Teória pravdepodobnosti pracuje s náhodnými premennými. Pre náhodné veličiny existujú takzvané distribučné zákony. Takýto zákon opisuje svoju náhodnú premennú s absolútnou úplnosťou. Pri práci s reálnymi súbormi náhodných veličín je však často veľmi ťažké okamžite stanoviť zákon ich rozloženia a sú obmedzené na určitý súbor číselných charakteristík. Napríklad výpočet priemeru a rozptylu náhodnej premennej je často veľmi užitočný.
Prečo je to potrebné
Ak je podstata matematického očakávania blízka strednej hodnote veličiny, potom v tomto prípade rozptyl hovorí, ako sú hodnoty našej veličiny rozptýlené okolo tohto matematického očakávania. Ak sme napríklad merali IQ skupiny ľudí a chceme skúmať výsledky merania (vzorku), matematické očakávanie ukáže približnú priemernú hodnotu inteligenčného kvocientu pre túto skupinu ľudí a ak vypočítame rozptyl vzorky, zistíme, ako sú výsledky zoskupené okolo matematického očakávania: hromada blízko neho (malá odchýlka v IQ) alebo rovnomernejšie v celom rozsahu od minimálneho po maximálny výsledok (veľká odchýlka a niekde v strede - matematické očakávanie).
Na výpočet rozptylu potrebujete novú charakteristiku náhodnej premennej – odchýlku hodnoty od matematickéhočaká.
Deviation
Ak chcete pochopiť, ako vypočítať rozptyl, musíte najprv pochopiť odchýlku. Jeho definícia je rozdiel medzi hodnotou, ktorú náhodná premenná nadobúda, a jej matematickým očakávaním. Zhruba povedané, aby ste pochopili, ako je hodnota "rozptýlená", musíte sa pozrieť na to, ako je rozdelená jej odchýlka. To znamená, že hodnotu hodnoty nahradíme hodnotou jej odchýlky od podložky. očakávania a preskúmajte jeho distribučný zákon.
Zákon rozdelenia diskrétnej, teda náhodnej premennej, ktorá nadobúda jednotlivé hodnoty, je zapísaný vo forme tabuľky, kde hodnota hodnoty koreluje s pravdepodobnosťou jej výskytu. Potom v zákone o rozdelení odchýlok bude náhodná veličina nahradená jej vzorcom, v ktorom je hodnota (ktorá si zachovala svoju pravdepodobnosť) a vlastný mat. čaká.
Vlastnosti zákona rozdelenia odchýlky náhodnej premennej
Napísali sme distribučný zákon pre odchýlku náhodnej premennej. Z nej môžeme vyťažiť zatiaľ len takú charakteristiku, akou je matematické očakávanie. Pre pohodlie je lepšie použiť číselný príklad.
Nech existuje distribučný zákon nejakej náhodnej premennej: X - hodnota, p - pravdepodobnosť.
Matematické očakávanie vypočítame pomocou vzorca a hneď aj odchýlku.
Nakreslenie novej tabuľky rozdelenia odchýlok.
Aj tu vypočítame očakávanie.
Ukazuje sa nula. Existuje len jeden príklad, ale vždy to tak bude: nie je ťažké to dokázať vo všeobecnom prípade. Vzorec pre matematické očakávanie odchýlky možno rozložiť na rozdiel medzi matematickými očakávaniami náhodnej premennej a, nech to znie akokoľvek krivo, matematickým očakávaním podložky. očakávania (avšak rekurzia), ktoré sú rovnaké, preto ich rozdiel bude nulový.
Toto sa očakáva: koniec koncov, odchýlky v znamienku môžu byť kladné aj záporné, preto by v priemere mali dávať nulu.
Ako vypočítať rozptyl samostatného prípadu. množstvá
Ak mat. nemá zmysel počítať očakávanú odchýlku, treba hľadať niečo iné. Môžete jednoducho vziať absolútne hodnoty odchýlok (modulo); ale s modulmi nie je všetko také jednoduché, takže odchýlky sa umocnia na druhú a potom sa vypočíta ich matematické očakávanie. V skutočnosti sa toto myslí, keď hovoria o tom, ako vypočítať rozptyl.
To znamená, že vezmeme odchýlky, umocníme ich a vytvoríme tabuľku druhých mocnín odchýlok a pravdepodobností, ktoré zodpovedajú náhodným premenným. Ide o nový distribučný zákon. Na výpočet matematického očakávania je potrebné pridať súčin druhej mocniny odchýlky a pravdepodobnosti.
Jednoduchší vzorec
Článok však začal tým, že zákon rozdelenia počiatočnej náhodnej premennej je často neznámy. Takže treba niečo ľahšie. V skutočnosti existuje ďalší vzorec, ktorý vám umožňuje vypočítať rozptyl vzorky iba pomocou podložky.čaká:
Disperzia - rozdiel medzi podložkou. očakávanie druhej mocniny náhodnej premennej a naopak druhej mocniny jej mat. čaká.
Existuje na to dôkaz, ale nemá zmysel to tu uvádzať, keďže to nemá žiadnu praktickú hodnotu (a potrebujeme len vypočítať rozptyl).
Ako vypočítať rozptyl náhodnej premennej vo variačných radoch
V reálnej štatistike nie je možné reflektovať všetky náhodné premenné (pretože ich je, zhruba povedané, nekonečne veľa). Preto sa do štúdie dostáva takzvaná reprezentatívna vzorka z nejakej všeobecnej populácie. A keďže číselné charakteristiky ľubovoľnej náhodnej premennej z takejto všeobecnej populácie sú vypočítané zo vzorky, nazývajú sa vzorka: priemer vzorky, respektíve rozptyl vzorky. Môžete ho vypočítať rovnakým spôsobom ako obvyklým spôsobom (prostredníctvom druhej mocniny odchýlok).
Takýto rozptyl sa však nazýva neobjektívny. Vzorec nezaujatého rozptylu vyzerá trochu inak. Zvyčajne sa to vyžaduje vypočítať.
Malý prírastok
S disperziou súvisí ešte jedna číselná charakteristika. Slúži tiež na vyhodnotenie toho, ako sa náhodná premenná rozptýli po jej podložke. očakávania. V spôsobe výpočtu rozptylu a štandardnej odchýlky nie je veľký rozdiel: druhá odmocnina je druhá odmocnina prvej.
