Typickým geometrickým problémom je nájdenie uhla medzi čiarami. V rovine, ak sú známe rovnice priamok, je možné ich nakresliť a uhol zmerať pomocou uhlomeru. Táto metóda je však namáhavá a nie vždy možná. Na zistenie pomenovaného uhla nie je potrebné kresliť rovné čiary, dá sa vypočítať. Tento článok odpovie, ako sa to robí.
Priamka a jej vektorová rovnica
Akúkoľvek priamu čiaru možno znázorniť ako vektor, ktorý začína na -∞ a končí na +∞. V tomto prípade vektor prechádza cez nejaký bod v priestore. Všetky vektory, ktoré možno nakresliť medzi ľubovoľnými dvoma bodmi na priamke, budú teda navzájom rovnobežné. Táto definícia vám umožňuje nastaviť rovnicu priamky vo vektorovom tvare:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Vektor so súradnicami (a; b; c) je vodítkom pre túto priamku prechádzajúcu bodom (x0; y0; z0). Parameter α umožňuje preniesť zadaný bod na ktorýkoľvek iný pre túto čiaru. Táto rovnica je intuitívna a ľahko sa s ňou pracuje v 3D priestore aj v rovine. V prípade roviny nebude obsahovať súradnice z a vektorovú zložku tretieho smeru.
Vhodnosť vykonávania výpočtov a štúdia relatívnej polohy priamych čiar vďaka použitiu vektorovej rovnice je spôsobená skutočnosťou, že je známy jej smerový vektor. Jeho súradnice sa používajú na výpočet uhla medzi čiarami a vzdialenosti medzi nimi.
Všeobecná rovnica pre priamku v rovine
Napíšme explicitne vektorovú rovnicu priamky pre dvojrozmerný prípad. Vyzerá to takto:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Teraz vypočítame parameter α pre každú rovnosť a vyrovnáme správne časti získaných rovníc:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
Otvorením zátvoriek a prenesením všetkých výrazov na jednu stranu rovnosti dostaneme:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, kde A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
Výsledný výraz sa nazýva všeobecná rovnica pre priamku danú v dvojrozmernom priestore (v trojrozmernom priestore táto rovnica zodpovedá rovine rovnobežnej s osou z, nie priamke).
Ak v tomto výraze explicitne napíšeme y až x, dostaneme nasledujúci tvar, známykaždý študent:
y=kx + p, kde k=-A/B, p=-C/B
Táto lineárna rovnica jednoznačne definuje priamku v rovine. Je veľmi jednoduché ho nakresliť podľa známej rovnice, na tento účel by ste mali dať x=0 a y=0, označiť zodpovedajúce body v súradnicovom systéme a nakresliť priamku spájajúcu získané body.
Vzorec uhla medzi čiarami
V rovine sa dve čiary môžu pretínať alebo byť navzájom rovnobežné. V priestore sa k týmto možnostiam pridáva možnosť existencie šikmých čiar. Bez ohľadu na implementovanú verziu relatívnej polohy týchto jednorozmerných geometrických objektov, uhol medzi nimi možno vždy určiť podľa nasledujúceho vzorca:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Kde v1¯ a v2¯ sú vodiace vektory pre riadok 1 a 2. Čitateľ je modul bodového súčinu na vylúčenie tupých uhlov a zohľadnenie iba ostrých uhlov.
Vektory v1¯ a v2¯ môžu byť dané dvomi alebo tromi súradnicami, pričom vzorec pre uhol φ zostáva nezmenená.
Paralelnosť a kolmosť čiar
Ak je uhol medzi 2 čiarami vypočítaný podľa vyššie uvedeného vzorca 0o, hovoríme, že sú rovnobežné. Ak chcete určiť, či sú čiary rovnobežné alebo nie, nemôžete vypočítať uholφ, stačí ukázať, že jeden smerový vektor môže byť reprezentovaný podobným vektorom inej priamky, to znamená:
v1¯=qv2¯
Tu q je nejaké reálne číslo.
Ak sú rovnice čiar uvedené ako:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
potom budú rovnobežné iba vtedy, keď sú koeficienty x rovnaké, to znamená:
k1=k2
Túto skutočnosť možno dokázať, ak zvážime, ako je koeficient k vyjadrený v súradniciach smerového vektora priamky.
Ak je uhol priesečníka medzi čiarami 90o, potom sa nazývajú kolmé. Na určenie kolmosti čiar tiež nie je potrebné vypočítať uhol φ, na to stačí vypočítať iba skalárny súčin vektorov v1¯ a v 2¯. Musí byť nula.
V prípade pretínajúcich sa priamok v priestore možno použiť aj vzorec pre uhol φ. V tomto prípade by mal byť výsledok správne interpretovaný. Vypočítané φ ukazuje uhol medzi smerovými vektormi čiar, ktoré sa nepretínajú a nie sú rovnobežné.
Úloha 1. Kolmé čiary
Je známe, že rovnice priamok majú tvar:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
Je potrebné určiť, či ide o tieto riadkykolmá.
Ako už bolo spomenuté vyššie, na zodpovedanie otázky stačí vypočítať skalárny súčin vektorov vodidiel, ktoré zodpovedajú súradniciam (1; 2) a (-4; 2). Máme:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
Keďže máme 0, znamená to, že uvažované čiary sa pretínajú v pravom uhle, to znamená, že sú kolmé.
Úloha 2. Uhol priesečníka čiar
Je známe, že dve rovnice pre priame čiary majú nasledujúci tvar:
y=2x – 1;
y=-x + 3
Je potrebné nájsť uhol medzi čiarami.
Keďže koeficienty x majú rôzne hodnoty, tieto čiary nie sú rovnobežné. Aby sme našli uhol, ktorý sa vytvorí, keď sa pretínajú, preložíme každú z rovníc do vektorového tvaru.
Za prvý riadok dostaneme:
(x; y)=(x; 2x - 1)
Na pravej strane rovnice máme vektor, ktorého súradnice závisia od x. Predstavme si to ako súčet dvoch vektorov, pričom súradnice prvého budú obsahovať premennú x a súradnice druhého budú pozostávať výlučne z čísel:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
Keďže x nadobúda ľubovoľné hodnoty, možno ho nahradiť parametrom α. Vektorová rovnica pre prvý riadok bude:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
Robíme rovnaké akcie s druhou rovnicou riadku, dostaneme:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Prepísali sme pôvodné rovnice do vektorovej podoby. Teraz môžete použiť vzorec pre uhol priesečníka a nahradiť v ňom súradnice smerovacích vektorov čiar:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Uvažované čiary sa teda pretínajú pod uhlom 71,565o alebo 1,249 radiánov.
Tento problém sa dal vyriešiť inak. Na to bolo potrebné vziať dva ľubovoľné body každej priamky, poskladať z nich priame vektory a potom použiť vzorec pre φ.
