Každý študent už počul o okrúhlom kuželi a predstavuje si, ako táto trojrozmerná postava vyzerá. Tento článok definuje vývoj kužeľa, poskytuje vzorce, ktoré popisujú jeho charakteristiky a popisuje, ako ho zostrojiť pomocou kružidla, uhlomeru a pravítka.
Kruhový kužeľ v geometrii
Uveďme geometrickú definíciu tohto útvaru. Kruhový kužeľ je plocha, ktorá je tvorená priamymi úsečkami spájajúcimi všetky body určitej kružnice s jediným bodom v priestore. Tento jediný bod nesmie patriť do roviny, v ktorej leží kružnica. Ak vezmeme kruh namiesto kruhu, potom táto metóda tiež vedie ku kužeľu.
Kruh sa nazýva základňa postavy, jeho obvod je priamka. Segmenty spájajúce bod so smerovou čiarou sa nazývajú tvoriace čiary alebo generátory a bod, kde sa pretínajú, je vrchol kužeľa.
Okrúhly kužeľ môže byť rovný a šikmý. Obe čísla sú zobrazené na obrázku nižšie.
Rozdiel medzi nimi je tento: ak kolmica z vrcholu kužeľa padá presne do stredu kruhu, potom bude kužeľ rovný. Pre neho je kolmica, ktorej sa hovorí výška postavy, súčasťou jeho osi. V prípade šikmého kužeľa výška a os zvierajú ostrý uhol.
Vzhľadom na jednoduchosť a symetriu obrázku budeme ďalej uvažovať o vlastnostiach iba pravého kužeľa s okrúhlou základňou.
Získanie tvaru pomocou otáčania
Predtým, ako pristúpime k úvahám o vývoji povrchu kužeľa, je užitočné vedieť, ako možno tento priestorový obrazec získať pomocou rotácie.
Predpokladajme, že máme pravouhlý trojuholník so stranami a, b, c. Prvé dve z nich sú nohy, c je prepona. Na nohu a položíme trojuholník a začneme ním otáčať okolo nohy b. Prepona c potom bude opisovať kužeľovú plochu. Táto jednoduchá technika kužeľa je znázornená na obrázku nižšie.
Je zrejmé, že rameno a bude polomer základne obrázku, rameno b bude jeho výška a prepona c zodpovedá tvoriacej priamke okrúhleho pravého kužeľa.
Pohľad na vývoj kužeľa
Ako asi tušíte, kužeľ tvoria dva typy povrchov. Jedným z nich je plochý základný kruh. Predpokladajme, že má polomer r. Druhý povrch je bočný a nazýva sa kužeľový. Nech sa jeho generátor rovná g.
Ak máme papierový kužeľ, môžeme si vziať nožnice a odstrihnúť z neho základňu. Potom by sa mala kužeľová plocha odrezaťpozdĺž akejkoľvek tvoriacej čiary a rozmiestnite ju v lietadle. Týmto spôsobom sme získali rozvinutie bočného povrchu kužeľa. Dva povrchy spolu s pôvodným kužeľom sú znázornené na obrázku nižšie.
Základný kruh je zobrazený vpravo dole. V strede je zobrazená rozložená kužeľová plocha. Ukazuje sa, že zodpovedá nejakému kruhovému sektoru kruhu, ktorého polomer sa rovná dĺžke tvoriacej čiary g.
Zametanie uhla a plochy
Teraz dostaneme vzorce, ktoré nám pomocou známych parametrov g a r umožňujú vypočítať plochu a uhol kužeľa.
Je zrejmé, že oblúk kruhového sektora zobrazený vyššie na obrázku má dĺžku rovnajúcu sa obvodu základne, to znamená:
l=2pir.
Ak by bol postavený celý kruh s polomerom g, jeho dĺžka by bola:
L=2pig.
Keďže dĺžka L zodpovedá 2pi radiánom, uhol, na ktorom spočíva oblúk l, možno určiť zo zodpovedajúceho podielu:
L==>2pi;
l==> φ.
Potom sa neznámy uhol φ bude rovnať:
φ=2pil/L.
Nahradením výrazov pre dĺžky l a L sa dostaneme k vzorcu pre uhol rozvinutia bočnej plochy kužeľa:
φ=2pir/g.
Uhol φ je tu vyjadrený v radiánoch.
Na určenie plochy Sb kruhového sektora použijeme nájdenú hodnotu φ. Robíme ešte jeden pomer, len pre oblasti. Máme:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
Odkiaľ vyjadriť Sb a potom nahradiť hodnotu uhla φ. Získame:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
Pre oblasť kužeľovej plochy sme získali pomerne kompaktný vzorec. Hodnota Sb sa rovná súčinu troch faktorov: pi, polomeru obrazca a jeho tvoriacej čiary.
Potom plocha celého povrchu obrázku sa bude rovnať súčtu Sb a So (kruhový základná plocha). Dostaneme vzorec:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Stavba kužeľa na papieri
Na dokončenie tejto úlohy budete potrebovať kus papiera, ceruzku, uhlomer, pravítko a kružidlo.
Narysujme si najprv pravouhlý trojuholník so stranami 3 cm, 4 cm a 5 cm, ktorého otočením okolo nohy 3 cm dostaneme požadovaný kužeľ. Figúrka má r=3 cm, v=4 cm, g=5 cm.
Stavba zametania začne nakreslením kružnice s polomerom r pomocou kružidla. Jeho dĺžka sa bude rovnať 6pi cm Teraz vedľa neho nakreslíme ďalší kruh, ale s polomerom g. Jeho dĺžka bude zodpovedať 10pi cm Teraz musíme z veľkého kruhu odrezať kruhový sektor. Jeho uhol φ je:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Teraz dáme bokom tento uhol pomocou uhlomeru na kruhu s polomerom g a nakreslíme dva polomery, ktoré obmedzia kruhový sektor.
TakžeTakto sme postavili vývoj kužeľa so špecifikovanými parametrami polomeru, výšky a tvoriacej priamky.
Príklad riešenia geometrickej úlohy
Vzhľadom na okrúhly rovný kužeľ. Je známe, že uhol jeho bočného sklonu je 120o. Je potrebné nájsť polomer a tvoriacu čiaru tohto obrazca, ak je známe, že výška h kužeľa je 10 cm.
Úloha nie je náročná, ak si zapamätáme, že okrúhly kužeľ je rotačný útvar pravouhlého trojuholníka. Z tohto trojuholníka vyplýva jednoznačný vzťah medzi výškou, polomerom a tvoriacou čiarou. Napíšme zodpovedajúci vzorec:
g2=h2+ r2.
Druhý výraz, ktorý sa má použiť pri riešení, je vzorec pre uhol φ:
φ=2pir/g.
Máme teda dve rovnice týkajúce sa dvoch neznámych veličín (r a g).
Vyjadrite g z druhého vzorca a dosaďte výsledok do prvého, dostaneme:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Uhol φ=120o v radiánoch je 2pi/3. Dosadíme túto hodnotu a získame konečné vzorce pre r a g:
r=h /√8;
g=3h /√8.
Zostáva nahradiť hodnotu výšky a získať odpoveď na problémovú otázku: r ≈ 3,54 cm, g ≈ 10,61 cm.
