.
Funkcia hromadnej pravdepodobnosti má teda nasledujúce charakteristické črty. Pretože členy tvoria číselnú postupnosť, X sa nazýva geometrická náhodná premenná. Geometrická schéma c, cr, cr2,.,,, crn má súčet. A preto má sn limitu ako n 1. V tomto prípade je limitom nekonečný súčet.
Hmotnostná funkcia vyššie tvorí geometrickú postupnosť s pomerom. Preto prirodzené čísla a a b. Rozdiel v hodnotách v distribučnej funkcii sa rovná hodnote hmotnostnej funkcie.
Uvažované hodnoty hustoty majú definíciu: X je náhodná premenná, ktorej FX rozdelenie má deriváciu. FX vyhovujúca Z xFX (x)=fX (t) dt-1 sa nazýva funkcia hustoty pravdepodobnosti. A X sa nazýva spojitá náhodná premenná. V základnej vete počtu je funkcia hustoty deriváciou rozdelenia. Pravdepodobnosti môžete vypočítať výpočtom určitých integrálov.
Vzhľadom na to, že údaje sa zbierajú z viacerých pozorovaní, pri modelovaní experimentálnych postupov je potrebné brať do úvahy viac ako jednu náhodnú premennú súčasne. Preto množina týchto hodnôt a ich spoločné rozdelenie pre dve premenné X1 a X2 znamená sledovanie udalostí. Pre diskrétne náhodné premenné sú definované spoločné pravdepodobnostné hmotnostné funkcie. Pre spojité sa uvažuje fX1, X2, kdespoločná hustota pravdepodobnosti je splnená.
Nezávislé náhodné premenné
Dve náhodné premenné X1 a X2 sú nezávislé, ak sú akékoľvek dve udalosti s nimi spojené rovnaké. Povedané slovami, pravdepodobnosť, že dve udalosti {X1 2 B1} a {X2 2 B2} nastanú súčasne, y, sa rovná súčinu vyššie uvedených premenných, že každá z nich nastane individuálne. Pre nezávislé diskrétne náhodné veličiny existuje spoločná pravdepodobnostná hmotnostná funkcia, ktorá je súčinom limitného objemu iónov. Pre spojité náhodné premenné, ktoré sú nezávislé, je spoločná funkcia hustoty pravdepodobnosti súčinom hodnôt hraničnej hustoty. Nakoniec uvažujeme n nezávislých pozorovaní x1, x2,.,,, xn vznikajúce z neznámej funkcie hustoty alebo hmotnosti f. Napríklad neznámy parameter vo funkciách pre exponenciálnu náhodnú premennú popisujúcu čas čakania na autobus.
Imitácia náhodných premenných
Hlavným cieľom tejto teoretickej oblasti je poskytnúť nástroje potrebné na vývoj inferenčných postupov založených na spoľahlivých princípoch štatistickej vedy. Jedným z veľmi dôležitých prípadov použitia softvéru je teda schopnosť generovať pseudoúdaje na napodobňovanie skutočných informácií. To umožňuje testovať a vylepšovať analytické metódy predtým, ako ich budete musieť použiť v skutočných databázach. Je to potrebné na preskúmanie vlastností údajovmodelovanie. Pre mnohé bežne používané rodiny náhodných premenných poskytuje R príkazy na ich generovanie. Za iných okolností budú potrebné metódy na modelovanie postupnosti nezávislých náhodných premenných, ktoré majú spoločné rozdelenie.
Diskrétne náhodné premenné a príkazový vzor. Príkaz sample sa používa na vytváranie jednoduchých a stratifikovaných náhodných vzoriek. Výsledkom je, že ak je zadaná sekvencia x, sample(x, 40) vyberie 40 záznamov z x tak, že všetky voľby veľkosti 40 majú rovnakú pravdepodobnosť. Toto používa predvolený príkaz R na načítanie bez výmeny. Môže byť tiež použitý na modelovanie diskrétnych náhodných premenných. Aby ste to dosiahli, musíte poskytnúť stavový priestor vo vektore x a hmotnostnú funkciu f. Výzva na nahradenie=TRUE znamená, že pri výmene dôjde k vzorkovaniu. Potom na získanie vzorky n nezávislých náhodných premenných, ktoré majú spoločnú hmotnostnú funkciu f, sa použije vzorka (x, n, nahradiť=PRAVDA, pravdepodobnosť=f).
Určené, že 1 je najmenšia uvedená hodnota a 4 je najväčšia zo všetkých. Ak príkaz prob=f vynecháte, vzorka bude vzorkovať rovnomerne z hodnôt vo vektore x. Simuláciu môžete porovnať s funkciou hmotnosti, ktorá vygenerovala údaje, pri pohľade na dvojité znamienko rovnosti==. A prepočítanie pozorovaní, ktoré majú všetky možné hodnoty pre x. Môžete si vyrobiť stôl. Opakujte to pre 1000 a porovnajte simuláciu s príslušnou funkciou hmotnosti.
Ilustrácia transformácie pravdepodobnosti
Najprvsimulovať homogénne distribučné funkcie náhodných veličín u1, u2,.,,, un na intervale [0, 1]. Asi 10 % čísel by malo byť v rozmedzí [0, 3, 0, 4]. To zodpovedá 10 % simulácií na intervale [0, 28, 0, 38] pre náhodnú premennú so zobrazenou funkciou FX rozdelenia. Podobne asi 10 % náhodných čísel by malo byť v intervale [0, 7, 0, 8]. To zodpovedá 10 % simuláciám na intervale [0, 96, 1, 51] náhodnej premennej s distribučnou funkciou FX. Tieto hodnoty na osi x možno získať inverznou hodnotou z FX. Ak je X spojitá náhodná premenná s kladnou hustotou fX všade vo svojej doméne, potom distribučná funkcia je prísne rastúca. V tomto prípade má FX inverznú funkciu FX-1 známu ako kvantilová funkcia. FX (x) u len vtedy, keď x FX-1 (u). Transformácia pravdepodobnosti vyplýva z analýzy náhodnej premennej U=FX (X).
FX má rozsah od 0 do 1. Nemôže byť pod 0 alebo nad 1. Pre hodnoty u medzi 0 a 1. Ak je možné simulovať U, potom musí byť náhodná premenná s FX rozložením simulované pomocou kvantilovej funkcie. Zoberme si deriváciu, aby sme videli, že hustota u sa mení v rámci 1. Keďže náhodná premenná U má konštantnú hustotu v intervale svojich možných hodnôt, nazývame ju jednotná na intervale [0, 1]. Je modelovaný v R pomocou príkazu runif. Identita sa nazýva pravdepodobnostná transformácia. Ako to funguje, môžete vidieť na príklade terča so šípkami. X medzi 0 a 1, funkciarozdelenie u=FX (x)=x2, a teda kvantilová funkcia x=FX-1 (u). Je možné modelovať nezávislé pozorovania vzdialenosti od stredu šípkového panelu, a tak vytvárať jednotné náhodné premenné U1, U2,.,, Un. Distribučná funkcia a empirická funkcia sú založené na 100 simuláciách rozloženia terča na šípky. Pre exponenciálnu náhodnú premennú je pravdepodobne u=FX (x)=1 - exp (- x), a teda x=- 1 ln (1 - u). Niekedy sa logika skladá z ekvivalentných výrokov. V tomto prípade musíte spojiť dve časti argumentu. Identita križovatky je podobná pre všetky 2 {S i i} S, namiesto nejakej hodnoty. Zväz Ci sa rovná stavovému priestoru S a každý pár sa navzájom vylučuje. Keďže Bi - sa delí na tri axiómy. Každá kontrola je založená na zodpovedajúcej pravdepodobnosti P. Pre akúkoľvek podmnožinu. Použitie identity, aby ste sa uistili, že odpoveď nezávisí od toho, či sú zahrnuté koncové body intervalu.
Exponenciálna funkcia a jej premenné
Pre každý výsledok vo všetkých udalostiach sa nakoniec používa druhá vlastnosť kontinuity pravdepodobností, ktorá sa považuje za axiomatickú. Zákon rozdelenia funkcie náhodnej premennej tu ukazuje, že každá má svoje vlastné riešenie a odpoveď.
