Pri slove „nekonečno“má každý človek svoje vlastné asociácie. Mnohí vo svojej fantázii kreslia more, ktoré presahuje horizont, iní majú pred očami obraz nekonečnej hviezdnej oblohy. Matematici, zvyknutí operovať s číslami, si nekonečno predstavujú úplne inak. Už mnoho storočí sa snažia nájsť najväčšiu z fyzikálnych veličín potrebných na meranie. Jedným z nich je Grahamovo číslo. Koľko núl je v ňom a na čo sa používa, prezradí tento článok.
Nekonečne veľké číslo
V matematike je to názov takejto premennej x , ak pre akékoľvek kladné číslo M možno zadať prirodzené číslo N tak, že pre všetky čísla je n väčšie ako N nerovnosť |x | > M. Žiadne, napríklad celé číslo Z však nemožno považovať za nekonečne veľké, pretože bude vždy menšie ako (Z + 1).
Pár slov o „obroch“
Najväčšie čísla, ktoré majú fyzický význam, sa považujú za:
- 1080. Toto číslo, ktoré sa bežne nazýva quinquavigintillion, sa používa na označenie približného počtu kvarkov a leptónov (najmenších častíc) vo vesmíre.
- 1 Google. Takéto číslo v desiatkovej sústave sa zapisuje ako jednotka so 100 nulami. Podľa niektorých matematických modelov by od veľkého tresku po výbuch najhmotnejšej čiernej diery malo uplynúť 1 až 1,5 googol roka, po ktorom sa náš vesmír presunie do poslednej etapy svojej existencie, t.j. predpokladať, že toto číslo má určitý fyzický význam.
- 8, 5 x 10185. Planckova konštanta je 1,616199 x 10-35 m, t.j. v desiatkovom zápise to vyzerá ako 0,0000000000000000000000000000616199 m. Existuje asi 1 googol Planck dĺžka v palci. Odhaduje sa, že približne 8,5 x 10185 Planckových dĺžok sa zmestí do celého nášho vesmíru.
- 277 232 917 – 1. Toto je najväčšie známe prvočíslo. Ak má jeho binárny zápis pomerne kompaktnú formu, potom na jeho zobrazenie v desiatkovej forme bude trvať najmenej 13 miliónov znakov. Bol nájdený v roku 2017 ako súčasť projektu na hľadanie čísel Mersenne. Ak budú nadšenci pokračovať v práci týmto smerom, potom na súčasnej úrovni rozvoja výpočtovej techniky sa im v blízkej budúcnosti pravdepodobne nepodarí nájsť Mersennove číslo rádovo väčšie ako 277 232 917- 1, hoci takýšťastný výherca získa 150 000 USD.
- Hugoplex. Tu len vezmeme 1 a za ňu pridáme nuly v množstve 1 googol. Toto číslo môžete napísať ako 10^10^100. Nie je možné to znázorniť v desiatkovej forme, pretože ak je celý priestor vesmíru vyplnený kúskami papiera, na každom z nich by bola napísaná 0 s veľkosťou písma „Word“10, potom v tomto prípade iba polovica všetky 0 po 1 by sa získali pre googolplex číslo.
- 10^10^10^10^10^1.1. Toto je číslo ukazujúce počet rokov, po ktorých sa podľa Poincarého vety náš vesmír v dôsledku náhodných kvantových fluktuácií vráti do stavu blízkeho dnešnému.
Ako vznikli Grahamove čísla
V roku 1977 publikoval známy popularizátor vedy Martin Gardner v Scientific American článok o Grahamovom dôkaze jedného z problémov Ramseovej teórie. V ňom nazval limit stanovený vedcom najväčším číslom, aké sa kedy použilo v serióznom matematickom uvažovaní.
Kto je Ronald Lewis Graham
Vedec, ktorý má dnes 80 rokov, sa narodil v Kalifornii. V roku 1962 získal doktorát z matematiky na univerzite v Berkeley. V Bell Labs pracoval 37 rokov a neskôr prešiel do AT&T Labs. Vedec aktívne spolupracoval s jedným z najväčších matematikov 20. storočia Palom Erdősom a je nositeľom mnohých prestížnych ocenení. Grahamova vedecká bibliografia obsahuje viac ako 320 vedeckých prác.
V polovici 70. rokov sa vedec zaujímal o problém spojený s teóriouRamsey. V jeho dôkaze bola určená horná hranica riešenia, čo je veľmi veľké číslo, následne pomenované po Ronaldovi Grahamovi.
Problém s hyperkockou
Ak chcete pochopiť podstatu Grahamovho čísla, musíte najprv pochopiť, ako bolo získané.
Vedec a jeho kolega Bruce Rothschild riešili nasledujúci problém:
Existuje n-rozmerná hyperkocka. Všetky dvojice jeho vrcholov sú spojené tak, že sa získa úplný graf s 2vrcholmi. Každý z jeho okrajov je zafarbený buď modrou alebo červenou farbou. Bolo potrebné nájsť minimálny počet vrcholov, ktoré by hyperkocka mala mať, aby každé takéto sfarbenie obsahovalo úplný monochromatický podgraf so 4 vrcholmi ležiacimi v rovnakej rovine.
Rozhodnutie
Graham a Rothschild dokázali, že problém má riešenie N' spĺňajúce podmienku 6 ⩽ N' ⩽N, kde N je dobre definované, veľmi veľké číslo.
Spodná hranica pre N bola následne spresnená inými vedcami, ktorí dokázali, že N musí byť väčšie alebo rovné 13. Preto sa výraz pre najmenší počet vrcholov hyperkocky, ktorý spĺňa vyššie uvedené podmienky, stal 13 ⩽ N'⩽ N.
Zápis Knuthovej šípky
Pred definovaním Grahamovho čísla by ste sa mali oboznámiť so spôsobom jeho symbolickej reprezentácie, pretože na to nie je absolútne vhodný ani desiatkový, ani binárny zápis.
V súčasnosti sa na vyjadrenie tohto množstva používa Knuthova šípka. Podľa nej:
ab=a „šípka nahor“b.
Pre operáciu viacnásobného umocňovania bola zavedená položka:
a "šípka hore" "šípka hore" b=ab="veža pozostávajúca z a v počte b kusov."
A pre pentáciu, teda symbolické označenie opakovaného umocňovania predchádzajúceho operátora, Knuth už použil 3 šípky.
Pomocou tohto zápisu Grahamovho čísla máme do seba vnorené „šípkové“sekvencie v počte 64 ks.
Scale
Ich slávne číslo, ktoré podnecuje predstavivosť a rozširuje hranice ľudského vedomia a posúva ho za hranice vesmíru, Graham a jeho kolegovia získali ako hornú hranicu pre číslo N v dôkaze hyperkocky problém uvedený vyššie. Pre bežného človeka je mimoriadne ťažké predstaviť si, aký veľký je jeho rozsah.
Otázka počtu znakov, alebo ako sa niekedy mylne hovorí, núl v Grahamovom čísle, zaujíma takmer každého, kto o tejto hodnote počuje prvýkrát.
Stačí povedať, že máme do činenia s rýchlo rastúcou sekvenciou, ktorá pozostáva zo 64 členov. Ani jeho prvý termín si nemožno predstaviť, keďže pozostáva z n „veží“, ktoré pozostávajú z 3-až. Už jeho „dolné poschodie“3 trojíc sa rovná 7 625 597 484 987, teda presahuje 7 miliárd, teda o 64. poschodí (nie člen!). V súčasnosti teda nie je možné presne povedať, čo je Grahamovo číslo, keďže ho nestačí vypočítať.kombinovaná sila všetkých počítačov, ktoré dnes na Zemi existujú.
Prekonaný rekord?
V procese dokazovania Kruskalovho teorému bolo Grahamovo číslo „zhodené zo svojho piedestálu“. Vedec navrhol nasledujúci problém:
Existuje nekonečná postupnosť konečných stromov. Kruskal dokázal, že vždy existuje výsek nejakého grafu, ktorý je súčasťou väčšieho grafu aj jeho presnou kópiou. Toto tvrdenie nevyvoláva žiadne pochybnosti, pretože je zrejmé, že vždy bude existovať presne opakujúca sa kombinácia v nekonečne
Neskôr Harvey Friedman trochu zúžil tento problém tým, že bral do úvahy iba také acyklické grafy (stromy), že pre konkrétny s koeficientom i existuje najviac (i + k) vrcholov. Rozhodol sa zistiť, aký by mal byť počet acyklických grafov, aby pri tejto metóde ich úlohy bolo vždy možné nájsť podstrom, ktorý by bol vnorený do iného stromu.
Výsledkom výskumu na túto tému sa zistilo, že N v závislosti od k rastie obrovskou rýchlosťou. Konkrétne, ak k=1, potom N=3. Avšak pri k=2 už N dosahuje 11. Najzaujímavejšia vec začína, keď k=3. V tomto prípade N rýchlo "naberie" a dosiahne hodnotu, ktorá je mnohonásobne väčšie ako Grahamovo číslo. Aby ste si predstavili, aký je veľký, stačí si zapísať číslo vypočítané Ronaldom Grahamom v tvare G64 (3). Potom bude Friedman-Kruskalova hodnota (rev. FinKraskal(3)) rádu G(G(187196)). Inými slovami, získa sa megahodnota, ktorá je nekonečne väčšianepredstaviteľne veľké Grahamovo číslo. Zároveň aj to bude obrovské množstvo krát menšie ako nekonečno. Má zmysel hovoriť o tomto koncepte podrobnejšie.
Infinity
Teraz, keď sme vysvetlili, čo je Grahamovo číslo na prstoch, by sme mali pochopiť význam, ktorý bol a je investovaný do tohto filozofického konceptu. Koniec koncov, „nekonečno“a „nekonečne veľké číslo“možno v určitom kontexte považovať za identické.
Najväčší príspevok k štúdiu tejto problematiky mal Aristoteles. Veľký mysliteľ staroveku rozdelil nekonečno na potenciálne a skutočné. Tým posledným myslel realitu existencie nekonečných vecí.
Podľa Aristotela zdroje myšlienok o tomto základnom koncepte sú:
- time;
- oddelenie hodnôt;
- koncept hranice a existencia niečoho za ňou;
- nevyčerpateľnosť tvorivej povahy;
- myslenie, ktoré nemá hranice.
V modernej interpretácii nekonečna nemôžete určiť kvantitatívnu mieru, takže hľadanie najväčšieho čísla môže pokračovať donekonečna.
Záver
Dajú sa metafora „Pozerať sa do nekonečna“a Grahamovo číslo v istom zmysle považovať za synonymá? Skôr áno a nie. Oboje je nemožné si predstaviť ani s najsilnejšou predstavivosťou. Ako však už bolo spomenuté, nemožno to považovať za „najviac, najviac“. Ďalšou vecou je, že v súčasnosti nie sú stanovené hodnoty väčšie ako Grahamovo číslofyzický zmysel.
Tiež nemá vlastnosti nekonečného čísla, ako napríklad:
- ∞ + 1=∞;
- existuje nekonečný počet párnych aj nepárnych čísel;
- ∞ - 1=∞;
- počet nepárnych čísel je presne polovica všetkých čísel;
- ∞ + ∞=∞;
- ∞/2=∞.
Zhrnutie: Grahamovo číslo je podľa Guinessovej knihy rekordov najväčšie číslo v praxi matematického dokazovania. Existujú však čísla, ktoré sú mnohonásobne väčšie ako táto hodnota.
S najväčšou pravdepodobnosťou bude v budúcnosti potreba ešte väčších „obrov“, najmä ak človek prekročí hranice našej slnečnej sústavy alebo vymyslí niečo nepredstaviteľné na súčasnej úrovni nášho vedomia.
