Geometrické útvary v priestore sú predmetom štúdia stereometrie, ktorej kurz absolvujú stredoškoláci. Tento článok je venovaný takému dokonalému mnohostenu, akým je hranol. Pozrime sa podrobnejšie na vlastnosti hranola a uveďte vzorce, ktoré slúžia na ich kvantitatívne opísanie.
Čo je hranol?
Každý si predstaví, ako vyzerá krabica alebo kocka. Obidve postavy sú hranoly. Trieda hranolov je však oveľa rozmanitejšia. V geometrii má tento obrazec nasledujúcu definíciu: hranol je akýkoľvek mnohosten v priestore, ktorý je tvorený dvoma rovnobežnými a rovnakými mnohouholníkovými stranami a niekoľkými rovnobežníkmi. Rovnaké rovnobežné plochy obrazca sa nazývajú jeho základne (horné a spodné). Rovnobežníky sú bočné strany postavy, ktoré navzájom spájajú strany základne.
Ak je základňa reprezentovaná n-uholníkom, kde n je celé číslo, potom bude obrazec pozostávať z 2+n plôch, 2n vrcholov a 3n hrán. Tváre a hrany sa vzťahujú najeden z dvoch typov: buď patria k bočnému povrchu, alebo k základniam. Čo sa týka vrcholov, všetky sú rovnaké a patria k základniam hranola.
Typy figúrok triedy, ktorá sa skúma
Pri štúdiu vlastností hranola by ste mali uviesť možné typy tohto útvaru:
- Konvexné a konkávne. Rozdiel medzi nimi spočíva v tvare polygonálnej základne. Ak je konkávny, bude to tiež trojrozmerný obrazec a naopak.
- Priame a šikmé. Pre rovný hranol sú bočné strany buď obdĺžniky alebo štvorce. Na šikmom obrázku sú bočné strany rovnobežníky všeobecného typu alebo kosoštvorce.
- Zlé a správne. Aby bol obrazec, ktorý sa má študovať, správny, musí byť rovný a mať správny základ. Príkladom toho druhého sú ploché obrazce, ako je rovnostranný trojuholník alebo štvorec.
Názov hranola je vytvorený s prihliadnutím na uvedenú klasifikáciu. Napríklad pravouhlý rovnobežnosten alebo kocka spomenutá vyššie sa nazýva pravidelný štvorhranný hranol. Pravidelné hranoly sú vďaka svojej vysokej symetrii vhodné na štúdium. Ich vlastnosti sú vyjadrené vo forme špecifických matematických vzorcov.
Prizmová oblasť
Keď uvažujeme o takej vlastnosti hranola, ako je jeho plocha, znamená to celkovú plochu všetkých jeho plôch. Najjednoduchšie je predstaviť si túto hodnotu, ak rozložíte postavu, to znamená, že roztiahnete všetky tváre do jednej roviny. NižšieObrázok ukazuje príklad pohybu dvoch hranolov.
Pre ľubovoľný hranol možno vzorec pre oblasť jeho pohybu vo všeobecnom tvare napísať takto:
S=2So+ bPsr.
Vysvetlime si zápis. Hodnota So je plocha jednej základne, b je dĺžka bočnej hrany, Psr je obvod rezu, ktorý je kolmá na bočné rovnobežníky obrázku.
Písaný vzorec sa často používa na určenie plôch naklonených hranolov. V prípade pravidelného hranola bude mať výraz pre S špecifickú formu:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nba.
Prvý člen vo výraze predstavuje plochu dvoch podstav pravidelného hranola, druhý člen je plocha bočných obdĺžnikov. Tu a je dĺžka strany pravidelného n-uholníka. Všimnite si, že dĺžka bočnej hrany b pre pravidelný hranol je zároveň jeho výškou h, takže vo vzorci b môže byť nahradené h.
Ako vypočítať objem postavy?
Hranol je relatívne jednoduchý mnohosten s vysokou symetriou. Preto na určenie jeho objemu existuje veľmi jednoduchý vzorec. Vyzerá to takto:
V=Soh.
Výpočet základnej plochy a výšky môže byť pri pohľade na šikmý nepravidelný tvar zložitý. Tento problém je vyriešený pomocou sekvenčnej geometrickej analýzy zahŕňajúcej informácie o dihedrálnych uhloch medzi bočnými rovnobežníkmi a základňou.
Ak je hranol správnyvzorec pre V sa stáva celkom konkrétnym:
V=n/4a2ctg(pi/n)h.
Ako môžete vidieť, plocha S a objem V pre pravidelný hranol sú jednoznačne určené, ak sú známe dva z jeho lineárnych parametrov.
Trojuholníkový pravidelný hranol
Ukončime článok zvážením vlastností pravidelného trojuholníkového hranolu. Tvorí ho päť plôch, z ktorých tri sú obdĺžniky (štvorce) a dva sú rovnostranné trojuholníky. Hranol má šesť vrcholov a deväť hrán. Pre tento hranol sú vzorce objemu a povrchu napísané nižšie:
S3=√3/2a2+ 3ha
V3=√3/4a2h.
Okrem týchto vlastností je užitočné uviesť aj vzorec pre apotému základne obrazca, ktorou je výška ha rovnostranného trojuholníka:
ha=√3/2a.
Strany hranola sú identické obdĺžniky. Dĺžky ich uhlopriečok d sú:
d=√(a2+ h2).
Znalosť geometrických vlastností trojuholníkového hranola nie je len teoretická, ale aj praktická. Faktom je, že tento obrazec vyrobený z optického skla sa používa na štúdium spektra žiarenia telies.
Pri prechode cez sklenený hranol sa svetlo v dôsledku disperzného javu rozkladá na množstvo farieb zložiek, čo vytvára podmienky na štúdium spektrálneho zloženia elektromagnetického toku.
