Schopnosť určiť objem priestorových útvarov je dôležitá pre riešenie geometrických a praktických problémov. Jednou z týchto postáv je hranol. V článku zvážime, čo to je, a ukážeme si, ako vypočítať objem nakloneného hranolu.
Čo znamená hranol v geometrii?
Ide o pravidelný mnohosten (mnohosten), ktorý tvoria dve rovnaké základne umiestnené v rovnobežných rovinách a niekoľko rovnobežníkov spájajúcich označené základne.
Základy hranolov môžu byť ľubovoľné mnohouholníky, ako napríklad trojuholník, štvoruholník, sedemuholník atď. Okrem toho počet rohov (stran) mnohouholníka určuje názov obrázku.
Akýkoľvek hranol s n-uholníkovou základňou (n je počet strán) pozostáva z n+2 plôch, 2 × n vrcholov a 3 × n hrán. Z uvedených čísel je vidieť, že počet prvkov hranola zodpovedá Eulerovej vete:
3 × n=2 × n + n + 2 - 2
Obrázok nižšie ukazuje, ako vyzerajú trojuholníkové a štvoruholníkové hranoly vyrobené zo skla.
Typy postavy. Naklonený hranol
Vyššie už bolo povedané, že názov hranola je určený počtom strán mnohouholníka na základni. V jeho štruktúre sú však aj iné znaky, ktoré určujú vlastnosti figúry. Ak sú teda všetky rovnobežníky, ktoré tvoria bočný povrch hranola, reprezentované obdĺžnikmi alebo štvorcami, potom sa takýto obrazec nazýva priamka. Pri priamom hranole sa vzdialenosť medzi základňami rovná dĺžke bočnej hrany ľubovoľného obdĺžnika.
Ak sú niektoré alebo všetky strany rovnobežníky, potom hovoríme o naklonenom hranole. Jeho výška už bude menšia ako dĺžka bočného rebra.
Ďalším kritériom, podľa ktorého sa uvažované obrazce klasifikujú, sú dĺžky strán a uhly mnohouholníka pri základni. Ak sú si navzájom rovné, potom bude polygón správny. Rovný útvar s pravidelným mnohouholníkom na základniach sa nazýva pravidelný. Je vhodné s ním pracovať pri určovaní plochy a objemu. Naklonený hranol v tomto smere predstavuje určité ťažkosti.
Na obrázku nižšie sú znázornené dva hranoly so štvorcovou základňou. Uhol 90° ukazuje zásadný rozdiel medzi priamym a šikmým hranolom.
Vzorec na určenie objemu figúry
Časť priestoru ohraničená stenami hranola sa nazýva jeho objem. Pre uvažované čísla akéhokoľvek typu možno túto hodnotu určiť podľa nasledujúceho vzorca:
V=h × So
Tu symbol h označuje výšku hranola,čo je miera vzdialenosti medzi dvoma základňami. Symbol So- jeden základný štvorec.
Základnú oblasť je ľahké nájsť. Vzhľadom na skutočnosť, či je mnohouholník pravidelný alebo nie, a ak poznáte počet jeho strán, mali by ste použiť príslušný vzorec a dostať So. Napríklad pre bežný n-uholník s dĺžkou strany a bude plocha:
S=n / 4 × a2 × ctg (pi / n)
Teraz prejdime k výške h. Pri priamom hranole nie je určenie výšky ťažké, ale pri šikmom hranole to nie je ľahká úloha. Dá sa riešiť rôznymi geometrickými metódami, počnúc od konkrétnych počiatočných podmienok. Existuje však univerzálny spôsob, ako určiť výšku postavy. Stručne to opíšme.
Cieľom je nájsť vzdialenosť od bodu v priestore k rovine. Predpokladajme, že rovina je daná rovnicou:
A × x+ B × y + C × z + D=0
Potom bude lietadlo vo vzdialenosti:
h=|A × x1 + B × y1+ C × z1 +D| / √ (A2 + B2+ C2)
Ak sú súradnicové osi usporiadané tak, že bod (0; 0; 0) leží v rovine spodnej podstavy hranola, potom rovnicu základnej roviny možno zapísať takto:
z=0
To znamená, že vzorec pre výšku bude napísanýtakže:
h=z1
Na určenie výšky postavy stačí nájsť z-ovú súradnicu ktoréhokoľvek bodu hornej základne.
Príklad riešenia problému
Na obrázku nižšie je znázornený štvoruholníkový hranol. Základňa nakloneného hranolu je štvorec so stranou 10 cm, jeho objem je potrebné vypočítať, ak je známe, že dĺžka bočnej hrany je 15 cm a ostrý uhol čelného rovnobežníka je 70 °.
Keďže výška h obrázku je zároveň výškou rovnobežníka, na určenie h používame vzorce na určenie jeho plochy. Označme strany rovnobežníka takto:
a=10 cm;
b=15 cm
Potom môžete napísať nasledujúce vzorce na určenie oblasti Sp:
Sp=a × b × sin (α);
Sp=a × h
Odkiaľ získavame:
h=b × sin (α)
Tu je α ostrý uhol rovnobežníka. Keďže základňa je štvorec, vzorec pre objem nakloneného hranola bude mať tvar:
V=a2 × b × sin (α)
Údaje z podmienky dosadíme do vzorca a dostaneme odpoveď: V ≈ 1410 cm3.
