Je nepravdepodobné, že by veľa ľudí premýšľalo o tom, či je možné vypočítať udalosti, ktoré sú viac-menej náhodné. Jednoducho povedané, je reálne vedieť, ktorá strana kocky vypadne ako ďalšia? Práve túto otázku si položili dvaja veľkí vedci, ktorí položili základy takej vedy, akou je teória pravdepodobnosti, v ktorej sa pravdepodobnosť udalosti pomerne rozsiahlo skúma.
Pôvod
Ak sa pokúsite definovať taký pojem ako teória pravdepodobnosti, dostanete nasledovné: toto je jedna z oblastí matematiky, ktorá študuje stálosť náhodných udalostí. Samozrejme, tento koncept skutočne neodhaľuje celú podstatu, preto je potrebné ho zvážiť podrobnejšie.
Rád by som začal tvorcami teórie. Ako už bolo spomenuté vyššie, boli dvaja, sú to Pierre Fermat a Blaise Pascal. Boli to oni, ktorí boli medzi prvými, ktorí sa pokúsili vypočítať výsledok udalosti pomocou vzorcov a matematických výpočtov. Celkovo sa základy tejto vedy objavili už v rStredovek. V tom čase sa rôzni myslitelia a vedci pokúšali analyzovať hazardné hry, ako je ruleta, kocky atď., čím sa vytvoril vzorec a percento vypadnutia konkrétneho čísla. Základ položili v sedemnástom storočí spomínaní vedci.
Spočiatku sa ich práca nedala pripísať veľkým úspechom v tejto oblasti, pretože všetko, čo robili, boli jednoducho empirické fakty a experimenty boli nastavené vizuálne, bez použitia vzorcov. Postupom času sa ukázalo, že dosahuje skvelé výsledky, ktoré sa objavili v dôsledku pozorovania hádzania kociek. Bol to tento nástroj, ktorý pomohol odvodiť prvé zrozumiteľné vzorce.
Spolupracovníci
Je nemožné nespomenúť takú osobu, akou je Christian Huygens, v procese štúdia témy zvanej „teória pravdepodobnosti“(pravdepodobnosť udalosti sa zaoberá práve touto vedou). Táto osoba je veľmi zaujímavá. Rovnako ako vyššie uvedení vedci sa pokúsil odvodiť zákonitosť náhodných udalostí vo forme matematických vzorcov. Je pozoruhodné, že to nerobil spolu s Pascalom a Fermatom, to znamená, že všetky jeho diela sa nijako neprelínali s týmito myšlienkami. Huygens odvodil základné pojmy teórie pravdepodobnosti.
Zaujímavým faktom je, že jeho práca vyšla dávno pred výsledkami práce priekopníkov, alebo skôr o dvadsať rokov skôr. Spomedzi označených pojmov sú najznámejšie:
- koncept pravdepodobnosti ako veľkosti náhody;
- očakávanie diskrétnostiprípady;
- vety o násobení a sčítaní pravdepodobností.
Nemožno si nespomenúť ani na Jacoba Bernoulliho, ktorý tiež významne prispel k štúdiu problému. Vykonaním vlastných testov, nezávislých od kohokoľvek, sa mu podarilo predložiť dôkaz o zákone veľkých čísel. Na druhej strane vedci Poisson a Laplace, ktorí pracovali na začiatku devätnásteho storočia, dokázali pôvodné vety dokázať. Od tohto momentu sa teória pravdepodobnosti začala používať na analýzu chýb v priebehu pozorovaní. Túto vedu nemohli obísť ani ruskí vedci, či skôr Markov, Čebyšev a Djapunov. Na základe práce veľkých géniov zafixovali tento predmet ako odvetvie matematiky. Tieto čísla fungovali už na konci devätnásteho storočia a vďaka ich prispeniu vznikli javy ako:
- zákon veľkých čísel;
- Teória Markovových reťazcov;
- centrálna limitná veta.
S históriou zrodu vedy a hlavnými ľuďmi, ktorí ju ovplyvnili, je teda všetko viac-menej jasné. Teraz je čas konkretizovať všetky fakty.
Základné pojmy
Skôr než sa dotknete zákonov a teorémov, stojí za to preštudovať si základné pojmy teórie pravdepodobnosti. Podujatie v ňom preberá vedúcu úlohu. Táto téma je dosť rozsiahla, ale bez nej nebude možné pochopiť všetko ostatné.
Udalosť v teórii pravdepodobnosti je akýkoľvek súbor výsledkov experimentu. Nie je toľko konceptov tohto fenoménu. Takže, vedec Lotman,pracujúci v tejto oblasti povedal, že v tomto prípade hovoríme o niečom, čo sa „stalo, hoci sa to možno nestalo.“
Náhodné udalosti (teória pravdepodobnosti im venuje osobitnú pozornosť) je koncept, ktorý zahŕňa absolútne akýkoľvek jav, ktorý má schopnosť nastať. Alebo naopak, pri splnení mnohých podmienok tento scenár nenastane. Tiež stojí za to vedieť, že sú to náhodné udalosti, ktoré zachytávajú celý objem javov, ktoré sa vyskytli. Teória pravdepodobnosti naznačuje, že všetky podmienky sa môžu neustále opakovať. Bolo to ich správanie, ktoré sa nazývalo „skúsenosť“alebo „test“.
Určitá udalosť je taká, ktorá sa 100 % stane v danom teste. Preto nemožná udalosť je taká, ktorá sa nestane.
Kombinácia dvojice akcií (bežne prípad A a prípad B) je jav, ktorý sa vyskytuje súčasne. Sú označené ako AB.
Súčet dvojíc udalostí A a B je C, inými slovami, ak sa stane aspoň jeden z nich (A alebo B), dostaneme C. Vzorec opísaného javu je napísaný takto: C=A + B.
Nespojené udalosti v teórii pravdepodobnosti znamenajú, že dva prípady sa navzájom vylučujú. Nikdy sa nemôžu stať súčasne. Spoločné udalosti v teórii pravdepodobnosti sú ich antipódom. To znamená, že ak sa stalo A, potom to nezasahuje do B.
Opačné udalosti (teória pravdepodobnosti sa nimi zaoberá veľmi podrobne) sú ľahko pochopiteľné. Najlepšie je s nimi zaobchádzať v porovnaní. Sú takmer rovnaké akoa nezlučiteľné udalosti v teórii pravdepodobnosti. Ich rozdiel však spočíva v tom, že jeden z mnohých javov sa aj tak musí stať.
Ekvivalentné udalosti sú tie akcie, ktorých možnosť je rovnaká. Aby to bolo jasnejšie, môžeme si predstaviť hod mincou: pád jednej z jej strán je rovnako pravdepodobné, že spadne aj druhá.
Priaznivú udalosť je ľahšie vidieť na príklade. Povedzme, že existuje epizóda B a epizóda A. Prvým je hod kockou s výskytom nepárneho čísla a druhým je výskyt čísla päť na kocke. Potom sa ukáže, že A uprednostňuje B.
Nezávislé udalosti v teórii pravdepodobnosti sa premietajú iba do dvoch alebo viacerých prípadov a znamenajú nezávislosť akéhokoľvek konania od iného. Napríklad A je strata chvostov, keď sa hodí minca, a B je vytiahnutie jacka z balíčka. Sú to nezávislé udalosti v teórii pravdepodobnosti. V tomto momente to bolo jasnejšie.
Závislé udalosti v teórii pravdepodobnosti sú tiež prípustné len pre ich množinu. Naznačujú závislosť jedného od druhého, to znamená, že jav B môže nastať iba vtedy, ak sa A už stalo alebo naopak nestalo, keď je to hlavná podmienka pre B.
Výsledkom náhodného experimentu pozostávajúceho z jednej zložky sú elementárne udalosti. Teória pravdepodobnosti vysvetľuje, že ide o jav, ktorý sa stal iba raz.
Základné vzorce
Takže pojmy „udalosť“, „teória pravdepodobnosti“,bola uvedená aj definícia základných pojmov tejto vedy. Teraz je čas zoznámiť sa priamo s dôležitými vzorcami. Tieto výrazy matematicky potvrdzujú všetky hlavné pojmy v tak náročnom predmete, akým je teória pravdepodobnosti. Aj tu zohráva veľkú úlohu pravdepodobnosť udalosti.
Začnite radšej základnými vzorcami kombinatoriky. A predtým, ako k nim pristúpite, stojí za to zvážiť, čo to je.
Kombinatorika je predovšetkým odvetvie matematiky, zaoberá sa štúdiom obrovského množstva celých čísel, ako aj rôznych permutácií samotných čísel a ich prvkov, rôznych údajov atď., čo vedie k vzniku tzv. množstvo kombinácií. Okrem teórie pravdepodobnosti je toto odvetvie dôležité pre štatistiku, informatiku a kryptografiu.
Teraz teda môžeme prejsť k predstaveniu samotných vzorcov a ich definovaniu.
Prvý bude výraz pre počet permutácií, vyzerá takto:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
Rovnica platí len vtedy, ak sa prvky líšia iba v poradí.
Teraz sa bude brať do úvahy vzorec umiestnenia, vyzerá takto:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
Tento výraz platí nielen pre poradie prvku, ale aj pre jeho zloženie.
Tretia a zároveň posledná rovnica z kombinatoriky sa nazýva vzorec pre počet kombinácií:
C_n^m=n !: ((n -m))!:m !
Kombinácie sú výbery, ktoré nie sú usporiadané a platí pre ne toto pravidlo.
Ukázalo sa, že je ľahké prísť na vzorce kombinatoriky, teraz môžeme prejsť ku klasickej definícii pravdepodobností. Tento výraz vyzerá takto:
P(A)=m: n.
V tomto vzorci je m počet podmienok priaznivých pre udalosť A a n je počet absolútne všetkých rovnako možných a základných výsledkov.
Výrazov je veľké množstvo, článok nepokryje všetky, ale dotkne sa toho najdôležitejšieho z nich, ako je napríklad pravdepodobnosť súčtu udalostí:
P(A + B)=P(A) + P(B) – táto veta slúži na pridávanie iba nekompatibilných udalostí;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - a toto je na pridanie iba kompatibilných.
Pravdepodobnosť produkcie udalostí:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – táto veta platí pre nezávislé udalosti;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) – a toto je pre narkomani.
Vzorec udalosti ukončí zoznam. Teória pravdepodobnosti nám hovorí o Bayesovej vete, ktorá vyzerá takto:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
V tomto vzorci je H1, H2, …, H kompletná skupina hypotéz.
Zastavme sa tu, potom zvážime príklady použitia vzorcov na riešenie konkrétnych problémov z praxe.
Príklady
Ak si pozorne preštudujete niektorú časťmatematika sa nezaobíde bez cvičení a vzorových riešení. Rovnako aj teória pravdepodobnosti: udalosti, príklady sú tu neoddeliteľnou súčasťou, ktorá potvrdzuje vedecké výpočty.
Vzorec pre počet permutácií
Povedzme, že v balíčku kariet je tridsať kariet, počnúc nominálnou hodnotou jedna. Ďalšia otázka. Koľko spôsobov je možné naskladať balíček tak, aby karty s nominálnou hodnotou jedna a dve neboli vedľa seba?
Úloha bola nastavená, teraz prejdime k jej vyriešeniu. Najprv musíte určiť počet permutácií tridsiatich prvkov, na to vezmeme vyššie uvedený vzorec, ukáže sa P_30=30!.
Na základe tohto pravidla zistíme, koľko je možností zložiť balíček rôznymi spôsobmi, no musíme od nich odpočítať tie, v ktorých sú na rade prvá a druhá karta. Ak to chcete urobiť, začnime s možnosťou, keď je prvá nad druhou. Ukazuje sa, že prvá karta môže zaujať dvadsaťdeväť miest - od prvého do dvadsiateho deviateho a druhá karta od druhého do tridsiateho, ukáže sa to dvadsaťdeväť miest pre pár kariet. Zvyšok môže obsadiť dvadsaťosem miest a v ľubovoľnom poradí. To znamená, že pre permutáciu dvadsiatich ôsmich kariet existuje dvadsaťosem možností P_28=28!
Výsledkom je, že ak zvážime riešenie, keď prvá karta prekročí druhú, máme 29 ⋅ 28 možností navyše!=29!
Pomocou rovnakej metódy musíte vypočítať počet nadbytočných možností pre prípad, keď je prvá karta pod druhou. Ukazuje sa tiež 29 ⋅ 28!=29!
Z toho vyplýva, že existujú 2 ⋅ 29 extra možností!, pričom existuje 30 požadovaných spôsobov, ako zostaviť balíček! - 2 ⋅ 29!. Zostáva len počítať.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
Teraz musíte vynásobiť všetky čísla od jednej do dvadsaťdeväť spolu a potom na konci všetko vynásobiť 28. Odpoveď je 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Riešenie príkladu. Vzorec pre číslo umiestnenia
V tomto probléme musíte zistiť, koľkými spôsobmi je možné umiestniť pätnásť zväzkov na jednu policu, ale pod podmienkou, že spolu je tridsať zväzkov.
Tento problém má o niečo jednoduchšie riešenie ako predchádzajúci. Pomocou už známeho vzorca je potrebné vypočítať celkový počet lokalít z tridsiatich zväzkov po pätnástich.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 2067 09
Odpoveď bude 202 843 204 931 727 360 000.
Teraz poďme na úlohu trochu zložitejšie. Musíte zistiť, koľko spôsobov existuje, ako usporiadať tridsať kníh na dve police, za predpokladu, že na jednej poličke môže byť iba pätnásť zväzkov.
Pred začatím riešenia by som chcel objasniť, že niektoré problémy sa riešia niekoľkými spôsobmi, takže v tomto existujú dva spôsoby, ale v oboch sa používa rovnaký vzorec.
V tomto probléme môžete prevziať odpoveď z predchádzajúceho, pretože tam sme vypočítali, koľkokrát môžete naplniť policu pätnástimi knihami za-inak. Ukázalo sa A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
Druhú policu vypočítame pomocou permutačného vzorca, pretože je v nej umiestnených pätnásť kníh a zostáva len pätnásť. Použite vzorec P_15=15!.
Ukazuje sa, že súčet bude A_30^15 ⋅ P_15 spôsobov, ale navyše súčin všetkých čísel od tridsiatich do šestnástich bude musieť byť vynásobený súčinom čísel od jeden do pätnásť, pretože výsledkom je súčin všetkých čísel od jedna do tridsať, takže odpoveď je 30!
Tento problém sa však dá vyriešiť aj inak – jednoduchšie. K tomu si viete predstaviť, že na tridsať kníh je jedna polica. Všetky sú umiestnené na tejto rovine, ale keďže podmienka vyžaduje dve police, jednu dlhú prerežeme na polovicu, vyjde nám každá dve pätnásť. Z toho vyplýva, že možnosti umiestnenia môžu byť P_30=30!.
Riešenie príkladu. Vzorec pre číslo kombinácie
Teraz zvážime variant tretieho problému z kombinatoriky. Musíte zistiť, koľko spôsobov existuje na usporiadanie pätnástich kníh, za predpokladu, že si musíte vybrať z tridsiatich úplne rovnakých.
Pre riešenie sa samozrejme použije vzorec pre počet kombinácií. Z podmienky je zrejmé, že poradie rovnakých pätnástich kníh nie je dôležité. Preto najprv musíte zistiť celkový počet kombinácií tridsiatich kníh z pätnástich.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: pätnásť!=155 117 520
To je všetko. Pomocou tohto vzorca to bolo možné v čo najkratšom časevyriešiť takýto problém, odpoveď je 155 117 520.
Riešenie príkladu. Klasická definícia pravdepodobnosti
Pomocou vyššie uvedeného vzorca môžete nájsť odpoveď na jednoduchý problém. Pomôže však vizuálne vidieť a sledovať priebeh akcií.
V úlohe je dané, že v urne je desať úplne rovnakých loptičiek. Z toho sú štyri žlté a šesť modrých. Z urny sa vyberie jedna lopta. Musíte zistiť pravdepodobnosť, že budete modrý.
Na vyriešenie problému je potrebné označiť získanie modrej lopty ako udalosť A. Táto skúsenosť môže mať desať výsledkov, ktoré sú naopak elementárne a rovnako pravdepodobné. Zároveň z desiatich je šesť priaznivých pre udalosť A. Riešime podľa vzorca:
P(A)=6: 10=0, 6
Použitím tohto vzorca sme zistili, že pravdepodobnosť získania modrej gule je 0,6.
Riešenie príkladu. Pravdepodobnosť súčtu udalostí
Teraz bude predstavený variant, ktorý je riešený pomocou vzorca pre pravdepodobnosť súčtu udalostí. Takže za predpokladu, že existujú dve krabice, prvá obsahuje jednu sivú a päť bielych guľôčok a druhá obsahuje osem sivých a štyri biele gule. Výsledkom bolo, že jeden z nich bol odobratý z prvého a druhého boxu. Musíte zistiť, aká je šanca, že loptičky, ktoré dostanete, budú sivé a biele.
Ak chcete tento problém vyriešiť, musíte udalosti označiť štítkom.
- Tak, A – vezmi si sivú guľu z prvého políčka: P(A)=1/6.
- A’ – vezmite bielu loptičku aj z prvého políčka: P(A')=5/6.
- B – sivá gulička už bola vybratá z druhého boxu: P(B)=2/3.
- B’ – zoberte sivú guľu z druhého políčka: P(B')=1/3.
Podľa stavu problému musí nastať jeden z javov: AB' alebo A'B. Pomocou vzorca dostaneme: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Teraz bol použitý vzorec na násobenie pravdepodobnosti. Ďalej, aby ste našli odpoveď, musíte použiť rovnicu na ich sčítanie:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
Takto môžete pomocou vzorca vyriešiť podobné problémy.
Výsledok
Článok poskytol informácie na tému „Teória pravdepodobnosti“, v ktorej hrá kľúčovú úlohu pravdepodobnosť udalosti. Samozrejme, nie všetko bolo zohľadnené, ale na základe prezentovaného textu sa teoreticky dá zoznámiť s touto časťou matematiky. Daná veda môže byť užitočná nielen v profesionálnej práci, ale aj v každodennom živote. S jeho pomocou môžete vypočítať akúkoľvek možnosť akejkoľvek udalosti.
Text sa dotkol aj významných dátumov v histórii formovania teórie pravdepodobnosti ako vedy a mien ľudí, ktorých diela boli do nej investované. Tak viedla ľudská zvedavosť k tomu, že sa ľudia naučili počítať aj náhodné udalosti. Kedysi ich to len zaujímalo, no dnes už o tom vedia všetci. A nikto nepovie, čo nás čaká v budúcnosti, aké ďalšie brilantné objavy súvisiace s uvažovanou teóriou sa urobia. Jedno je však isté – výskum nestojí na mieste!
