Vypočítajte uhol medzi čiarou a rovinou. Súradnicová metóda riešenia problémov

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy zmenené: 2024-01-02 17:55

Jedným z bežných problémov v stereometrii sú úlohy kríženia priamok a rovín a výpočet uhlov medzi nimi. Pozrime sa v tomto článku podrobnejšie na takzvanú súradnicovú metódu a uhly medzi priamkou a rovinou.

Priamka a rovina v geometrii

Pred zvážením metódy súradníc a uhla medzi priamkou a rovinou by ste sa mali zoznámiť s menovanými geometrickými objektmi.

Priamka je taký súbor bodov v priestore alebo na rovine, z ktorých každý možno získať lineárnym prenosom predchádzajúceho do určitého vektora. Ďalej tento vektor označujeme symbolom u¯. Ak sa tento vektor vynásobí ľubovoľným číslom, ktoré sa nerovná nule, dostaneme vektor rovnobežný s u¯. Čiara je lineárny nekonečný objekt.

Rovina je tiež súbor bodov, ktoré sú umiestnené tak, že ak z nich vytvoríte ľubovoľné vektory, všetky budú kolmé na nejaký vektor n¯. Ten sa nazýva normálny alebo jednoducho normálny. Rovina, na rozdiel od priamky, je dvojrozmerný nekonečný objekt.

Súradnicová metóda na riešenie problémov s geometriou

Na základe názvu samotnej metódy môžeme usúdiť, že hovoríme o metóde riešenia problémov, ktorá je založená na vykonávaní analytických sekvenčných výpočtov. Inými slovami, súradnicová metóda vám umožňuje riešiť geometrické problémy pomocou nástrojov univerzálnej algebry, z ktorých hlavnými sú rovnice.

Treba poznamenať, že uvažovaná metóda sa objavila na úsvite modernej geometrie a algebry. Veľký príspevok k jeho rozvoju mali René Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton a Leibniz v 17.-18. storočí.

Podstatou metódy je výpočet vzdialeností, uhlov, plôch a objemov geometrických prvkov na základe súradníc známych bodov. Všimnite si, že tvar výsledných získaných rovníc závisí od súradnicového systému. Najčastejšie sa pri problémoch používa pravouhlý karteziánsky systém, pretože sa s ním pracuje najpohodlnejšie.

Riadková rovnica

Keď vezmeme do úvahy súradnicovú metódu a uhly medzi priamkou a rovinou, začnime nastavením rovnice priamky. Existuje niekoľko spôsobov, ako zobraziť čiary v algebraickej forme. Tu berieme do úvahy iba vektorovú rovnicu, pretože ju možno z nej ľahko získať v akejkoľvek inej forme a ľahko sa s ňou pracuje.

Predpokladajme, že existujú dva body: P a Q. Je známe, že cez ne možno nakresliť čiaru abude jediný. Zodpovedajúce matematické znázornenie prvku vyzerá takto:

(x, y, z)=P + λPQ¯.

Kde PQ¯ je vektor, ktorého súradnice sa získajú takto:

PQ¯=Q – P.

Symbol λ označuje parameter, ktorý môže mať absolútne ľubovoľné číslo.

V písomnom vyjadrení môžete zmeniť smer vektora a tiež dosadiť súradnice Q namiesto bodu P. Všetky tieto transformácie nepovedú k zmene geometrického umiestnenia čiary.

Všimnite si, že pri riešení problémov je niekedy potrebné reprezentovať napísanú vektorovú rovnicu v explicitnej (parametrickej) forme.

Nastavenie roviny vo vesmíre

Tak ako pre priamku, existuje aj niekoľko foriem matematických rovníc pre rovinu. Medzi nimi si všimneme vektor, rovnicu v segmentoch a všeobecnú formu. V tomto článku budeme venovať osobitnú pozornosť poslednému formuláru.

Všeobecná rovnica pre ľubovoľnú rovinu môže byť napísaná takto:

Ax + By + Cz + D=0.

Latinské veľké písmená sú určité čísla, ktoré definujú rovinu.

Výhodou tohto zápisu je, že explicitne obsahuje vektor kolmý na rovinu. Rovná sa:

n¯=(A, B, C).

Poznanie tohto vektora umožňuje krátkym pohľadom na rovnicu roviny predstaviť si jej umiestnenie v súradnicovom systéme.

Vzájomná dohoda vpriestor priamky a roviny

V ďalšom odseku článku prejdeme k úvahe o súradnicovej metóde a uhle medzi priamkou a rovinou. Tu odpovieme na otázku, ako môžu byť uvažované geometrické prvky umiestnené v priestore. Existujú tri spôsoby:

Priama čiara pretína rovinu. Pomocou metódy súradníc môžete vypočítať, v ktorom bode sa priamka a rovina pretínajú.
Rovina priamky je rovnobežná. V tomto prípade sústava rovníc geometrických prvkov nemá riešenie. Na dôkaz rovnobežnosti sa zvyčajne používa vlastnosť skalárneho súčinu smerového vektora priamky a normály roviny.
Rovina obsahuje čiaru. Riešením sústavy rovníc v tomto prípade dospejeme k záveru, že pre akúkoľvek hodnotu parametra λ dostaneme správnu rovnosť.

V druhom a treťom prípade je uhol medzi určenými geometrickými objektmi rovný nule. V prvom prípade leží medzi 0 a 90o.

Výpočet uhlov medzi čiarami a rovinami

Teraz prejdime priamo k téme článku. Akýkoľvek priesečník priamky a roviny nastáva pod určitým uhlom. Tento uhol tvorí samotná priamka a jej priemet do roviny. Projekciu možno získať, ak sa z ktoréhokoľvek bodu priamky spustí kolmica na rovinu a potom cez získaný priesečník roviny a kolmice a priesečník roviny a pôvodnej priamky nakreslíme priama čiara, ktorá bude projekciou.

Výpočet uhlov medzi čiarami a rovinami nie je náročná úloha. Na jeho vyriešenie stačí poznať rovnice zodpovedajúcich geometrických objektov. Povedzme, že tieto rovnice vyzerajú takto:

(x, y, z)=(x₀, y₀, z_{0) + λ(a, b, c);}

Ax + By + Cz + D=0.

Požadovaný uhol sa dá ľahko nájsť pomocou vlastnosti súčinu skalárnych vektorov u¯ a n¯. Konečný vzorec vyzerá takto:

θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).

Tento vzorec hovorí, že sínus uhla medzi priamkou a rovinou sa rovná pomeru modulu skalárneho súčinu označených vektorov k súčinu ich dĺžok. Aby sme pochopili, prečo sa namiesto kosínusu objavil sínus, pozrime sa na obrázok nižšie.

Je vidieť, že ak použijeme funkciu kosínus, dostaneme uhol medzi vektormi u¯ a n¯. Požadovaný uhol θ (α na obrázku) sa získa takto:

θ=90o- β.

Sínus sa objavuje ako výsledok použitia redukčných vzorcov.

Príklad problému

Prejdime k praktickému využitiu nadobudnutých vedomostí. Vyriešme typický problém o uhle medzi priamkou a rovinou. Sú uvedené nasledujúce súradnice štyroch bodov:

P=(1, -1, 0);

Q=(-1, 2, 2);

M=(0, 3, -1);

N=(-2, -1, 1).

Je známe, že prostredníctvom bodov PQMprechádza cez ňu rovina a cez MN prechádza priamka. Pomocou metódy súradníc je potrebné vypočítať uhol medzi rovinou a čiarou.

Najprv si zapíšme rovnice priamky a roviny. Pre priamu čiaru je ľahké ju zostaviť:

MN¯=(-2, -4, 2)=>

(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).

Na vytvorenie rovnice roviny najprv nájdeme normálu k nej. Jeho súradnice sa rovnajú vektorovému súčinu dvoch vektorov ležiacich v danej rovine. Máme: