Rovinové rovnice. Uhol medzi dvoma rovinami

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy zmenené: 2024-01-02 17:55

Rovina spolu s bodom a priamkou je základným geometrickým prvkom. S jeho použitím sa stavia mnohé postavy v priestorovej geometrii. V tomto článku sa budeme podrobnejšie zaoberať otázkou, ako nájsť uhol medzi dvoma rovinami.

Koncept

Skôr ako hovoríme o uhle medzi dvoma rovinami, mali by ste dobre pochopiť, o akom prvku v geometrii hovoríme. Pochopme terminológiu. Rovina je nekonečný súbor bodov v priestore, spájaním ktorých dostávame vektory. Ten bude kolmý na nejaký jeden vektor. Bežne sa nazýva normálna k rovine.

Na obrázku vyššie je znázornená rovina a k nej dva normálové vektory. Je vidieť, že oba vektory ležia na rovnakej priamke. Uhol medzi nimi je 180o.

Rovnice

Uhol medzi dvoma rovinami možno určiť, ak je známa matematická rovnica uvažovaného geometrického prvku. Existuje niekoľko typov takýchto rovníc,ktorých mená sú uvedené nižšie:

• všeobecný typ;
• vector;
• v segmentoch.

Tieto tri typy sú najvhodnejšie na riešenie rôznych druhov problémov, preto sa používajú najčastejšie.

Rovnica všeobecného typu vyzerá takto:

Ax + By + Cz + D=0.

Tu x, y, z sú súradnice ľubovoľného bodu patriaceho do danej roviny. Parametre A, B, C a D sú čísla. Pohodlie tohto zápisu spočíva v tom, že čísla A, B, C sú súradnice vektora kolmého na rovinu.

Vektorový tvar roviny možno znázorniť takto:

x, y, z)=(x₀, y₀, z₀) + α(a₁, b₁, c₁) + β(a ₂, b₂, c_2).

Tu (a₂, b₂, c₂) a (a ₁, b₁, c₁) - parametre dvoch súradnicových vektorov, ktoré patria do uvažovanej roviny. V tejto rovine leží aj bod (x₀, y₀, z_{0). Parametre α a β môžu nadobúdať nezávislé a ľubovoľné hodnoty.}

Nakoniec, rovnica roviny v segmentoch je znázornená v nasledujúcom matematickom tvare:

x/p + y/q + z/l=1.

Tu p, q, l sú špecifické čísla (vrátane záporných). Tento druh rovnice je užitočný, keď je potrebné zobraziť rovinu v pravouhlom súradnicovom systéme, pretože čísla p, q, l zobrazujú priesečníky s osami x, y a zlietadlo.

Upozorňujeme, že každý typ rovnice je možné previesť na akýkoľvek iný pomocou jednoduchých matematických operácií.

Vzorec pre uhol medzi dvoma rovinami

Teraz zvážte nasledujúcu nuanciu. V trojrozmernom priestore môžu byť dve roviny umiestnené iba dvoma spôsobmi. Buď sa pretínajú alebo sú rovnobežné. Medzi dvoma rovinami je uhol taký, aký sa nachádza medzi ich vodiacimi vektormi (normálny). Pretínajúce sa 2 vektory tvoria 2 uhly (vo všeobecnom prípade ostrý a tupý). Uhol medzi rovinami sa považuje za ostrý. Zvážte rovnicu.

Vzorec pre uhol medzi dvoma rovinami je:

θ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|)).

Je ľahké uhádnuť, že tento výraz je priamym dôsledkom skalárneho súčinu normálnych vektorov n₁¯ a n₂ ¯ pre uvažované lietadlá. Modul bodového súčinu v čitateli udáva, že uhol θ bude nadobúdať iba hodnoty od 0^o do 90^{o. Súčin modulov normálnych vektorov v menovateli znamená súčin ich dĺžok.}

Všimnite si, že ak (n₁¯n_{2¯)=0, potom sa roviny pretínajú v pravom uhle.}

Príklad problému

Keď sme zistili, čo sa nazýva uhol medzi dvoma rovinami, vyriešime nasledujúci problém. Ako príklad. Preto je potrebné vypočítať uhol medzi týmito rovinami:

2x - 3y + 4=0;

(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).

Na vyriešenie problému potrebujete poznať smerové vektory rovín. Pre prvú rovinu je normálny vektor: n₁¯=(2, -3, 0). Ak chcete nájsť normálny vektor druhej roviny, mali by ste vynásobiť vektory za parametrami α a β. Výsledkom je vektor: n_{2¯=(5, -3, 2).}

Na určenie uhla θ použijeme vzorec z predchádzajúceho odseku. Získame:

θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=

=arccos (19/√(1338))=0,5455 rad.

Vypočítaný uhol v radiánoch zodpovedá 31,26^o. Roviny z podmienky problému sa teda pretínajú pod uhlom 31, 26^o.