Hranol je pomerne jednoduchý geometrický trojrozmerný obrazec. Niektorí školáci však majú problémy s určovaním jeho hlavných vlastností, ktorých príčina je spravidla spojená s nesprávne používanou terminológiou. V tomto článku zvážime, čo sú hranoly, ako sa nazývajú, a tiež podrobne popíšeme správny štvoruholníkový hranol.
hranol v geometrii
Štúdium trojrozmerných útvarov je úlohou stereometrie – dôležitou súčasťou priestorovej geometrie. V stereometrii sa hranol chápe ako taký obrazec, ktorý vzniká paralelným posunom ľubovoľného plochého mnohouholníka v určitej vzdialenosti v priestore. Paralelný posun znamená pohyb, pri ktorom je úplne vylúčená rotácia okolo osi kolmej na rovinu mnohouholníka.
Popísanou metódou získania hranola vzniká obrazec ohraničený dvomipolygóny s rovnakými rozmermi, ležiace v rovnobežných rovinách a s určitým počtom rovnobežníkov. Ich počet sa zhoduje s počtom strán (vrcholov) mnohouholníka. Identické polygóny sa nazývajú základne hranola a ich povrch je plocha základne. Rovnobežníky spájajúce dve základne tvoria bočnú plochu.
Prvky hranolu a Eulerova veta
Keďže uvažovaný trojrozmerný útvar je mnohosten, to znamená, že je tvorený množinou pretínajúcich sa rovín, vyznačuje sa určitým počtom vrcholov, hrán a plôch. Všetko sú to prvky hranola.
V polovici 18. storočia švajčiarsky matematik Leonhard Euler vytvoril spojenie medzi počtom základných prvkov mnohostenu. Tento vzťah je napísaný pomocou nasledujúceho jednoduchého vzorca:
Počet hrán=počet vrcholov + počet plôch - 2
Pre každý hranol platí táto rovnosť. Uveďme príklad jeho použitia. Predpokladajme, že existuje pravidelný štvoruholníkový hranol. Je na obrázku nižšie.
Je vidieť, že počet jeho vrcholov je 8 (4 pre každú štvoruholníkovú základňu). Počet strán alebo plôch je 6 (2 základne a 4 bočné obdĺžniky). Potom bude počet hrán:
Počet rebier=8 + 6 - 2=12
Všetky sa dajú spočítať, ak použijete rovnaký obrázok. Osem hrán leží na základniach a štyri hrany sú kolmé na tieto základne.
Úplná klasifikácia hranolov
Je dôležité porozumieť tejto klasifikácii, aby ste sa neskôr neplietli v terminológii a použili správne vzorce na výpočet, napríklad plochy povrchu alebo objemu obrázkov.
Pre každý hranol ľubovoľného tvaru možno rozlíšiť 4 znaky, ktoré ho budú charakterizovať. Poďme si ich vymenovať:
- Podľa počtu rohov mnohouholníka na základni: trojuholníkový, päťuholníkový, osemuholníkový atď.
- Typ mnohouholníka. Môže to byť správne alebo nesprávne. Napríklad pravouhlý trojuholník je nepravidelný, ale rovnostranný trojuholník je správny.
- Podľa typu polygónovej konvexnosti. Môže byť konkávne alebo konvexné. Konvexné hranoly sú najbežnejšie.
- V uhloch medzi základňami a bočnými rovnobežníkmi. Ak sú všetky tieto uhly rovné 90o, potom hovoria o pravom hranole, ak nie všetky sú správne, potom sa takýto obrazec nazýva šikmý.
Zo všetkých týchto bodov by som sa rád zastavil pri poslednom. Priamy hranol sa nazýva aj pravouhlý hranol. Dôvodom je skutočnosť, že rovnobežníky sú vo všeobecnom prípade obdĺžniky (v niektorých prípadoch to môžu byť štvorce).
Napríklad obrázok vyššie zobrazuje päťuholníkový konkávny obdĺžnikový alebo rovný obrazec.
Pravidelný štvoruholníkový hranol
Základom tohto hranola je pravidelný štvoruholník, teda štvorec. Vyššie uvedený obrázok už ukázal, ako tento hranol vyzerá. Okrem dvoch štvorcov, ktoré jejobmedzte hornú a spodnú časť, obsahuje tiež 4 obdĺžniky.
Strnu podstavy pravidelného štvorbokého hranola označme písmenom a, dĺžku jeho bočnej hrany označíme písmenom c. Táto dĺžka je zároveň výškou postavy. Potom je plocha celého povrchu tohto hranola vyjadrená vzorcom:
S=2a2+ 4ac=2a(a + 2c)
Tu prvý výraz odráža príspevok základov k celkovej ploche, druhý výraz je plocha bočného povrchu.
Vzhľadom na zavedené označenie dĺžok strán napíšeme vzorec pre objem príslušného útvaru:
V=a2c
To znamená, že objem sa vypočíta ako súčin plochy štvorcovej základne a dĺžky bočnej hrany.
Tvar kocky
Tento ideálny trojrozmerný obrazec pozná každý, no málokto si myslel, že ide o pravidelný štvoruholníkový hranol, ktorého strana sa rovná dĺžke strany štvorcovej základne, teda c=a.
V prípade kocky budú mať vzorce pre celkový povrch a objem tvar:
S=6a2
V=a3
Vzhľadom na to, že kocka je hranol pozostávajúci zo 6 rovnakých štvorcov, každý z nich rovnobežný pár môže byť považovaný za základ.
Kocka je vysoko symetrický obrazec, ktorý je v prírode realizovaný vo forme kryštálových mriežok mnohých kovových materiálov a iónových kryštálov. Napríklad mriežky zo zlata, striebra, medi a stolasoli sú kubické.
