Matrix je špeciálny objekt v matematike. Zobrazuje sa vo forme obdĺžnikovej alebo štvorcovej tabuľky zloženej z určitého počtu riadkov a stĺpcov. V matematike existuje široká škála typov matíc, ktoré sa líšia veľkosťou alebo obsahom. Čísla jeho riadkov a stĺpcov sa nazývajú objednávky. Tieto objekty sa používajú v matematike na organizáciu zápisu sústav lineárnych rovníc a pohodlné vyhľadávanie ich výsledkov. Rovnice využívajúce maticu sa riešia metódou Carla Gaussa, Gabriela Cramera, vedľajšími a algebraickými sčítaniami a mnohými ďalšími spôsobmi. Základnou zručnosťou pri práci s matrikami je doviesť ich do štandardnej podoby. Najprv si však poďme zistiť, aké typy matíc rozlišujú matematici.
Typ nuly
Všetky komponenty tohto druhu matice sú nuly. Medzitým je počet riadkov a stĺpcov úplne odlišný.
Štvorcový typ
Počet stĺpcov a riadkov tohto typu matice je rovnaký. Inými slovami, ide o stôl „štvorcového“tvaru. Počet jeho stĺpcov (alebo riadkov) sa nazýva poradie. Špeciálne prípady sú existencia matice druhého rádu (matica 2x2), štvrtého rádu (4x4), desiateho (10x10), sedemnásteho (17x17) atď.
Stĺpcový vektor
Toto je jeden z najjednoduchších typov matíc, ktorý obsahuje iba jeden stĺpec, ktorý obsahuje tri číselné hodnoty. Predstavuje sériu voľných členov (čísel nezávislých od premenných) v sústavách lineárnych rovníc.
Riadkový vektor
Zobraziť podobný predchádzajúcemu. Pozostáva z troch číselných prvkov, ktoré sú usporiadané v jednom riadku.
Typ uhlopriečky
Len komponenty hlavnej uhlopriečky (zvýraznené zelenou farbou) nadobúdajú číselné hodnoty v diagonálnej forme matice. Hlavná uhlopriečka začína prvkom v ľavom hornom rohu a končí prvkom v pravom dolnom, resp. Ostatné zložky sú nulové. Diagonálny typ je iba štvorcová matica určitého rádu. Medzi maticami diagonálneho tvaru možno vyčleniť skalárnu. Všetky jeho komponenty nadobúdajú rovnaké hodnoty.
Matrika identity
Poddruh diagonálnej matice. Všetky jeho číselné hodnoty sú jednotky. Pomocou jedného typu maticových tabuliek vykonajte jeho základné transformácie alebo nájdite maticu inverznú k pôvodnej.
Kanonický typ
Kanonická forma matice sa považuje za jednu z hlavných; casto je potrebne na to odliatok. Počet riadkov a stĺpcov v kanonickej matici je rôzny, nemusí nevyhnutne patriť do štvorcového typu. Je do istej miery podobná matici identity, avšak v jej prípade nie všetky zložky hlavnej uhlopriečky nadobúdajú hodnotu rovnú jednej. Môžu existovať dve alebo štyri hlavné diagonálne jednotky (všetko závisí od dĺžky a šírky matice). Alebo nemusia existovať žiadne jednotky (vtedy sa to považuje za nulu). Zvyšné komponenty kanonického typu, ako aj prvky uhlopriečky a identity sa rovnajú nule.
Typ trojuholníka
Jeden z najdôležitejších typov matice, ktorý sa používa pri hľadaní jej determinantu a pri vykonávaní jednoduchých operácií. Trojuholníkový typ pochádza z diagonálneho typu, takže matica je tiež štvorcová. Trojuholníkový pohľad na maticu je rozdelený na horný trojuholníkový a dolný trojuholníkový.
V hornej trojuholníkovej matici (obr. 1) nadobúdajú hodnotu rovnajúcu sa nule iba prvky, ktoré sú nad hlavnou uhlopriečkou. Zložky samotnej uhlopriečky a časť matice pod ňou obsahujú číselné hodnoty.
V spodnej trojuholníkovej matici (obr. 2) sa naopak prvky nachádzajúce sa v spodnej časti matice rovnajú nule.
Kroková matica
Pohľad je potrebný na zistenie poradia matice, ako aj na elementárne operácie s nimi (spolu s trojuholníkovým typom). Matica krokov je tak pomenovaná, pretože obsahuje charakteristické „kroky“núl (ako je znázornené na obrázku). V stupňovitom type sa vytvorí uhlopriečka núl (nie nevyhnutne hlavná) a všetky prvky pod touto uhlopriečkou majú tiež hodnoty rovné nule. Nevyhnutným predpokladom je nasledovné: ak je v matici krokov nulový riadok, potom zvyšné riadky pod ním tiež neobsahujú číselné hodnoty.
Zvážili sme teda najdôležitejšie typy matíc potrebné na prácu s nimi. Teraz sa poďme zaoberať úlohou previesť maticu do požadovaného tvaru.
Zmenšiť na trojuholníkový tvar
Ako dostať maticu do trojuholníkového tvaru? Najčastejšie v zadaniach potrebujete previesť maticu do trojuholníkového tvaru, aby ste našli jej determinant, inak nazývaný determinant. Pri vykonávaní tohto postupu je mimoriadne dôležité „zachovať“hlavnú uhlopriečku matice, pretože determinant trojuholníkovej matice je presne súčinom zložiek jej hlavnej uhlopriečky. Dovoľte mi tiež pripomenúť alternatívne metódy hľadania determinantu. Štvorcový determinant sa nachádza pomocou špeciálnych vzorcov. Môžete napríklad použiť metódu trojuholníka. Pre ostatné matice sa používa metóda rozkladu podľa riadkov, stĺpcov alebo ich prvkov. Môžete tiež použiť metódu vedľajších a algebraických doplnkov matice.
PodrobnostiPoďme analyzovať proces prevodu matice do trojuholníkového tvaru pomocou príkladov niektorých úloh.
Úloha 1
Je potrebné nájsť determinant prezentovanej matice pomocou metódy jej uvedenia do trojuholníkového tvaru.
Matrica, ktorú sme dostali, je štvorcová matica tretieho rádu. Preto, aby sme ho transformovali do trojuholníkového tvaru, musíme anulovať dva komponenty prvého stĺpca a jeden komponent druhého.
Ak to chcete dostať do trojuholníkového tvaru, začnite transformáciu z ľavého dolného rohu matice - od čísla 6. Ak ju chcete vynulovať, vynásobte prvý riadok tromi a odpočítajte ho od posledného riadku.
Dôležité! Horný riadok sa nemení, ale zostáva rovnaký ako v pôvodnej matici. Nemusíte písať reťazec štyrikrát oproti pôvodnému. Ale hodnoty reťazcov, ktorých komponenty je potrebné zrušiť, sa neustále menia.
Poďme sa zaoberať ďalšou hodnotou - prvkom druhého riadku prvého stĺpca, číslom 8. Vynásobte prvý riadok štyrmi a odčítajte ho od druhého riadku. Dostaneme nulu.
Zostáva len posledná hodnota - prvok tretieho riadku druhého stĺpca. Toto je číslo (-1). Ak ho chcete vynulovať, odpočítajte druhý od prvého riadku.
Skontrolujeme:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Takže odpoveď na úlohu je -22.
Úloha 2
Musíme nájsť determinant matice tak, že ju privedieme do trojuholníkového tvaru.
Reprezentovaná maticapatrí do štvorcového typu a je maticou štvrtého rádu. To znamená, že tri zložky prvého stĺpca, dve zložky druhého stĺpca a jedna zložka tretieho stĺpca musia byť vynulované.
Začnime s jeho redukciou od prvku umiestneného v ľavom dolnom rohu - od čísla 4. Toto číslo musíme otočiť na nulu. Najjednoduchší spôsob, ako to urobiť, je vynásobiť horný riadok štyrmi a potom ho odpočítať od štvrtého radu. Zapíšme si výsledok prvej fázy transformácie.
Zložka štvrtého riadku je teda nastavená na nulu. Prejdime k prvému prvku tretieho riadku, k číslu 3. Vykonávame podobnú operáciu. Prvý riadok vynásobte tromi, odpočítajte ho od tretieho riadku a napíšte výsledok.
Ďalej vidíme číslo 2 v druhom riadku. Opakujeme operáciu: vynásobíme horný riadok dvomi a odčítame ho od druhého.
Podarilo sa nám vynulovať všetky zložky prvého stĺpca tejto štvorcovej matice, okrem čísla 1, prvku hlavnej uhlopriečky, ktorý nevyžaduje transformáciu. Teraz je dôležité zachovať výsledné nuly, preto budeme vykonávať transformácie riadkami, nie stĺpcami. Prejdime na druhý stĺpec prezentovanej matice.
Začnime opäť zdola – od prvku druhého stĺpca posledného riadku. Toto je číslo (-7). V tomto prípade je však vhodnejšie začať s číslom (-1) - prvkom druhého stĺpca tretieho riadku. Ak ju chcete vynulovať, odpočítajte druhý riadok od tretieho. Potom druhý riadok vynásobíme siedmimi a odpočítame od štvrtého. Namiesto prvku umiestneného vo štvrtom riadku druhého stĺpca sme dostali nulu. Teraz prejdime k tretiemustĺpec.
V tomto stĺpci potrebujeme premeniť na nulu iba jedno číslo – 4. Je to jednoduché: stačí pridať tretie do posledného riadku a vidieť nulu, ktorú potrebujeme.
Po všetkých transformáciách sme preniesli navrhovanú maticu do trojuholníkového tvaru. Teraz, aby ste našli jeho determinant, stačí vynásobiť výsledné prvky hlavnej uhlopriečky. Dostaneme: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Preto je riešením číslo 160.
Takže otázka prevedenia matice do trojuholníkového tvaru vám to nesťaží.
Redukcia na stupňovitý tvar
Pri elementárnych operáciách s maticami je stupňovitá forma menej „náročná“ako trojuholníková. Najčastejšie sa používa na zistenie poradia matice (t. j. počtu jej nenulových riadkov) alebo na určenie lineárne závislých a nezávislých riadkov. Pohľad so stupňovitou maticou je však všestrannejší, pretože je vhodný nielen pre štvorcový typ, ale aj pre všetky ostatné.
Ak chcete zredukovať maticu na stupňovitú formu, musíte najprv nájsť jej determinant. Na tento účel sú vhodné vyššie uvedené metódy. Účelom nájdenia determinantu je zistiť, či sa dá previesť na stupňovú maticu. Ak je determinant väčší alebo menší ako nula, potom môžete bezpečne pokračovať v úlohe. Ak sa rovná nule, nebude fungovať redukcia matice na stupňovitú formu. V tomto prípade musíte skontrolovať, či sa v zázname alebo v transformáciách matíc nevyskytujú chyby. Ak neexistujú žiadne takéto nepresnosti, úlohu nemožno vyriešiť.
Pozrime sa akopriveďte maticu do stupňovitej formy pomocou príkladov niekoľkých úloh.
Úloha 1. Nájdite poradie danej maticovej tabuľky.
Pred nami je štvorcová matica tretieho rádu (3x3). Vieme, že na nájdenie hodnosti je potrebné zredukovať ju na stupňovitú formu. Preto musíme najprv nájsť determinant matice. Pomocou trojuholníkovej metódy: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Determinant=12. Je väčší ako nula, čo znamená, že maticu možno zredukovať na stupňovitý tvar. Začnime s jeho premenami.
Začnime to prvkom ľavého stĺpca tretieho riadku - číslom 2. Vynásobte horný riadok dvoma a odpočítajte ho od tretieho. Vďaka tejto operácii sa prvok, ktorý potrebujeme, aj číslo 4 - prvok druhého stĺpca tretieho riadku - zmenili na nulu.
Potom vynulujte prvok druhého riadku prvého stĺpca – číslo 3. Ak to chcete urobiť, vynásobte horný riadok tromi a odpočítajte ho od druhého.
Vidíme, že výsledkom zmenšenia bola trojuholníková matica. V našom prípade transformácia nemôže pokračovať, pretože zostávajúce zložky nemožno vynulovať.
Došli sme teda k záveru, že počet riadkov obsahujúcich číselné hodnoty v tejto matici (alebo jej poradie) je 3. Odpoveď na úlohu: 3.
Úloha 2. Určte počet lineárne nezávislých riadkov tejto matice.
Potrebujeme nájsť reťazce, ktoré nemožno zvrátiť žiadnou transformáciouna nulu. V skutočnosti musíme nájsť počet nenulových riadkov alebo poradie reprezentovanej matice. Aby ste to dosiahli, zjednodušte si to.
Vidíme maticu, ktorá nepatrí do štvorcového typu. Má rozmery 3x4. Začnime tiež odlievanie od prvku ľavého dolného rohu - čísla (-1).
Pridajte prvý riadok do tretieho. Potom od neho odčítajte sekundu a číslo 5 zmeníte na nulu.
Ďalšie transformácie nie sú možné. Takže sme dospeli k záveru, že počet lineárne nezávislých čiar v ňom a odpoveď na úlohu je 3.
Previesť maticu do stupňovitej formy nie je pre vás nemožná úloha.
Na príkladoch týchto úloh sme analyzovali redukciu matice na trojuholníkový tvar a stupňovitý tvar. Aby bolo možné vynulovať požadované hodnoty maticových tabuliek, v niektorých prípadoch je potrebné ukázať predstavivosť a správne transformovať ich stĺpce alebo riadky. Veľa šťastia v matematike a práci s maticami!
