Teória pravdepodobnosti je špeciálny odbor matematiky, ktorý študujú iba študenti vysokých škôl. Máte radi výpočty a vzorce? Nebojíte sa perspektívy zoznámenia sa s normálnym rozdelením, entropiou súboru, matematickým očakávaním a rozptylom diskrétnej náhodnej premennej? Potom vás táto téma bude veľmi zaujímať. Poďme sa zoznámiť s niektorými z najdôležitejších základných pojmov tejto časti vedy.
Pripomeňte si základy
Aj keď si pamätáte tie najjednoduchšie pojmy teórie pravdepodobnosti, nezanedbávajte prvé odseky článku. Faktom je, že bez jasného pochopenia základov nebudete môcť pracovať s nižšie uvedenými vzorcami.
Takže existuje nejaká náhodná udalosť, nejaký experiment. V dôsledku vykonaných akcií môžeme získať niekoľko výsledkov – niektoré z nich sú bežnejšie, iné menej časté. Pravdepodobnosť udalosti je pomer počtu skutočne prijatých výsledkov jedného typu k celkovému počtu možných. Len ak poznáte klasickú definíciu tohto pojmu, môžete začať študovať matematické očakávania a rozptyl spojitostináhodné premenné.
Aritmetický priemer
Už v škole ste na hodinách matematiky začali pracovať s aritmetickým priemerom. Tento koncept je široko používaný v teórii pravdepodobnosti, a preto ho nemožno ignorovať. Pre nás je momentálne hlavné, že sa s tým stretneme vo vzorcoch pre matematické očakávanie a rozptyl náhodnej premennej.
Máme postupnosť čísel a chceme nájsť aritmetický priemer. Všetko, čo sa od nás vyžaduje, je sčítať všetko, čo je k dispozícii, a rozdeliť počtom prvkov v sekvencii. Nech máme čísla od 1 do 9. Súčet prvkov bude 45 a túto hodnotu vydelíme 9. Odpoveď: - 5.
Disperzia
Vedecky povedané, rozptyl je stredná druhá mocnina odchýlok hodnôt získaných vlastností od aritmetického priemeru. Jeden je označený veľkým latinským písmenom D. Čo je potrebné na jeho výpočet? Pre každý prvok postupnosti vypočítame rozdiel medzi dostupným číslom a aritmetickým priemerom a umocníme ho. Pre udalosť, o ktorej uvažujeme, bude presne toľko hodnôt, koľko môže byť výsledkov. Ďalej zhrnieme všetko prijaté a vydelíme počtom prvkov v sekvencii. Ak máme päť možných výsledkov, vydeľte ich piatimi.
Rozptyl má tiež vlastnosti, ktoré si musíte zapamätať, aby ste ich mohli použiť pri riešení problémov. Napríklad, ak sa náhodná premenná zväčší X-krát, rozptyl sa zvýši o X-násobok štvorca (t.j. XX). Nikdy nie je menšia ako nula a nezávisí odposunutie hodnôt o rovnakú hodnotu nahor alebo nadol. V prípade nezávislých pokusov sa rozptyl súčtu rovná súčtu rozptylov.
Teraz rozhodne musíme zvážiť príklady rozptylu diskrétnej náhodnej premennej a matematického očakávania.
Predpokladajme, že sme vykonali 21 experimentov a získali 7 rôznych výsledkov. Každý z nich sme pozorovali 1, 2, 2, 3, 4, 4 a 5 krát. Aký bude rozptyl?
Najprv vypočítajme aritmetický priemer: súčet prvkov je, samozrejme, 21. Vydeľte ho číslom 7, dostanete 3. Teraz od každého čísla v pôvodnej postupnosti odčítajte 3, odmocnite každú hodnotu a pridajte výsledky spolu. Ukazuje sa, že 12. Teraz nám zostáva rozdeliť číslo počtom prvkov a zdá sa, že je to všetko. Má to však háčik! Poďme o tom diskutovať.
Závislosť od počtu experimentov
Ukazuje sa, že pri výpočte rozptylu môže byť menovateľom jedno z dvoch čísel: buď N alebo N-1. Tu N je počet vykonaných experimentov alebo počet prvkov v sekvencii (čo je v skutočnosti rovnaké). Od čoho to závisí?
Ak sa počet testov meria v stovkách, potom musíme do menovateľa uviesť N. Ak v jednotkách, potom N-1. Vedci sa rozhodli nakresliť hranicu celkom symbolicky: dnes vedie pozdĺž čísla 30. Ak sme vykonali menej ako 30 experimentov, potom množstvo vydelíme N-1, ak viac, tak N.
Úloha
Vráťme sa k nášmu príkladu riešenia problému rozptylu a očakávaní. mydostal medzičíslo 12, ktoré sa muselo deliť N alebo N-1. Keďže sme vykonali 21 experimentov, čo je menej ako 30, zvolíme druhú možnosť. Takže odpoveď je: rozptyl je 12 / 2=2.
Očakávania
Prejdime k druhému konceptu, ktorý musíme zvážiť v tomto článku. Matematické očakávanie je výsledkom sčítania všetkých možných výsledkov vynásobených zodpovedajúcimi pravdepodobnosťami. Je dôležité pochopiť, že výsledná hodnota, ako aj výsledok výpočtu rozptylu, sa získa iba raz za celú úlohu, bez ohľadu na to, koľko výsledkov zohľadňuje.
Vzorec očakávania je celkom jednoduchý: vezmeme výsledok, vynásobíme ho jeho pravdepodobnosťou, pripočítame to isté pre druhý, tretí výsledok atď. Všetko, čo súvisí s týmto konceptom, sa dá ľahko vypočítať. Napríklad súčet matematických očakávaní sa rovná matematickému očakávaniu súčtu. To isté platí pre prácu. Nie každá veličina v teórii pravdepodobnosti umožňuje vykonávať takéto jednoduché operácie. Dajme si úlohu a vypočítajme hodnotu dvoch pojmov, ktoré sme študovali naraz. Okrem toho nás rozptyľovala teória – je čas na prax.
Ďalší príklad
Uskutočnili sme 50 pokusov a získali sme 10 druhov výsledkov – čísla od 0 do 9 – ktoré sa objavili v rôznych percentách. Sú to v tomto poradí: 2 %, 10 %, 4 %, 14 %, 2 %, 18 %, 6 %, 16 %, 10 %, 18 %. Pripomeňme, že ak chcete získať pravdepodobnosti, musíte percentuálne hodnoty vydeliť 100. Získame teda 0,02; 0, 1 atď. Predstavme pre rozptyl náhodyhodnota a matematické očakávania príklad riešenia problému.
Vypočítajte aritmetický priemer pomocou vzorca, ktorý si pamätáme zo základnej školy: 50/10=5.
Teraz si preložme pravdepodobnosti na počet výsledkov „v kusoch“, aby bolo počítanie jednoduchšie. Dostaneme 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 a 9. Od každej získanej hodnoty odpočítajte aritmetický priemer, potom odmocníme každý zo získaných výsledkov. Pozrite si, ako to urobiť pomocou prvého prvku ako príkladu: 1 - 5=(-4). Ďalej: (-4)(-4)=16. Pre iné hodnoty vykonajte tieto operácie sami. Ak ste urobili všetko správne, po pridaní všetkých priebežných výsledkov dostanete 90.
Pokračujte vo výpočte rozptylu a priemeru delením 90 číslom N. Prečo volíme N a nie N-1? Je to tak, pretože počet vykonaných experimentov presahuje 30. Takže: 90/10=9. Dostali sme rozptyl. Ak vám vyjde iné číslo, nezúfajte. S najväčšou pravdepodobnosťou ste urobili vo výpočtoch banálnu chybu. Ešte raz skontrolujte, čo ste napísali, a všetko určite zapadne na svoje miesto.
Na záver si spomeňme na vzorec očakávania. Nebudeme uvádzať všetky výpočty, napíšeme iba odpoveď, ktorú si môžete skontrolovať po dokončení všetkých požadovaných postupov. Očakávanie sa bude rovnať 5, 48. Pripomíname si len spôsob vykonávania operácií na príklade prvých prvkov: 00, 02 + 10, 1… atď. Ako vidíte, jednoducho vynásobíme hodnotu výsledku jeho pravdepodobnosťou.
Deviation
Ďalší pojem úzko súvisiaci s rozptylom a očakávanou hodnotou jesmerodajná odchýlka. Označuje sa buď latinskými písmenami sd, alebo gréckymi malými písmenami „sigma“. Tento koncept ukazuje, ako sa v priemere hodnoty odchyľujú od centrálnej funkcie. Ak chcete zistiť jeho hodnotu, musíte vypočítať druhú odmocninu rozptylu.
Ak vytvoríte graf normálneho rozdelenia a chcete priamo na ňom vidieť hodnotu smerodajnej odchýlky, môžete to urobiť v niekoľkých fázach. Vezmite polovicu obrázka naľavo alebo napravo od režimu (stredová hodnota), nakreslite kolmicu na vodorovnú os tak, aby boli plochy výsledných obrázkov rovnaké. Hodnota segmentu medzi stredom rozloženia a výslednou projekciou na vodorovnú os bude štandardná odchýlka.
Softvér
Ako môžete vidieť z popisov vzorcov a uvedených príkladov, výpočet rozptylu a matematického očakávania nie je z aritmetického hľadiska najjednoduchší postup. Aby sa nestrácal čas, má zmysel používať program používaný vo vysokoškolskom vzdelávaní - nazýva sa "R". Má funkcie, ktoré vám umožňujú vypočítať hodnoty pre mnohé pojmy zo štatistiky a teórie pravdepodobnosti.
Napríklad definujete vektor hodnôt. Toto sa robí nasledovne: vektor <-c(1, 5, 2…). Teraz, keď potrebujete vypočítať nejaké hodnoty pre tento vektor, napíšete funkciu a dáte ju ako argument. Ak chcete nájsť odchýlku, budete musieť použiť var. Jej príkladpoužitie: var(vektor). Potom už len stlačíte „enter“a získate výsledok.
Na záver
Variancia a matematické očakávanie sú základné pojmy teórie pravdepodobnosti, bez ktorých je v budúcnosti ťažké niečo vypočítať. V hlavnom kurze prednášok na vysokých školách sa s nimi počíta už v prvých mesiacoch štúdia predmetu. Práve z dôvodu nepochopenia týchto jednoduchých pojmov a neschopnosti ich vypočítať mnohí študenti okamžite začnú v programe zaostávať a neskôr dostanú na konci hodiny zlé známky, čo ich pripraví o štipendiá.
Cvičte aspoň jeden týždeň pol hodiny denne a riešte problémy podobné tým, ktoré sú uvedené v tomto článku. Potom sa pri akomkoľvek teste teórie pravdepodobnosti vyrovnáte s príkladmi bez nadbytočných tipov a cheatov.
