Pokrok ľudstva je z veľkej časti spôsobený objavmi géniov. Jedným z nich je Blaise Pascal. Jeho tvorivá biografia opäť potvrdzuje pravdivosť výrazu Liona Feuchtwangera „Talentovaný človek, talentovaný vo všetkom“. Všetky vedecké úspechy tohto veľkého vedca je ťažké spočítať. Medzi nimi je jeden z najelegantnejších vynálezov vo svete matematiky – Pascalov trojuholník.
Pár slov o géniovi
Blaise Pascal zomrel podľa moderných štandardov skoro, vo veku 39 rokov. Za svoj krátky život sa však vyznamenal ako vynikajúci fyzik, matematik, filozof a spisovateľ. Vďační potomkovia na jeho počesť pomenovali jednotku tlaku a populárny programovací jazyk Pascal. Používa sa už takmer 60 rokov na výučbu písania rôznych kódov. Napríklad s jeho pomocou môže každý študent napísať program na výpočet plochy trojuholníka v jazyku Pascal, ako aj preskúmať vlastnosti obvodu, oo ktorých sa bude diskutovať nižšie.
Činnosť tohto vedca s mimoriadnym myslením zahŕňa širokú škálu oblastí vedy. Najmä Blaise Pascal je jedným zo zakladateľov hydrostatiky, matematickej analýzy, niektorých oblastí geometrie a teórie pravdepodobnosti. Tiež on:
- vytvoril mechanickú kalkulačku známu ako Pascalovo koleso;
- poskytol experimentálny dôkaz, že vzduch má elasticitu a hmotnosť;
- stanovené, že na predpovedanie počasia možno použiť barometer;
- vynašiel fúrik;
- vynašiel omnibus - konské povozy s pevnými trasami, ktoré sa neskôr stali prvým typom pravidelnej verejnej dopravy atď.
Pascalov aritmetický trojuholník
Ako už bolo spomenuté, tento veľký francúzsky vedec výrazne prispel k matematickej vede. Jedným z jeho absolútnych vedeckých majstrovských diel je „Pojednanie o aritmetickom trojuholníku“, ktoré pozostáva z binomických koeficientov usporiadaných v určitom poradí. Vlastnosti tejto schémy sú nápadné svojou rozmanitosťou a sama o sebe potvrdzuje príslovie „Všetko dômyselné je jednoduché!“.
Trošku histórie
Aby som bol spravodlivý, treba povedať, že v skutočnosti bol Pascalov trojuholník v Európe známy už začiatkom 16. storočia. Najmä jeho podobu môžeme vidieť na obálke učebnice počítania od známeho astronóma Petra Apiana z univerzity v Ingolstadte. Podobný trojuholník je tiež znázornený ako ilustrácia.v knihe čínskeho matematika Yang Hui, ktorá vyšla v roku 1303. Jeho vlastnosti si bol začiatkom 12. storočia vedomý aj pozoruhodný perzský básnik a filozof Omar Khayyam. Okrem toho sa predpokladá, že sa s ním stretol zo skôr napísaných pojednaní arabských a indických vedcov.
Popis
Pred skúmaním najzaujímavejších vlastností Pascalovho trojuholníka, krásneho vo svojej dokonalosti a jednoduchosti, stojí za to vedieť, čo to je.
Vedecky povedané, táto číselná schéma je nekonečná trojuholníková tabuľka vytvorená z binomických koeficientov usporiadaných v určitom poradí. V jeho hornej časti a po stranách sú čísla 1. Zvyšné pozície sú obsadené číslami, ktoré sa rovnajú súčtu dvoch čísel umiestnených nad nimi vedľa seba. Navyše všetky čiary Pascalovho trojuholníka sú symetrické okolo jeho vertikálnej osi.
Základné funkcie
Pascalov trojuholník udrie svojou dokonalosťou. Pre každý riadok očíslovaný n (n=0, 1, 2…) platí:
- prvé a posledné číslo je 1;
- druhý a predposledný - n;
- tretie číslo sa rovná trojuholníkovému číslu (počet kruhov, ktoré môžu byť usporiadané do rovnostranného trojuholníka, t.j. 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- Štvrté číslo je štvorsten, t.j. je to pyramída s trojuholníkom na základni.
Okrem toho, relatívne nedávno, v roku 1972, bola založená ďalšia vlastnosť Pascalovho trojuholníka. Aby pre nehoaby ste to zistili, musíte napísať prvky tejto schémy vo forme tabuľky s posunom riadkov o 2 pozície. Potom si poznačte čísla deliteľné číslom riadku. Ukazuje sa, že číslo stĺpca, v ktorom sú zvýraznené všetky čísla, je prvočíslo.
Ten istý trik sa dá urobiť aj iným spôsobom. Na tento účel sa v Pascalovom trojuholníku čísla nahradia zvyškami ich delenia číslom riadku v tabuľke. Potom sú riadky usporiadané vo výslednom trojuholníku tak, že nasledujúci začína o 2 stĺpce vpravo od prvého prvku predchádzajúceho. Potom stĺpce s číslami, ktoré sú prvočíslami, budú pozostávať iba z núl a stĺpce so zloženými číslami budú obsahovať aspoň jednu nulu.
Spojenie s Newtonovým binomickým znakom
Ako viete, toto je názov vzorca pre rozšírenie na výrazy nezápornej celočíselnej mocniny súčtu dvoch premenných, ktorý vyzerá takto:
Koeficienty v nich uvedené sa rovnajú C m =n! / (m! (n - m)!), kde m je poradové číslo v riadku n Pascalovho trojuholníka. Inými slovami, ak máte po ruke túto tabuľku, môžete ľahko umocniť ľubovoľné čísla tak, že ste ich predtým rozložili na dva pojmy.
Pascalov trojuholník a Newtonova binomika spolu teda úzko súvisia.
Math Wonders
Podrobné preskúmanie Pascalovho trojuholníka odhalí, že:
- súčet všetkých čísel v riadku ssériové číslo n (počítané od 0) je 2;
- ak sú čiary zarovnané doľava, potom súčty čísel, ktoré sa nachádzajú pozdĺž uhlopriečok Pascalovho trojuholníka, idúce zdola nahor a zľava doprava, sa rovnajú Fibonacciho číslam;
- prvá „uhlopriečka“pozostáva z prirodzených čísel v poradí;
- akýkoľvek prvok z Pascalovho trojuholníka, zmenšený o jednu, sa rovná súčtu všetkých čísel nachádzajúcich sa vo vnútri rovnobežníka, ktorý je obmedzený ľavou a pravou uhlopriečkou pretínajúcimi sa na tomto čísle;
- v každom riadku diagramu sa súčet čísel na párnych miestach rovná súčtu prvkov na nepárnych miestach.
Sierpinski Triangle
Takúto zaujímavú matematickú schému, celkom sľubnú z hľadiska riešenia zložitých problémov, získame vyfarbením párnych čísel Pascalovho obrazu jednou farbou a nepárnych čísel druhou.
Sierpinského trojuholník sa dá postaviť aj iným spôsobom:
- v tieňovanej schéme Pascal je stredný trojuholník premaľovaný inou farbou, ktorá je vytvorená spojením stredov strán pôvodného;
- urobte presne to isté s tromi nenatretými, ktoré sa nachádzajú v rohoch;
- ak postup pokračuje donekonečna, výsledkom by mal byť dvojfarebný obrázok.
Najzaujímavejšou vlastnosťou Sierpinského trojuholníka je jeho sebepodobnosť, keďže pozostáva z 3 jeho kópií, ktoré sú 2-krát zmenšené. To nám umožňuje pripísať túto schému fraktálnym krivkám a tým, ako to ukazujú najnovšievýskum je najvhodnejší pre matematické modelovanie oblakov, rastlín, riečnych delt a samotného vesmíru.
Niekoľko zaujímavých úloh
Kde sa používa Pascalov trojuholník? Príklady úloh, ktoré je možné s jeho pomocou vyriešiť, sú pomerne rôznorodé a patria do rôznych oblastí vedy. Poďme sa pozrieť na niektoré z tých zaujímavejších.
Problém 1. Niektoré veľké mesto obklopené hradbami má len jednu vstupnú bránu. Na prvej križovatke sa hlavná cesta rozdeľuje na dve časti. To isté sa deje na každom inom. Do mesta vstupuje 210 ľudí. Na každej z križovatiek, s ktorými sa stretávajú, sú rozdelené na polovicu. Koľko ľudí sa nájde na každej križovatke, keď sa už nebude dať zdieľať. Jej odpoveď je riadok 10 Pascalovho trojuholníka (vzorec koeficientu je uvedený vyššie), kde čísla 210 sú umiestnené na oboch stranách zvislej osi.
Úloha 2. Existuje 7 názvov farieb. Musíte urobiť kyticu z 3 kvetov. Je potrebné zistiť, koľkými rôznymi spôsobmi sa to dá urobiť. Tento problém je z oblasti kombinatoriky. Na jeho vyriešenie opäť použijeme Pascalov trojuholník a dostaneme na 7. riadku na tretej pozícii (číslovanie v oboch prípadoch od 0) číslo 35.
Teraz už viete, čo vynašiel veľký francúzsky filozof a vedec Blaise Pascal. Jeho povestný trojuholník sa pri správnom použití môže stať skutočným záchrancom pri riešení mnohých problémov, najmä z terénukombinatorika. Okrem toho sa dá použiť na vyriešenie mnohých záhad súvisiacich s fraktálmi.
