Pri riešení geometrických úloh v priestore sa často vyskytujú také, pri ktorých je potrebné vypočítať uhly medzi rôznymi priestorovými objektmi. V tomto článku sa budeme zaoberať otázkou hľadania uhlov medzi rovinami a medzi nimi a priamkou.
Čiara v priestore
Je známe, že absolútne akúkoľvek priamku v rovine možno definovať nasledujúcou rovnosťou:
y=ax + b
Tu a a b sú niektoré čísla. Ak rovnakým výrazom znázorníme priamku v priestore, tak dostaneme rovinu rovnobežnú s osou z. Pre matematickú definíciu priestorovej čiary sa používa iná metóda riešenia ako v dvojrozmernom prípade. Spočíva v použití konceptu "vektor smeru".
Smerovací vektor priamky ukazuje jej orientáciu v priestore. Tento parameter patrí do riadku. Keďže v priestore existuje nekonečná množina vektorov rovnobežných, potom na jednoznačné určenie uvažovaného geometrického objektu je potrebné poznať aj súradnice bodu, ktorý k nemu patrí.
Predpokladajme, že existujebod P(x0; y0; z0) a smerový vektor v¯(a; b; c), potom rovnica priamky môže byť daná takto:
(x; y; z)=P + αv¯ alebo
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Tento výraz sa nazýva parametrická vektorová rovnica priamky. Koeficient α je parameter, ktorý môže nadobúdať absolútne ľubovoľné reálne hodnoty. Súradnice čiary môžu byť vyjadrené explicitne rozšírením tejto rovnosti:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb;
z=z0+ αc
Rovnica roviny
Existuje niekoľko foriem na písanie rovnice pre rovinu v priestore. Tu zvážime jeden z nich, ktorý sa najčastejšie používa pri výpočte uhlov medzi dvoma rovinami alebo medzi jednou z nich a priamkou.
Ak je známy nejaký vektor n¯(A; B; C), ktorý je kolmý na požadovanú rovinu, a bod P(x0; y 0; z0), ktorý k nemu patrí, potom všeobecná rovnica pre druhý z nich je:
Ax + By + Cz + D=0, kde D=-1(Ax0+ By 0 + Cz0)
Vynechali sme odvodenie tohto výrazu, ktoré je celkom jednoduché. Tu len poznamenávame, že ak poznáme koeficienty premenných v rovnici roviny, možno ľahko nájsť všetky vektory, ktoré sú na ňu kolmé. Tieto sa nazývajú normály a používajú sa pri výpočte uhlov medzi naklonenou rovinou a rovinou a medzi nimiľubovoľné analógy.
Umiestnenie rovín a vzorec pre uhol medzi nimi
Povedzme, že existujú dve roviny. Aké sú možnosti ich relatívnej polohy v priestore. Keďže rovina má dva nekonečné rozmery a jednu nulu, sú možné len dve možnosti ich vzájomnej orientácie:
- budú navzájom rovnobežné;
- môžu sa prekrývať.
Uhol medzi rovinami je index medzi ich smerovými vektormi, t. j. medzi ich normálami n1¯ a n2¯.
Je zrejmé, že ak sú rovnobežné s rovinou, potom je uhol priesečníka medzi nimi nulový. Ak sa pretínajú, potom je nenulový, ale vždy ostrý. Špeciálnym prípadom priesečníka bude uhol 90o, keď sú roviny na seba navzájom kolmé.
Uhol α medzi n1¯ a n2¯ sa dá ľahko určiť zo skalárneho súčinu týchto vektorov. To znamená, že vzorec platí:
α=arccos((n1¯n2¯)/(|n1 ¯| |n2¯|))
Predpokladajme, že súradnice týchto vektorov sú: n1¯(a1; b1; c1), n2¯(a2; b2; c2). Potom pomocou vzorcov na výpočet skalárneho súčinu a modulov vektorov prostredníctvom ich súradníc možno vyššie uvedený výraz prepísať ako:
α=arccos(|a1 a2 + b1 b 2 +c1 c2| / (√(a12 + b12 + c12)√(a22 + b 22 + c22)))
Modul v čitateli sa objavil kvôli vylúčeniu hodnôt tupých uhlov.
Príklady riešenia úloh na určenie uhla priesečníka rovín
Vediac, ako nájsť uhol medzi rovinami, vyriešime nasledujúci problém. Sú dané dve roviny, ktorých rovnice sú:
3x + 4y - z + 3=0;
-x – 2y + 5z +1=0
Aký je uhol medzi rovinami?
Aby sme odpovedali na otázku problému, pripomeňme si, že koeficienty premenných vo všeobecnej rovnici roviny sú súradnicami vodiaceho vektora. Pre uvedené roviny máme tieto súradnice ich normál:
1¯(3; 4; -1);
2¯(-1; -2; 5)
Teraz nájdeme skalárny súčin týchto vektorov a ich modulov, máme:
(n1¯n2¯)=-3 -8 -5=-16;
|n1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;
|n2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30
Teraz môžete nahradiť nájdené čísla do vzorca uvedeného v predchádzajúcom odseku. Získame:
α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o
Výsledná hodnota zodpovedá ostrému uhlu priesečníka rovín špecifikovaných v podmienkeúlohy.
Teraz pouvažujte nad iným príkladom. Dané dve lietadlá:
x + y -3=0;
3x + 3y + 8=0
Pretínajú sa? Zapíšme si hodnoty súradníc ich smerových vektorov, vypočítajme ich skalárny súčin a moduly:
1¯(1; 1; 0);
2¯(3; 3; 0);(n1¯n2¯)=3 + 3 + 0=6;
|n1¯|=√2;
|n2¯|=√18
Potom uhol priesečníka je:
α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.
Tento uhol znamená, že roviny sa nepretínajú, ale sú rovnobežné. Skutočnosť, že sa navzájom nezhodujú, je ľahké skontrolovať. Vezmime si na to ľubovoľný bod patriaci prvému z nich, napríklad P(0; 3; 2). Dosaďte jeho súradnice do druhej rovnice a dostaneme:
30 +33 + 8=17 ≠ 0
To znamená, že bod P patrí iba do prvej roviny.
Takže dve roviny sú rovnobežné, keď sú ich normály.
Rovina a priama čiara
V prípade uvažovania relatívnej polohy medzi rovinou a priamkou je viacero možností ako pri dvoch rovinách. Tento fakt súvisí s tým, že priamka je jednorozmerný objekt. Čiara a rovina môžu byť:
- vzájomne rovnobežné, v tomto prípade rovina nepretína priamku;
- to druhé môže patriť do roviny, pričom s ňou bude tiež rovnobežné;
- oba objekty môžupretínajú sa pod určitým uhlom.
Uvažujme najskôr o poslednom prípade, pretože si vyžaduje zavedenie konceptu uhla priesečníka.
Priamka a rovina, uhol medzi nimi
Ak priamka pretína rovinu, nazýva sa vzhľadom k nej naklonená. Priesečník sa nazýva základňa svahu. Na určenie uhla medzi týmito geometrickými objektmi je potrebné spustiť z akéhokoľvek bodu priamku kolmicu na rovinu. Potom priesečník kolmice s rovinou a priesečník naklonenej priamky s ňou tvoria priamku. Ten sa nazýva projekcia pôvodnej čiary na uvažovanú rovinu. Ostrý uhol medzi čiarou a jej projekciou je požadovaný.
Pomerne mätúca definícia uhla medzi rovinou a šikmou rovinou objasní obrázok nižšie.
Uhol ABO je tu uhol medzi priamkou AB a rovinou a.
Ak si chcete zapísať vzorec, zvážte príklad. Nech existuje priamka a rovina, ktoré sú opísané rovnicami:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c);
Ax + Bx + Cx + D=0
Je ľahké vypočítať požadovaný uhol pre tieto objekty, ak nájdete skalárny súčin medzi smerovými vektormi priamky a roviny. Výsledný ostrý uhol by sa mal odpočítať od 90o, potom sa získa medzi priamkou a rovinou.
Vyššie uvedený obrázok znázorňuje opísaný algoritmus na hľadanieuvažovaný uhol. Tu β je uhol medzi normálou a priamkou a α je medzi priamkou a jej priemetom do roviny. Je vidieť, že ich súčet je 90o.
Vyššie bol uvedený vzorec, ktorý odpovedá na otázku, ako nájsť uhol medzi rovinami. Teraz dáme zodpovedajúci výraz pre prípad priamky a roviny:
α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a 2 + b2 + c 2)√(A 2 + B 2 + C 2)))
Modul vo vzorci umožňuje vypočítať iba ostré uhly. Funkcia arcsínus sa objavila namiesto arkozínu vďaka použitiu zodpovedajúceho redukčného vzorca medzi goniometrickými funkciami (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).
Problém: Rovina pretína priamku
Teraz si ukážeme, ako pracovať s vyššie uvedeným vzorcom. Poďme vyriešiť problém: je potrebné vypočítať uhol medzi osou y a rovinou daný rovnicou:
y – z + 12=0
Toto lietadlo je zobrazené na obrázku.
Môžete vidieť, že pretína osi y a z v bodoch (0; -12; 0) a (0; 0; 12) a je rovnobežná s osou x.
Smerový vektor priamky y má súradnice (0; 1; 0). Vektor kolmý na danú rovinu je charakterizovaný súradnicami (0; 1; -1). Aplikujeme vzorec pre uhol priesečníka priamky a roviny, dostaneme:
α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o
Problém: priamka rovnobežná s rovinou
Teraz sa rozhodnimepodobne ako predchádzajúci problém, ktorého otázka je položená inak. Známe sú rovnice roviny a priamky:
x + y – z – 3=0;
(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)
Je potrebné zistiť, či sú tieto geometrické objekty navzájom rovnobežné.
Máme dva vektory: smer priamky je (0; 2; 2) a smer roviny je (1; 1; -1). Nájdite ich bodový produkt:
01 + 12 - 12=0
Výsledná nula znamená, že uhol medzi týmito vektormi je 90o, čo dokazuje, že priamka a rovina sú rovnobežné.
Teraz skontrolujeme, či je táto priamka iba rovnobežná alebo leží aj v rovine. Ak to chcete urobiť, vyberte ľubovoľný bod na priamke a skontrolujte, či patrí do roviny. Zoberme si napríklad λ=0, potom bod P(1; 0; 0) patrí do priamky. Dosaďte do rovnice roviny P:
1 - 3=-2 ≠ 0
Bod P nepatrí do roviny, čo znamená, že v nej neleží ani celá čiara.
Kde je dôležité poznať uhly medzi uvažovanými geometrickými objektmi?
Vyššie uvedené vzorce a príklady riešenia problémov nie sú zaujímavé len z teoretického hľadiska. Často sa používajú na určenie dôležitých fyzikálnych veličín skutočných trojrozmerných útvarov, ako sú hranoly alebo pyramídy. Pri výpočte objemov obrazcov a plôch ich plôch je dôležité vedieť určiť uhol medzi rovinami. Navyše, ak v prípade priameho hranola je možné tieto vzorce na určenie nepoužívaťšpecifikované hodnoty, potom pre akýkoľvek typ pyramídy je ich použitie nevyhnutné.
Uveďte príklad použitia vyššie uvedenej teórie na určenie uhlov pyramídy so štvorcovou základňou.
Pyramída a jej rohy
Na obrázku nižšie je pyramída, na základni ktorej leží štvorec so stranou a. Výška postavy je h. Potrebujete nájsť dva rohy:
- medzi bočným povrchom a základňou;
- medzi bočným rebrom a základňou.
Na vyriešenie problému musíte najprv zadať súradnicový systém a určiť parametre zodpovedajúcich vrcholov. Obrázok ukazuje, že počiatok súradníc sa zhoduje s bodom v strede štvorcovej základne. V tomto prípade je základná rovina opísaná rovnicou:
z=0
To znamená, že pre ľubovoľné x a y je hodnota tretej súradnice vždy nula. Bočná rovina ABC pretína os z v bode B(0; 0; h) a os y v bode so súradnicami (0; a/2; 0). Nepretína os x. To znamená, že rovnicu roviny ABC možno zapísať ako:
y / (a / 2) + z / h=1 alebo
2hy + az - ah=0
Vektor AB¯ je bočná hrana. Jeho počiatočné a koncové súradnice sú: A(a/2; a/2; 0) a B(0; 0; h). Potom súradnice samotného vektora:
AB¯(-a/2; -a/2; h)
Našli sme všetky potrebné rovnice a vektory. Teraz zostáva použiť uvažované vzorce.
Najprv v pyramíde vypočítame uhol medzi rovinami základnea bočné. Zodpovedajúce normálne vektory sú: n1¯(0; 0; 1) a n2¯(0; 2h; a). Potom bude uhol:
α=arccos(a / √(4h2 + a2))
Uhol medzi rovinou a hranou AB bude:
β=arcsin(h / √(a2 / 2 + h2))
Zostáva nahradiť konkrétne hodnoty strany základne a a výšky h, aby ste získali požadované uhly.
