Priamka a rovina sú dva najdôležitejšie geometrické prvky, ktoré možno použiť na zostavenie rôznych tvarov v 2D a 3D priestore. Zvážte, ako nájsť vzdialenosť medzi rovnobežnými čiarami a rovnobežnými rovinami.
Matematická úloha priama
Z kurzu geometrie v škole je známe, že v dvojrozmernom pravouhlom súradnicovom systéme môže byť čiara špecifikovaná v nasledujúcom tvare:
y=kx + b.
Kde k a b sú čísla (parametre). Písomná forma znázornenia priamky v rovine je rovina, ktorá je rovnobežná s osou z v trojrozmernom priestore. Vzhľadom na to v tomto článku použijeme na matematické priradenie priamky pohodlnejšiu a univerzálnejšiu formu - vektorovú.
Predpokladajme, že naša priamka je rovnobežná s nejakým vektorom u¯(a,b,c) a prechádza bodom P(x0, y0, z0). V tomto prípade vo vektorovej forme bude jeho rovnica reprezentovaná takto:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).
Tu λ je ľubovoľné číslo. Ak súradnice explicitne znázorníme rozšírením písaného výrazu, dostaneme parametrickú formu písania priamky.
S vektorovou rovnicou je vhodné pracovať pri riešení rôznych úloh, v ktorých je potrebné určiť vzdialenosť medzi rovnobežnými čiarami.
Čiarovky a vzdialenosť medzi nimi
O vzdialenosti medzi čiarami má zmysel hovoriť len vtedy, keď sú rovnobežné (v trojrozmernom prípade existuje aj nenulová vzdialenosť medzi šikmými čiarami). Ak sa čiary pretínajú, je zrejmé, že sú od seba v nulovej vzdialenosti.
Vzdialenosť medzi rovnobežnými čiarami je dĺžka kolmice, ktorá ich spája. Na určenie tohto ukazovateľa stačí vybrať ľubovoľný bod na jednej z úsečiek a pustiť z neho kolmicu na inú.
Poďme si stručne popísať postup hľadania požadovanej vzdialenosti. Predpokladajme, že poznáme vektorové rovnice dvoch čiar, ktoré sú prezentované v tomto všeobecnom tvare:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
Na týchto čiarach zostrojte rovnobežník tak, aby jedna zo strán bola PQ a druhá, napríklad u. Je zrejmé, že výška tohto obrázku, nakreslená z bodu P, je dĺžka požadovanej kolmice. Ak ho chcete nájsť, môžete použiť nasledujúce jednoduchévzorec:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Vzhľadom na to, že vzdialenosť medzi priamkami je dĺžkou kolmého segmentu medzi nimi, potom podľa písomného vyjadrenia stačí nájsť modul vektorového súčinu PQ¯ a u¯ a výsledok vydeliť dĺžka vektora u¯.
Príklad úlohy na určenie vzdialenosti medzi rovnými čiarami
Dve rovné čiary sú dané nasledujúcimi vektorovými rovnicami:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
Z písaných výrazov je zrejmé, že máme dve rovnobežné čiary. Ak súradnice smerového vektora prvého riadku vynásobíme -1, dostaneme súradnice smerového vektora druhého riadku, čo naznačuje ich rovnobežnosť.
Vzdialenosť medzi rovnými čiarami sa vypočíta pomocou vzorca napísaného v predchádzajúcom odseku článku. Máme:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
Potom dostaneme:
|u¯|=√14 cm;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2,535 cm.
Všimnite si, že namiesto bodov P a Q je možné na vyriešenie problému použiť absolútne akékoľvek body, ktoré patria k týmto čiaram. V tomto prípade by sme dostali rovnakú vzdialenosť d.
Nastavenie roviny v geometrii
Otázka vzdialenosti medzi čiarami bola podrobne diskutovaná vyššie. Teraz si ukážeme, ako nájsť vzdialenosť medzi rovnobežnými rovinami.
Každý predstavuje to, čo je lietadlo. Podľa matematickej definície je určený geometrický prvok súborom bodov. Navyše, ak pomocou týchto bodov poskladáte všetky možné vektory, všetky budú kolmé na jeden vektor. Ten sa zvyčajne nazýva normálna rovina.
Na špecifikáciu rovnice roviny v trojrozmernom priestore sa najčastejšie používa všeobecný tvar rovnice. Vyzerá to takto:
Ax + By + Cz + D=0.
Kde veľké latinské písmená sú nejaké čísla. Je vhodné použiť tento druh rovinnej rovnice, pretože súradnice normálového vektora sú v ňom explicitne uvedené. Sú to A, B, C.
Je ľahké vidieť, že dve roviny sú rovnobežné iba vtedy, keď sú rovnobežné ich normály.
Ako nájsť vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými rovinami?
Ak chcete určiť špecifikovanú vzdialenosť, mali by ste jasne pochopiť, čo je v stávke. Vzdialenosť medzi rovinami, ktoré sú navzájom rovnobežné, sa chápe ako dĺžka segmentu, ktorý je na ne kolmý. Konce tohto segmentu patria lietadlám.
Algoritmus na riešenie takýchto problémov je jednoduchý. Aby ste to dosiahli, musíte nájsť súradnice absolútne akéhokoľvek bodu, ktorý patrí do jednej z dvoch rovín. Potom by ste mali použiť tento vzorec:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
Keďže vzdialenosť je kladná hodnota, znamienko modulu je v čitateli. Písaný vzorec je univerzálny, pretože vám umožňuje vypočítať vzdialenosť od roviny k absolútne akémukoľvek geometrickému prvku. Stačí poznať súradnice jedného bodu tohto prvku.
Pre úplnosť uvádzame, že ak normály dvoch rovín nie sú navzájom rovnobežné, potom sa takéto roviny pretnú. Vzdialenosť medzi nimi bude potom nulová.
Problém určovania vzdialenosti medzi rovinami
Je známe, že dve roviny sú dané nasledujúcimi výrazmi:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
Je potrebné dokázať, že roviny sú rovnobežné, a tiež určiť vzdialenosť medzi nimi.
Ak chcete odpovedať na prvú časť úlohy, musíte uviesť prvú rovnicu do všeobecného tvaru. Všimnite si, že je uvedený v takzvanej forme rovnice v segmentoch. Vynásobte jej ľavú a pravú časť 15 a presuňte všetky členy na jednu stranu rovnice, dostaneme:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
Napíšme súradnice dvoch normálových vektorov rovín:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
Je vidieť, že ak n2¯ vynásobíme 5, dostaneme presne súradnice n1¯. Teda uvažované roviny súparalelný.
Na výpočet vzdialenosti medzi rovnobežnými rovinami vyberte ľubovoľný bod prvej z nich a použite vyššie uvedený vzorec. Vezmime si napríklad bod (0, 0, 1), ktorý patrí do prvej roviny. Potom dostaneme:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 cm.
Požadovaná vzdialenosť je 31 mm.
Vzdialenosť medzi rovinou a čiarou
Poskytnuté teoretické znalosti nám tiež umožňujú vyriešiť problém určenia vzdialenosti medzi priamkou a rovinou. Už bolo spomenuté vyššie, že vzorec platný pre výpočty medzi rovinami je univerzálny. Dá sa použiť aj na vyriešenie problému. Ak to chcete urobiť, vyberte ľubovoľný bod, ktorý patrí do danej čiary.
Hlavným problémom pri určovaní vzdialenosti medzi uvažovanými geometrickými prvkami je dôkaz ich rovnobežnosti (ak nie, potom d=0). Paralelnosť sa dá ľahko dokázať, ak vypočítate skalárny súčin normály a smerového vektora pre priamku. Ak sú uvažované prvky rovnobežné, potom sa tento súčin bude rovnať nule.
