Mnohí, ktorí čelia konceptu „teórie pravdepodobnosti“, sú vystrašení a myslia si, že ide o niečo ohromujúce, veľmi zložité. Ale v skutočnosti to nie je až také tragické. Dnes zvážime základný koncept teórie pravdepodobnosti, naučíme sa riešiť problémy pomocou konkrétnych príkladov.
Veda
Čo študuje taký odbor matematiky ako „teória pravdepodobnosti“? Zaznamenáva vzorce náhodných udalostí a veličín. Prvýkrát sa vedci o túto problematiku začali zaujímať už v osemnástom storočí, keď študovali hazardné hry. Základným pojmom teórie pravdepodobnosti je udalosť. Je to akákoľvek skutočnosť, ktorá je zistená skúsenosťou alebo pozorovaním. Ale čo je skúsenosť? Ďalší základný koncept teórie pravdepodobnosti. Znamená to, že táto skladba okolností nevznikla náhodou, ale za určitým účelom. Čo sa týka pozorovania, tu sa samotný výskumník nezúčastňuje experimentu, ale je jednoducho svedkom týchto udalostí, nijako neovplyvňuje dianie.
Udalosti
Dozvedeli sme sa, že základný koncept teórie pravdepodobnosti je udalosť, ale nezohľadnili sme klasifikáciu. Všetky sú rozdelené do nasledujúcich kategórií:
- Spoľahlivý.
- Nemožné.
- Náhodné.
Nezáleží na tomaké udalosti sú pozorované alebo vytvorené v priebehu skúsenosti, všetky podliehajú tejto klasifikácii. Ponúkame možnosť zoznámiť sa s každým druhom zvlášť.
Určitá udalosť
Toto je okolnosť, pred ktorou bol prijatý potrebný súbor opatrení. Aby sme lepšie pochopili podstatu, je lepšie uviesť niekoľko príkladov. Fyzika, chémia, ekonómia a vyššia matematika podliehajú tomuto zákonu. Teória pravdepodobnosti zahŕňa taký dôležitý pojem, akým je určitá udalosť. Tu je niekoľko príkladov:
- Pracujeme a dostávame odmenu vo forme mzdy.
- Zvládli sme skúšky dobre, zvládli sme súťaž, za to dostávame odmenu v podobe prijatia do vzdelávacej inštitúcie.
- Peniaze sme investovali do banky, v prípade potreby ich vrátime.
Takéto udalosti sú spoľahlivé. Ak sme splnili všetky potrebné podmienky, potom sa určite dočkáme očakávaného výsledku.
Nemožné udalosti
Teraz uvažujeme o prvkoch teórie pravdepodobnosti. Navrhujeme prejsť na vysvetlenie ďalšieho typu udalosti, konkrétne nemožné. Najprv špecifikujme najdôležitejšie pravidlo – pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nula.
Pri riešení problémov sa nemôžete odchýliť od tohto znenia. Na objasnenie uvádzame príklady takýchto udalostí:
- Voda zamrzla na plus desať (to nie je možné).
- Nedostatok elektriny žiadnym spôsobom neovplyvňuje výrobu (rovnako nemožné ako v predchádzajúcom príklade).
Viac príkladovNestojí za to citovať, pretože vyššie opísané veľmi jasne odrážajú podstatu tejto kategórie. Počas tohto zážitku sa za žiadnych okolností nikdy nestane nemožná udalosť.
Náhodné udalosti
Pri štúdiu prvkov teórie pravdepodobnosti je potrebné venovať osobitnú pozornosť tomuto konkrétnemu typu udalosti. To je to, čo študuje veda. V dôsledku skúseností sa niečo môže, ale aj nemusí stať. Okrem toho je možné test opakovať neobmedzený počet krát. Živé príklady sú:
- Hádzanie mincou je zážitok alebo test, smerovanie je udalosť.
- Slepé vytiahnutie lopty z vrecka je test, chytenie červenej lopty je udalosť atď.
Takýchto príkladov môže byť neobmedzený počet, ale vo všeobecnosti by mala byť podstata jasná. Na zhrnutie a systematizáciu získaných poznatkov o udalostiach je uvedená tabuľka. Teória pravdepodobnosti študuje iba posledný typ zo všetkých prezentovaných.
| title | definition | example |
| Spoľahlivý | Udalosti, ktoré sa vyskytnú so 100% zárukou za určitých podmienok. | Prijatie do vzdelávacej inštitúcie s dobrou prijímacou skúškou. |
| Nemožné | Udalosti, ktoré sa nikdy za žiadnych okolností nestanú. | Sneží pri teplote plus tridsať stupňov Celzia. |
| Náhodné | Udalosť, ktorá môže, ale nemusí nastať počas experimentu/testu. | Zásah alebo míňanie pri hádzaní basketbalovej lopty do koša. |
Zákony
Teória pravdepodobnosti je veda, ktorá študuje možnosť výskytu udalosti. Rovnako ako ostatné, má určité pravidlá. Existujú nasledujúce zákony teórie pravdepodobnosti:
- Konvergencia postupností náhodných premenných.
- Zákon veľkých čísel.
Pri výpočte možnosti komplexu môžete použiť komplex jednoduchých udalostí na dosiahnutie výsledku jednoduchším a rýchlejším spôsobom. Všimnite si, že zákony teórie pravdepodobnosti sa dajú ľahko dokázať pomocou niektorých teorémov. Začnime prvým zákonom.
Konvergencia postupností náhodných premenných
Všimnite si, že existuje niekoľko typov konvergencie:
- Sekvencia náhodných premenných konverguje v pravdepodobnosti.
- Takmer nemožné.
- Konvergencia RMS.
- Konvergencia v distribúcii.
Takže za behu je veľmi ťažké dostať sa k podstate veci. Tu je niekoľko definícií, ktoré vám pomôžu pochopiť túto tému. Začnime prvým pohľadom. Postupnosť sa nazýva konvergentná v pravdepodobnosti, ak je splnená nasledujúca podmienka: n smeruje k nekonečnu, číslo, ku ktorému postupnosť smeruje, je väčšie ako nula a blíži sa k jednej.
Prejdem na ďalšie zobrazenie, takmer určite. To hovoriapostupnosť takmer s istotou konverguje k náhodnej premennej, pričom n smeruje k nekonečnu a P smeruje k hodnote blízkej jednej.
Ďalším typom je konvergencia efektívnej hodnoty. Pri použití SC-konvergencie sa štúdium vektorových náhodných procesov redukuje na štúdium ich súradnicových náhodných procesov.
Posledný typ zostáva, poďme sa naň krátko pozrieť, aby sme mohli prejsť priamo k riešeniu problémov. Distribučná konvergencia má iný názov - „slabá“, nižšie vysvetlíme prečo. Slabá konvergencia je konvergencia distribučných funkcií vo všetkých bodoch kontinuity limitnej distribučnej funkcie.
Uistite sa, že splníte sľub: slabá konvergencia sa líši od všetkých vyššie uvedených v tom, že náhodná premenná nie je definovaná v priestore pravdepodobnosti. Je to možné, pretože podmienka sa vytvára výlučne pomocou distribučných funkcií.
Zákon veľkých čísel
Výbornými pomocníkmi pri dokazovaní tohto zákona budú vety teórie pravdepodobnosti, ako napríklad:
- Čebyševova nerovnosť.
- Čebyševova veta.
- Zobecnená Čebyševova veta.
- Markovova veta.
Ak vezmeme do úvahy všetky tieto vety, potom sa táto otázka môže natiahnuť na niekoľko desiatok listov. Našou hlavnou úlohou je aplikovať teóriu pravdepodobnosti v praxi. Pozývame vás, aby ste to urobili práve teraz. Predtým sa však pozrime na axiómy teórie pravdepodobnosti, ktoré budú hlavnými pomocníkmi pri riešení problémov.
Axiómy
S prvým sme sa už stretli, keď sme hovorili o nemožnej udalosti. Pamätajme: pravdepodobnosť nemožnej udalosti je nulová. Uviedli sme veľmi živý a nezabudnuteľný príklad: snežilo pri teplote vzduchu tridsať stupňov Celzia.
To druhé znie takto: spoľahlivá udalosť nastane s pravdepodobnosťou rovnajúcou sa jednej. Teraz si ukážeme, ako to napísať pomocou matematického jazyka: P(B)=1.
Po tretie: Náhodná udalosť môže, ale nemusí nastať, ale možnosť sa vždy pohybuje od nuly do jednej. Čím je hodnota bližšia k jednej, tým väčšia je šanca; ak sa hodnota blíži nule, pravdepodobnosť je veľmi nízka. Napíšme to v matematickom jazyku: 0<Р(С)<1.
Uvažujme poslednú, štvrtú axiómu, ktorá znie takto: pravdepodobnosť súčtu dvoch udalostí sa rovná súčtu ich pravdepodobností. Píšeme v matematickom jazyku: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Axiómy teórie pravdepodobnosti sú najjednoduchšie pravidlá, ktoré sa dajú ľahko zapamätať. Pokúsme sa vyriešiť niektoré problémy na základe už získaných vedomostí.
Lotéria
Najprv zvážte najjednoduchší príklad – lotériu. Predstavte si, že ste si kúpili jeden žreb pre šťastie. Aká je pravdepodobnosť, že vyhráte aspoň dvadsať rubľov? Celkovo sa v obehu zúčastňuje tisíc lístkov, z ktorých jeden má cenu päťsto rubľov, desať zo sto rubľov, päťdesiat z dvadsiatich rubľov a sto päť. Problémy v teórii pravdepodobnosti sú založené na hľadaní možnostiveľa štastia. Teraz spoločne analyzujeme riešenie vyššie uvedenej úlohy.
Ak písmenom A označíme výhru päťsto rubľov, pravdepodobnosť získania A bude 0,001. Ako sme ju získali? Stačí vydeliť počet „šťastných“tiketov ich celkovým počtom (v tomto prípade: 1/1000).
B je výhra sto rubľov, pravdepodobnosť bude 0,01. Teraz sme postupovali podľa rovnakého princípu ako v predchádzajúcej akcii (10/1000)
C - výhry sa rovnajú dvadsiatim rubľov. Nájdite pravdepodobnosť, rovná sa 0,05.
Ostatné lístky nás nezaujímajú, pretože ich výherný fond je nižší ako ten, ktorý je uvedený v podmienke. Aplikujme štvrtú axiómu: Pravdepodobnosť výhry aspoň dvadsiatich rubľov je P(A)+P(B)+P(C). Písmeno P označuje pravdepodobnosť výskytu tejto udalosti, našli sme ich už v predchádzajúcich krokoch. Zostáva len doplniť potrebné údaje, v odpovedi dostaneme 0, 061. Toto číslo bude odpoveďou na otázku zadania.
Panel kariet
Problémy s teóriou pravdepodobnosti môžu byť zložitejšie, urobte si napríklad nasledujúcu úlohu. Pred vami je balíček tridsiatich šiestich kariet. Vašou úlohou je ťahať dve karty za sebou bez toho, aby ste zamiešali kôpku, prvá a druhá karta musia byť esá, na farbe nezáleží.
Najprv nájdime pravdepodobnosť, že prvou kartou bude eso, preto vydelíme štyri tridsiatimi šiestimi. Odložili to bokom. Vyťahujeme druhú kartu, bude to eso s pravdepodobnosťou tri tridsiate pätiny. Pravdepodobnosť druhej udalosti závisí od toho, ktorú kartu sme si vytiahli ako prvú, zaujíma násbolo to eso alebo nie. Z toho vyplýva, že udalosť B závisí od udalosti A.
Ďalším krokom je nájsť pravdepodobnosť simultánnej implementácie, to znamená, že vynásobíme A a B. Ich súčin nájdeme nasledovne: pravdepodobnosť jednej udalosti sa vynásobí podmienenou pravdepodobnosťou druhej, ktorú vypočítame, za predpokladu, že nastala prvá udalosť, to znamená, že s prvou kartou sme si vytiahli eso.
Aby bolo všetko jasné, označme prvok ako podmienená pravdepodobnosť udalosti. Vypočítava sa za predpokladu, že udalosť A nastala. Vypočítané takto: P(B/A).
Pokračovať v riešení nášho problému: P(AB)=P(A)P(B/A) alebo P (AB)=P(B)P(A/B). Pravdepodobnosť je (4/36)((3/35)/(4/36). Vypočítajte zaokrúhlením na stotiny. Máme: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. Pravdepodobnosť, že vytiahneme dve esá za sebou, je deväť stotín. Hodnota je veľmi malá, z toho vyplýva, že pravdepodobnosť výskytu udalosti je extrémne malá.
Zabudnuté číslo
Navrhujeme analyzovať niekoľko ďalších možností pre úlohy, ktoré študuje teória pravdepodobnosti. Príklady riešenia niektorých ste už videli v tomto článku, skúsme vyriešiť nasledujúci problém: chlapec zabudol poslednú číslicu telefónneho čísla svojho priateľa, ale keďže hovor bol veľmi dôležitý, začal postupne vytáčať všetko. Musíme vypočítať pravdepodobnosť, že nezavolá viac ako trikrát. Riešenie problému je najjednoduchšie, ak sú známe pravidlá, zákony a axiómy teórie pravdepodobnosti.
Pred pozeranímriešenie, skúste to vyriešiť sami. Vieme, že posledná číslica môže byť od nuly do deviatich, to znamená, že celkovo existuje desať hodnôt. Pravdepodobnosť získania toho pravého je 1/10.
Ďalej musíme zvážiť možnosti pôvodu udalosti, predpokladajme, že chlapec uhádol správne a okamžite skóroval správne, pravdepodobnosť takejto udalosti je 1/10. Druhá možnosť: prvý hovor je zmeškaný a druhý je na cieľ. Vypočítame pravdepodobnosť takejto udalosti: vynásobte 9/10 1/9, výsledkom je tiež 1/10. Tretia možnosť: prvý a druhý hovor sa ukázal ako na nesprávnej adrese, až z tretieho sa chlapec dostal tam, kam chcel. Vypočítame pravdepodobnosť takejto udalosti: vynásobíme 9/10 8/9 a 1/8, dostaneme 1/10. Podľa stavu problému nás iné možnosti nezaujímajú, ostáva nám teda sčítať výsledky, vo výsledku máme 3/10. Odpoveď: Pravdepodobnosť, že chlapec nezavolá viac ako trikrát, je 0,3.
Karty s číslami
Pred vami je deväť kariet, na každej z nich je napísané číslo od jedna do deväť, čísla sa neopakujú. Boli umiestnené v krabici a dôkladne premiešané. Musíte vypočítať pravdepodobnosť, že
- príde párne číslo;
- dvojmiestne.
Skôr než pristúpime k riešeniu, určme, že m je počet úspešných prípadov a n je celkový počet možností. Nájdite pravdepodobnosť, že číslo je párne. Nebude ťažké vypočítať, že existujú štyri párne čísla, toto bude naše m, celkovo je deväť možností, teda m=9. Potom pravdepodobnosťrovná sa 0, 44 alebo 4/9.
Uvažujme o druhom prípade: počet možností je deväť a nemôže dôjsť k žiadnemu úspešnému výsledku, to znamená, že m sa rovná nule. Pravdepodobnosť, že vytiahnutá karta bude obsahovať dvojmiestne číslo, je tiež nulová.
