V školskom kurze geometrie sa veľké množstvo času venuje štúdiu trojuholníkov. Žiaci počítajú uhly, stavajú osy a výšky, zisťujú, ako sa tvary navzájom líšia, a najjednoduchší spôsob, ako zistiť ich plochu a obvod. Zdá sa, že to v živote nie je v žiadnom prípade užitočné, ale niekedy je stále užitočné vedieť, ako napríklad určiť, že trojuholník je rovnostranný alebo tupý. Ako na to?
Typy trojuholníkov
Tri body, ktoré neležia na rovnakej priamke, a segmenty, ktoré ich spájajú. Zdá sa, že tento údaj je najjednoduchší. Ako môžu vyzerať trojuholníky, ak majú iba tri strany? V skutočnosti existuje pomerne veľké množstvo možností a niektorým z nich sa venuje osobitná pozornosť v rámci školského kurzu geometrie. Rovnostranný trojuholník je rovnostranný, to znamená, že všetky jeho uhly a strany sú rovnaké. Má množstvo pozoruhodných vlastností, o ktorých bude reč neskôr.
Rovnoramenný má iba dve rovnaké strany a je tiež celkom zaujímavý. V pravouhlých a tupouhlých trojuholníkoch, ako môžete hádať, je jeden z uhlov pravý alebo tupý. omôžu byť aj rovnoramenné.
Existuje aj špeciálny druh trojuholníka nazývaný egyptský. Jeho strany sú 3, 4 a 5 jednotiek. Je však obdĺžnikový. Predpokladá sa, že takýto trojuholník aktívne používali egyptskí geodeti a architekti na stavbu pravých uhlov. Verí sa, že s jeho pomocou boli postavené slávne pyramídy.
A predsa všetky vrcholy trojuholníka môžu ležať na jednej priamke. V tomto prípade sa bude nazývať degenerovaný, zatiaľ čo všetky ostatné sa nazývajú nedegenerované. Sú jedným z predmetov štúdia geometrie.
Rovnostranný trojuholník
Samozrejme, správne čísla sú vždy najzaujímavejšie. Vyzerajú dokonalejšie, elegantnejšie. Vzorce na výpočet ich charakteristík sú často jednoduchšie a kratšie ako pri bežných číslach. To platí aj pre trojuholníky. Nie je prekvapujúce, že sa im pri štúdiu geometrie venuje veľká pozornosť: školáci sa učia rozlišovať pravidelné obrazce od ostatných a tiež hovoria o niektorých ich zaujímavých vlastnostiach.
Znaky a vlastnosti
Ako ste už z názvu mohli uhádnuť, každá strana rovnostranného trojuholníka sa rovná ostatným dvom. Navyše má množstvo funkcií, vďaka ktorým je možné určiť, či je údaj správny alebo nie.
- všetky jeho uhly sú rovnaké, ich hodnota je 60 stupňov;
- osy, výšky a mediány nakreslené z každého vrcholu sú rovnaké;
- pravidelný trojuholník má 3 osi súmernostisa nemení pri otočení o 120 stupňov.
- stred vpísanej kružnice je zároveň stredom opísanej kružnice a priesečníkom stredníc, osi, výšok a kolmých osi.
Ak spozorujete aspoň jedno z vyššie uvedených znamienok, potom je trojuholník rovnostranný. Pre bežný údaj sú všetky vyššie uvedené tvrdenia pravdivé.
Všetky trojuholníky majú množstvo pozoruhodných vlastností. Po prvé, stredná čiara, to znamená segment rozdeľujúci dve strany na polovicu a rovnobežný s treťou, sa rovná polovici základne. Po druhé, súčet všetkých uhlov tohto obrázku sa vždy rovná 180 stupňom. Okrem toho existuje ďalší zaujímavý vzťah v trojuholníkoch. Takže oproti väčšej strane leží väčší uhol a naopak. Ale to, samozrejme, nemá nič spoločné s rovnostranným trojuholníkom, pretože všetky jeho uhly sú rovnaké.
Vpísané a ohraničené kruhy
Nie je nezvyčajné, aby sa študenti v kurze geometrie naučili aj to, ako môžu tvary medzi sebou interagovať. Študujú sa najmä kruhy vpísané do mnohouholníkov alebo popísané okolo nich. O čo ide?
Vpísaný kruh je kruh, ktorého všetky strany mnohouholníka sú dotyčnice. Opísaný - ten, ktorý má body kontaktu so všetkými rohmi. Pre každý trojuholník je vždy možné zostrojiť prvú aj druhú kružnicu, ale len jednu z každého typu. Dôkaz pre týchto dvoch
vety sú uvedené vškolský kurz geometrie.
Okrem výpočtu parametrov samotných trojuholníkov niektoré úlohy zahŕňajú aj výpočet polomerov týchto kružníc. A vzorce pre rovnostranný trojuholník vyzerajú takto:
r=a/√ ̅3;
R=a/2√ ̅3;
kde r je polomer opísanej kružnice, R je polomer kružnice opísanej, a je dĺžka strany trojuholníka.
Výpočet výšky, obvodu a plochy
Hlavné parametre, ktoré počítajú školáci pri štúdiu geometrie, zostávajú nezmenené pre takmer akúkoľvek postavu. Ide o obvod, plochu a výšku. Na uľahčenie výpočtu existujú rôzne vzorce.
Obvod, teda dĺžka všetkých strán, sa vypočíta takto:
P=3a=3√ ̅3R=6√ ̅3r, kde a je strana pravidelného trojuholníka, R je polomer kružnice opísanej, r je kružnica vpísaná.
Výška:
h=(√ ̅3/2)a, kde a je dĺžka strany.
Nakoniec, vzorec pre obsah rovnostranného trojuholníka je odvodený zo štandardného vzorca, to znamená súčin polovice základne a jej výšky.
S=(√ ̅3/4)a2, kde a je dĺžka strany.
Túto hodnotu možno tiež vypočítať pomocou parametrov opísanej alebo vpísanej kružnice. Existujú na to aj špeciálne vzorce:
S=3√ ̅3r2=(3√ ̅3/4)R2, kde r a R sú v tomto poradí polomery vpísané a opísané kružnice.
Building
Ešte jedenZaujímavý typ úloh, vrátane trojuholníkov, je spojený s potrebou nakresliť jednu alebo druhú figúrku pomocou minimálnej sady
nástroje: kružidlo a pravítko bez delení.
Na vytvorenie správneho trojuholníka pomocou týchto nástrojov je potrebných niekoľko krokov.
- Musíte nakresliť kruh s ľubovoľným polomerom a vycentrovaný v ľubovoľnom bode A. Musí byť označený.
- Ďalej musíte cez tento bod nakresliť priamu čiaru.
- Priesečníky kružnice a priamky musia byť označené ako B a C. Všetky konštrukcie musia byť vykonané s čo najväčšou presnosťou.
- Ďalej musíte postaviť ďalší kruh s rovnakým polomerom a stredom v bode C alebo oblúk s príslušnými parametrami. Križovatky budú označené ako D a F.
- Body B, F, D musia byť spojené segmentmi. Zostrojí sa rovnostranný trojuholník.
Riešenie takýchto problémov je pre školákov zvyčajne problém, no táto zručnosť môže byť užitočná v každodennom živote.
