Pri zvažovaní obrazcov vo vesmíre často vznikajú problémy pri určovaní ich povrchu. Jednou z takýchto figúrok je kužeľ. Zvážte v článku, aký je bočný povrch kužeľa s okrúhlou základňou, ako aj zrezaného kužeľa.
Kužeľ s okrúhlou základňou
Skôr ako pristúpime k úvahe o bočnom povrchu kužeľa, ukážeme si, o aký útvar ide a ako ho získať pomocou geometrických metód.
Zoberte pravouhlý trojuholník ABC, kde AB a AC sú nohy. Položme tento trojuholník na nohu AC a otočme ho okolo nohy AB. Výsledkom je, že strany AC a BC opisujú dva povrchy obrázku znázorneného nižšie.
Ústava získaná rotáciou sa nazýva okrúhly rovný kužeľ. Je okrúhly, pretože jeho základňou je kruh, a rovný, pretože kolmica nakreslená z hornej časti obrázku (bod B) pretína kruh v jeho strede. Dĺžka tejto kolmice sa nazýva výška. Je zrejmé, že sa rovná nohe AB. Výška sa zvyčajne označuje písmenom h.
Okrem výšky je uvažovaný kužeľ opísaný ešte dvoma lineárnymi charakteristikami:
- generovanie alebo tvoriaca čiara (hypotenúza BC);
- základný polomer (noha AC).
Polomer bude označený písmenom r a matica generátora písmenom g. Potom, berúc do úvahy Pytagorovu vetu, môžeme zapísať rovnosť dôležitú pre uvažovaný obrazec:
g2=h2+ r2
Kónický povrch
Súhrn všetkých tvoriacich priamok tvorí kužeľovitý alebo bočný povrch kužeľa. Na pohľad je ťažké povedať, ktorej plochej postave zodpovedá. To je dôležité vedieť pri určovaní plochy kužeľovej plochy. Na vyriešenie tohto problému sa používa metóda zametania. Pozostáva z nasledovného: povrch sa mentálne rozreže pozdĺž ľubovoľnej tvoriacej čiary a potom sa rozloží na rovinu. Pri tomto spôsobe získania zákruty sa vytvorí nasledujúci plochý obrazec.
Ako by ste mohli hádať, kruh zodpovedá základni, ale kruhový sektor je kužeľovitý povrch, ktorého oblasť nás zaujíma. Sektor je ohraničený dvomi tvoriacimi priamkami a oblúkom. Dĺžka druhého sa presne rovná obvodu (dĺžke) obvodu základne. Tieto charakteristiky jednoznačne určujú všetky vlastnosti kruhového sektora. Nebudeme poskytovať stredné matematické výpočty, ale okamžite zapíšeme konečný vzorec, pomocou ktorého môžete vypočítať plochu bočného povrchu kužeľa. Vzorec je:
Sb=pigr
Oblasť kužeľovej plochy Sb sa rovná súčinu dvoch parametrov a Pi.
Zrezaný kužeľ a jeho povrch
Ak vezmeme obyčajný kužeľ a odrežeme jeho vrchol rovnobežnou rovinou, zostávajúca postava bude zrezaný kužeľ. Jeho bočná plocha je ohraničená dvoma okrúhlymi základňami. Označme ich polomery ako R a r. Výšku obrazca označíme h a tvoriacu čiaru g. Nižšie je papierový výrez pre tento obrázok.
Je vidieť, že bočná plocha už nie je kruhový sektor, ale má menšiu plochu, keďže od nej bola odrezaná stredová časť. Vývoj je obmedzený na štyri čiary, dve z nich sú priame úsečky-generátory, ďalšie dve sú oblúky s dĺžkami zodpovedajúcich kružníc podstav zrezaného kužeľa.
Bočná plocha Sbvypočítané takto:
Sb=pig(r + R)
Generačná čiara, polomery a výška súvisia podľa nasledujúcej rovnosti:
g2=h2+ (R - r)2
Problém s rovnosťou plôch čísel
V prípade kužeľa s výškou 20 cm a polomerom základne 8 cm je potrebné nájsť výšku zrezaného kužeľa, ktorého bočná plocha bude mať rovnakú plochu ako tento kužeľ. Zrezaná figúrka je postavená na rovnakej základni a polomer hornej základne je 3 cm.
Najprv si napíšme podmienku rovnosti plôch kužeľa a zrezaného útvaru. Máme:
Sb1=Sb2=>
pig1R=pig2(r + R)
Teraz napíšme výrazy pre generatické čiary každého tvaru:
g1=√(R2+ h12);
g2=√((R-r)2 + h2 2)
Nahraďte g1 a g2 do vzorca pre rovnaké plochy a odmocnite ľavú a pravú stranu, dostaneme:
R2(R2+ h12)=((R-r)2+ h22)(r + R)2
Odkiaľ získame výraz pre h2:
h2=√(R2(R2+ h 12)/(r + R)2- (R - r)2 )
Túto rovnosť nezjednodušíme, ale jednoducho dosadíme údaje známe z podmienky:
h2=√(82(82+ 202)/(3 + 8)2- (8 - 3)2) ≈ 14,85 cm
Aby sa teda zrovnali plochy bočných plôch obrázkov, zrezaný kužeľ musí mať parametre: R=8 cm, r=3 cm, h2≈ 14, 85 cm.
