Všetky telá, ktoré nás obklopujú, sú v neustálom pohybe. Pohyb telies vo vesmíre je pozorovaný na všetkých mierkových úrovniach, počnúc pohybom elementárnych častíc v atómoch hmoty a končiac zrýchleným pohybom galaxií vo vesmíre. V každom prípade sa proces pohybu vyskytuje so zrýchlením. V tomto článku sa budeme podrobne zaoberať konceptom tangenciálneho zrýchlenia a poskytneme vzorec, podľa ktorého sa dá vypočítať.
Kinematické veličiny
Skôr ako hovoríme o tangenciálnom zrýchlení, pouvažujme, akými veličinami je zvykom charakterizovať ľubovoľný mechanický pohyb telies v priestore.
V prvom rade je to dráha L. Zobrazuje vzdialenosť v metroch, centimetroch, kilometroch atď., ktorými telo prešlo určitý čas.
Druhou dôležitou charakteristikou v kinematike je rýchlosť tela. Na rozdiel od dráhy je to vektorová veličina a smeruje po trajektóriipohyby tela. Rýchlosť určuje rýchlosť zmeny priestorových súradníc v čase. Vzorec na jej výpočet je:
v¯=dL/dt
Rýchlosť je časová derivácia cesty.
Napokon, treťou dôležitou charakteristikou pohybu telies je zrýchlenie. Podľa definície vo fyzike je zrýchlenie veličina, ktorá určuje zmenu rýchlosti s časom. Vzorec na to môže byť napísaný ako:
a¯=dv¯/dt
Zrýchlenie, podobne ako rýchlosť, je tiež vektorová veličina, no na rozdiel od nej smeruje v smere zmeny rýchlosti. Smer zrýchlenia sa tiež zhoduje s vektorom výslednej sily pôsobiacej na teleso.
Dráha a zrýchlenie
V rámci priamočiareho pohybu sa uvažuje o mnohých fyzikálnych problémoch. V tomto prípade sa spravidla nehovorí o tangenciálnom zrýchlení bodu, ale pracuje sa s lineárnym zrýchlením. Ak však pohyb telesa nie je lineárny, potom jeho plné zrýchlenie možno rozložiť na dve zložky:
- tangent;
- normal.
V prípade lineárneho pohybu je normálna zložka nula, takže nehovoríme o vektorovej expanzii zrýchlenia.
Trajektória pohybu teda do značnej miery určuje povahu a zložky plného zrýchlenia. Dráha pohybu je chápaná ako pomyselná čiara v priestore, po ktorej sa teleso pohybuje. akýkoľvekkrivočiara trajektória vedie k výskytu nenulových zložiek zrýchlenia uvedených vyššie.
Určenie tangenciálneho zrýchlenia
Tangenciálne alebo, ako sa tiež nazýva, tangenciálne zrýchlenie je komponentom plného zrýchlenia, ktoré smeruje tangenciálne k trajektórii pohybu. Keďže rýchlosť smeruje aj pozdĺž trajektórie, vektor tangenciálneho zrýchlenia sa zhoduje s vektorom rýchlosti.
Koncept zrýchlenia ako miery zmeny rýchlosti bol uvedený vyššie. Keďže rýchlosť je vektor, možno ju meniť modulo alebo smerovo. Tangenciálne zrýchlenie určuje iba zmenu rýchlostného modulu.
Všimnite si, že v prípade priamočiareho pohybu vektor rýchlosti nemení svoj smer, preto v súlade s vyššie uvedenou definíciou majú tangenciálne zrýchlenie a lineárne zrýchlenie rovnakú hodnotu.
Získanie rovnice tangenciálneho zrýchlenia
Predpokladajme, že sa telo pohybuje po nejakej zakrivenej trajektórii. Potom môže byť jeho rýchlosť v¯ vo vybranom bode znázornená takto:
v¯=vut¯
Tu v je modul vektora v¯, ut¯ je jednotkový vektor rýchlosti smerovaný tangenciálne k trajektórii.
Pomocou matematickej definície zrýchlenia dostaneme:
a¯=dv¯/dt=d(vut¯)/dt=dv/dtut ¯ + vd(ut¯)/dt
Pri hľadaní derivácie sa tu použila vlastnosť súčinu dvoch funkcií. Vidíme, že celkové zrýchlenie a¯ v uvažovanom bode zodpovedá súčtu dvoch členov. Sú dotyčnicou a normálovým zrýchlením bodu.
Povedzme si pár slov o normálnom zrýchlení. Je zodpovedný za zmenu vektora rýchlosti, to znamená za zmenu smeru pohybu tela pozdĺž krivky. Ak explicitne vypočítame hodnotu druhého člena, dostaneme vzorec pre normálne zrýchlenie:
a=vd(ut¯)/dt=v2/ r
Normálne zrýchlenie smeruje pozdĺž normály obnovenej do daného bodu krivky. V prípade kruhového pohybu je normálne zrýchlenie dostredivé.
Rovnica tangenciálneho zrýchlenia at¯ je:
at¯=dv/dtut¯
Tento výraz hovorí, že tangenciálne zrýchlenie nezodpovedá zmene smeru, ale zmene modulu rýchlosti v¯ v priebehu času. Keďže tangenciálne zrýchlenie smeruje tangenciálne k uvažovanému bodu trajektórie, je vždy kolmé na kolmú zložku.
Tangenciálne zrýchlenie a celkový modul zrýchlenia
Všetky vyššie uvedené informácie vám umožňujú vypočítať celkové zrýchlenie cez dotyčnicu a normálu. Pretože sú obe zložky navzájom kolmé, ich vektory tvoria nohy pravouhlého trojuholníka,ktorého prepona je vektor celkového zrýchlenia. Táto skutočnosť nám umožňuje napísať vzorec pre modul celkového zrýchlenia v nasledujúcom tvare:
a=√(a2 + at2)
Uhol θ medzi plným zrýchlením a tangenciálnym zrýchlením možno definovať takto:
θ=arccos(at/a)
Čím väčšie je tangenciálne zrýchlenie, tým bližšie sú smery tangenciálneho a plného zrýchlenia.
Vzťah medzi tangenciálnym a uhlovým zrýchlením
Typická krivočiara trajektória, po ktorej sa telesá pohybujú v technike a prírode, je kruh. V skutočnosti sa pohyb ozubených kolies, lopatiek a planét okolo ich vlastnej osi alebo okolo ich svietidiel vyskytuje presne v kruhu. Pohyb zodpovedajúci tejto trajektórii sa nazýva rotácia.
Kinematika otáčania sa vyznačuje rovnakými hodnotami ako kinematika pohybu po priamke, má však uhlový charakter. Na opis rotácie sa teda používa stredový uhol rotácie θ, uhlová rýchlosť ω a zrýchlenie α. Pre tieto množstvá platia nasledujúce vzorce:
ω=dθ/dt;
α=dω/dt
Predpokladajme, že teleso urobilo jednu otáčku okolo osi rotácie za čas t, potom pre uhlovú rýchlosť môžeme napísať:
ω=2pi/t
Lineárna rýchlosť bude v tomto prípade rovná:
v=2pir/t
Kde r je polomer trajektórie. Posledné dva výrazy nám umožňujú písaťvzorec na spojenie dvoch rýchlostí:
v=ωr
Teraz vypočítame časovú deriváciu ľavej a pravej strany rovnice, dostaneme:
dv/dt=rdω/dt
Pravá strana rovnosti je výsledkom uhlového zrýchlenia a polomeru kružnice. Ľavá strana rovnice je zmena modulu rýchlosti, to znamená tangenciálne zrýchlenie.
Tangenciálne zrýchlenie a podobná uhlová hodnota sú teda spojené rovnosťou:
at=αr
Ak predpokladáme, že sa disk otáča, potom sa tangenciálne zrýchlenie bodu pri konštantnej hodnote α bude lineárne zvyšovať so zväčšujúcou sa vzdialenosťou od tohto bodu k osi rotácie r.
Ďalej vyriešime dva problémy pomocou vyššie uvedených vzorcov.
Určenie tangenciálneho zrýchlenia zo známej rýchlostnej funkcie
Je známe, že rýchlosť telesa, ktoré sa pohybuje po určitej zakrivenej trajektórii, je opísaná nasledujúcou funkciou času:
v=2t2+ 3t + 5
Je potrebné určiť vzorec pre tangenciálne zrýchlenie a nájsť jeho hodnotu v čase t=5 sekúnd.
Najprv napíšme vzorec pre modul tangenciálneho zrýchlenia:
at=dv/dt
To znamená, že na výpočet funkcie at(t) by ste mali určiť deriváciu rýchlosti vzhľadom na čas. Máme:
at=d(2t2+ 3t + 5)/dt=4t + 3
Dosadením času t=5 sekúnd do výsledného výrazu sa dostaneme k odpovedi: at=23 m/s2.
Všimnite si, že graf závislosti rýchlosti od času v tomto probléme je parabola, zatiaľ čo graf tangenciálneho zrýchlenia je priamka.
Úloha tangenciálneho zrýchlenia
Je známe, že hmotný bod začal rovnomerne zrýchlenú rotáciu od nulového okamihu času. 10 sekúnd po začiatku rotácie sa jeho dostredivé zrýchlenie rovnalo 20 m/s2. Je potrebné určiť tangenciálne zrýchlenie bodu po 10 sekundách, ak je známe, že polomer otáčania je 1 meter.
Najprv si zapíšte vzorec pre dostredivé alebo normálne zrýchlenie ac:
ac=v2/r
Pomocou vzorca pre vzťah medzi lineárnou a uhlovou rýchlosťou dostaneme:
ac=ω2r
Pri rovnomerne zrýchlenom pohybe súvisí rýchlosť a uhlové zrýchlenie podľa vzorca:
ω=αt
Dosadením ω do rovnice pre ac dostaneme:
ac=α2t2r
Lineárne zrýchlenie cez tangenciálne zrýchlenie je vyjadrené takto:
α=at/r
Nahradením poslednej rovnosti predposlednou dostaneme:
ac=at2/r2 t2r=at2/rt2=>
at=√(acr)/t
Posledný vzorec, berúc do úvahy údaje zo stavu problému, vedie k odpovedi: at=0, 447m/s2.
