Pri štúdiu vlastností kvadratickej rovnice bolo stanovené obmedzenie – pre diskriminant menší ako nula neexistuje riešenie. Okamžite bolo stanovené, že hovoríme o súbore reálnych čísel. Zvedavú myseľ matematika bude zaujímať – aké tajomstvo obsahuje klauzula o skutočných hodnotách?
Postupom času zaviedli matematici koncept komplexných čísel, kde sa podmienená hodnota druhej odmocniny mínus jedna berie ako jednotka.
Historické pozadie
Matematická teória sa vyvíja postupne, od jednoduchých po zložité. Poďme zistiť, ako vznikol koncept nazývaný „komplexné číslo“a prečo je potrebný.
Od nepamäti bol základom matematiky bežný účet. Výskumníci poznali iba prirodzený súbor hodnôt. Sčítanie a odčítanie bolo jednoduché. Keď sa ekonomické vzťahy stali zložitejšími, namiesto sčítania rovnakých hodnôt sa začalo používať násobenie. Existuje spätná operácianásobenie - delenie.
Koncept prirodzeného čísla obmedzoval používanie aritmetických operácií. Nie je možné vyriešiť všetky problémy delenia na množine celočíselných hodnôt. Práca so zlomkami viedla najskôr ku konceptu racionálnych hodnôt a potom k hodnotám iracionálnym. Ak pre racionálne je možné uviesť presné umiestnenie bodu na čiare, potom pre iracionálne nie je možné takýto bod označiť. Interval môžete len približovať. Spojenie racionálnych a iracionálnych čísel vytvorilo reálnu množinu, ktorú možno znázorniť ako určitú čiaru s danou mierkou. Každý krok pozdĺž čiary je prirodzené číslo a medzi nimi sú racionálne a iracionálne hodnoty.
Éra teoretickej matematiky sa začala. Rozvoj astronómie, mechaniky, fyziky si vyžadoval riešenie čoraz zložitejších rovníc. Vo všeobecnosti boli nájdené korene kvadratickej rovnice. Pri riešení zložitejšieho kubického polynómu vedci narazili na rozpor. Koncept odmocniny zo záporu dáva zmysel, ale pre druhú odmocninu sa získa neistota. Navyše, kvadratická rovnica je len špeciálny prípad kubickej rovnice.
V roku 1545 navrhol Talian J. Cardano zaviesť pojem imaginárne číslo.
Toto číslo je druhá odmocnina mínus jedna. Pojem komplexné číslo sa napokon sformoval až o tristo rokov neskôr, v dielach slávneho matematika Gaussa. Navrhol formálne rozšíriť všetky zákony algebry na imaginárne číslo. Skutočná línia bola rozšírená nalietadlá. Svet je väčší.
Základné pojmy
Vybavte si množstvo funkcií, ktoré majú obmedzenia na skutočnú sadu:
- y=arcsin(x), definované medzi zápornou a kladnou 1.
- y=ln(x), desiatkový logaritmus dáva zmysel pri kladných argumentoch.
- druhá odmocnina y=√x, vypočítané len pre x ≧ 0.
Označením i=√(-1) zavedieme takýto pojem ako imaginárne číslo, čím sa odstránia všetky obmedzenia z oblasti definície vyššie uvedených funkcií. Výrazy ako y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) dávajú zmysel v nejakom priestore komplexných čísel.
Algebraický tvar možno zapísať ako výraz z=x + i×y na množine reálnych hodnôt x a y a i2 =-1.
Nová koncepcia odstraňuje všetky obmedzenia na použitie akejkoľvek algebraickej funkcie a pripomína graf priamky v súradniciach skutočných a imaginárnych hodnôt.
Komplexná rovina
Geometrická forma komplexných čísel nám umožňuje vizuálne znázorniť mnohé z ich vlastností. Na osi Re(z) označíme skutočné hodnoty x, na Im(z) - imaginárne hodnoty y, potom bod z v rovine zobrazí požadovanú komplexnú hodnotu.
Definície:
- Re(z) - skutočná os.
- Im(z) – znamená pomyselnú os.
- z - podmienená bodka komplexného čísla.
- Volá sa číselná hodnota dĺžky vektora od nuly po zmodul.
- Reálne a imaginárne osi rozdeľujú rovinu na štvrtiny. S kladnou hodnotou súradníc - I štvrťrok. Keď je argument reálnej osi menší ako 0 a imaginárna os je väčšia ako 0 - II štvrtina. Keď sú súradnice záporné - III štvrťrok. Posledný, štvrtý štvrťrok obsahuje veľa pozitívnych skutočných hodnôt a negatívnych imaginárnych hodnôt.
V rovine s hodnotami súradníc x a y je teda možné vždy zobraziť bod komplexného čísla. Postava i je predstavená, aby oddelila skutočnú časť od tej imaginárnej.
Vlastnosti
- Keď je hodnota imaginárneho argumentu nula, dostaneme iba číslo (z=x), ktoré sa nachádza na reálnej osi a patrí do skutočnej množiny.
- Špeciálny prípad, keď sa hodnota skutočného argumentu stane nulou, výraz z=i×y zodpovedá umiestneniu bodu na imaginárnej osi.
- Všeobecný tvar z=x + i×y bude pre nenulové hodnoty argumentov. Označuje umiestnenie bodu charakterizujúceho komplexné číslo v jednej zo štvrtín.
Trigonometrický zápis
Vybavte si systém polárnych súradníc a definíciu goniometrických funkcií sin a cos. Je zrejmé, že pomocou týchto funkcií je možné opísať polohu akéhokoľvek bodu v rovine. K tomu stačí poznať dĺžku polárneho lúča a uhol sklonu k skutočnej osi.
Definícia. Zápis v tvare ∣z ∣ vynásobený súčtom goniometrických funkcií cos(ϴ) a imaginárnej časti i ×sin(ϴ) sa nazýva trigonometrické komplexné číslo. Tu je označenie uhol sklonu k skutočnej osi
ϴ=arg(z) a r=∣z∣, dĺžka lúča.
Z definície a vlastností goniometrických funkcií vyplýva veľmi dôležitý Moivreov vzorec:
zn =r × (cos(n × ϴ) + i × sin(n × ϴ)).
Pomocou tohto vzorca je vhodné riešiť mnohé sústavy rovníc obsahujúcich goniometrické funkcie. Najmä keď nastane problém povýšenia k moci.
Modul a fáza
Na dokončenie popisu komplexného súboru navrhujeme dve dôležité definície.
Poznajúc Pytagorovu vetu, je ľahké vypočítať dĺžku lúča v polárnom súradnicovom systéme.
r=∣z∣=√(x2 + y2), takýto zápis na komplexnom priestore sa nazýva „ modul“a charakterizuje vzdialenosť od 0 do bodu v rovine.
Uhol sklonu komplexného lúča k skutočnej čiare ϴ sa bežne nazýva fáza.
Definícia ukazuje, že skutočné a imaginárne časti sú opísané pomocou cyklických funkcií. Konkrétne:
- x=r × cos(ϴ);
- y=r × sin(ϴ);
Naopak, fáza súvisí s algebraickými hodnotami prostredníctvom vzorca:
ϴ=arctan(x / y) + µ, zavádza sa korekcia µ, aby sa zohľadnila periodicita geometrických funkcií.
Eulerov vzorec
Matematici často používajú exponenciálny tvar. Komplexné rovinné čísla sa píšu ako výrazy
z=r × ei×ϴ , čo vyplýva z Eulerovho vzorca.
Tento záznam sa široko používa na praktický výpočet fyzikálnych veličín. Forma prezentácie vo formuláriexponenciálne komplexné čísla sú vhodné najmä pre inžinierske výpočty, kde je potrebné počítať obvody so sínusovými prúdmi a je potrebné poznať hodnotu integrálov funkcií s danou periódou. Samotné výpočty slúžia ako pomôcka pri navrhovaní rôznych strojov a mechanizmov.
Definovať operácie
Ako už bolo uvedené, všetky algebraické zákony práce so základnými matematickými funkciami platia pre komplexné čísla.
Súčtová operácia
Pri pridávaní komplexných hodnôt sa pridávajú aj ich skutočné a imaginárne časti.
z=z1 + z2 kde z1 a z2 - všeobecné komplexné čísla. Transformáciou výrazu po otvorení zátvoriek a zjednodušení zápisu dostaneme skutočný argument x=(x1 + x2), imaginárny argument y=(y 1 + y2).
Na grafe to vyzerá ako sčítanie dvoch vektorov podľa známeho pravidla rovnobežníka.
Operácia odčítania
Považuje sa za špeciálny prípad sčítania, keď je jedno číslo kladné a druhé záporné, to znamená, že sa nachádza v zrkadlovej štvrtine. Algebraický zápis vyzerá ako rozdiel medzi skutočnou a imaginárnou časťou.
z=z1 - z2, alebo, berúc do úvahy hodnoty argumentov, podobne ako pri sčítaní operácie získame pre reálne hodnoty x=(x1 - x2) a imaginárne y=(y1- y2).
Násobenie v komplexnej rovine
Pomocou pravidiel pre prácu s polynómami odvodíme vzorecriešiť komplexné čísla.
Podľa všeobecných algebraických pravidiel z=z1×z2 popíšte každý argument a uveďte podobné. Skutočné a vymyslené časti môžu byť napísané takto:
- x=x1 × x2 - y1 × y2,
- y=x1 × y2 + x2 × y 1.
Vyzerá to krajšie, ak použijeme exponenciálne komplexné čísla.
Výraz vyzerá takto: z=z1 × z2 =r1 × eiϴ1 × r2 × eiϴ2=r1 × r2 × ei(ϴ1+ϴ2).
Zjednodušene povedané, moduly sa znásobia a fázy sa sčítajú.
Division
Keď uvažujeme o operácii delenia ako o inverzii násobenia, dostaneme jednoduchý výraz v exponenciálnom zápise. Delenie hodnoty z1 hodnotou z2 je výsledkom delenia ich modulov a fázového rozdielu. Formálne to pri použití exponenciálneho tvaru komplexných čísel vyzerá takto:
z=z1 / z2 =r1 × e iϴ1 / r2 × ei ϴ2=r1 / r2× ei(ϴ1-ϴ 2).
Vo forme algebraického zápisu je operácia delenia čísel komplexnej roviny napísaná trochu komplikovanejšie:
z=z1 / z2.
Popisom argumentov a vykonávaním polynomiálnych transformácií je ľahké získať hodnotyx=x1 × x2 + y1 × y2, respektíve y=x2 × y1 - x1 × y2 však v rámci opísaného priestoru dáva tento výraz zmysel, ak z2 ≠ 0.
Extrahujte koreň
Všetko vyššie uvedené možno použiť pri definovaní zložitejších algebraických funkcií – zvýšenie na ľubovoľnú mocninu a inverzné k nej – extrahovanie odmocniny.
Pomocou všeobecného konceptu zvýšenia na mocninu n dostaneme definíciu:
zn =(r × eiϴ).
Pomocou bežných vlastností prepíšte ako:
zn =rn × eiϴ.
Máme jednoduchý vzorec na zvýšenie komplexného čísla na mocninu.
Z definície stupňa získame veľmi dôležitý dôsledok. Párna mocnina imaginárnej jednotky je vždy 1. Akákoľvek nepárna mocnina imaginárnej jednotky je vždy -1.
Teraz si preštudujme inverznú funkciu – extrahovanie koreňa.
Pre jednoduchosť zápisu zoberme n=2. Druhá odmocnina w komplexnej hodnoty z v komplexnej rovine C sa považuje za výraz z=±, platný pre akýkoľvek skutočný argument väčší alebo rovný nula. Pre w ≦ 0 neexistuje riešenie.
Pozrime sa na najjednoduchšiu kvadratickú rovnicu z2 =1. Pomocou vzorcov pre komplexné čísla prepíšte r2 × ei2ϴ =r2 × ei2ϴ=ei0. Zo záznamu je zrejmé, že r2 =1 a ϴ=0, preto máme jedinečné riešenie rovné 1. Ale to je v rozpore s predstavou, že z=-1 tiež zodpovedá definícii druhej odmocniny.
Poďme zistiť, čo neberieme do úvahy. Ak si spomenieme na trigonometrický zápis, potom výrok obnovíme - pri periodickej zmene fázy ϴ sa komplexné číslo nemení. Nech p označuje hodnotu obdobia, potom máme r2 × ei2ϴ =ei(0+p), odkiaľ 2ϴ=0 + p alebo ϴ=p / 2. Preto ei0 =1 a eip/2 =-1. Dostali sme druhé riešenie, ktoré zodpovedá všeobecnému chápaniu druhej odmocniny.
Aby sme teda našli ľubovoľnú odmocninu komplexného čísla, budeme postupovať podľa tohto postupu.
- Napíšte exponenciálny tvar w=∣w∣ × ei(arg (w) + pk), k je ľubovoľné celé číslo.
- Požadované číslo je tiež znázornené v Eulerovom tvare z=r × eiϴ.
- Použite všeobecnú definíciu funkcie extrakcie koreňa r ei ϴ =∣w∣ × ei(arg(w) + pk).
- Zo všeobecných vlastností rovnosti modulov a argumentov píšeme rn =∣w∣ a nϴ=arg (w) + p×k.
- Konečný záznam odmocniny komplexného čísla je opísaný vzorcom z=√∣w∣ × ei ( arg (w) + pk ) / .
- Poznámka. Hodnota ∣w∣, podľa definície,je kladné reálne číslo, takže koreň akéhokoľvek stupňa dáva zmysel.
Pole a konjugácia
Na záver uvádzame dve dôležité definície, ktoré majú malý význam pre riešenie aplikovaných problémov s komplexnými číslami, ale sú nevyhnutné pre ďalší rozvoj matematickej teórie.
Výrazy pre sčítanie a násobenie tvoria pole, ak spĺňajú axiómy pre ľubovoľné prvky komplexnej roviny z:
- Komplexný súčet sa pri zmene miesta zložitých výrazov nemení.
- Výrok je pravdivý – v zložitom výraze možno ľubovoľný súčet dvoch čísel nahradiť ich hodnotou.
- Existuje neutrálna hodnota 0, pre ktorú platí z + 0=0 + z=z.
- Pre každé z existuje opak - z, ktorého sčítanie dáva nulu.
- Pri zmene miesta komplexných faktorov sa komplexný produkt nemení.
- Násobenie akýchkoľvek dvoch čísel možno nahradiť ich hodnotou.
- Je tu neutrálna hodnota 1, násobenie, ktorým sa nemení komplexné číslo.
- Pre každé z ≠ 0 existuje prevrátená hodnota z-1, ktorá sa vynásobí 1.
- Vynásobenie súčtu dvoch čísel tretinou je ekvivalentom operácie vynásobenia každého z nich týmto číslom a sčítania výsledkov.
- 0 ≠ 1.
Čísla z1 =x + i×y a z2 =x - i×y sa nazývajú konjugované.
Veta. Pre konjugáciu platí výrok:
- Konjugácia súčtu sa rovná súčtu konjugovaných prvkov.
- Konjugát produktu jesúčin konjugácií.
- Konjugácia konjugácie sa rovná samotnému číslu.
Vo všeobecnej algebre sa takéto vlastnosti nazývajú automorfizmy polí.
Príklady
Podľa daných pravidiel a vzorcov komplexných čísel s nimi môžete jednoducho pracovať.
Pozrime sa na najjednoduchšie príklady.
Úloha 1. Pomocou rovnice 3y +5 x i=15 - 7i určte x a y.
Rozhodnutie. Spomeňte si na definíciu komplexných rovníc, potom 3y=15, 5x=-7. Preto x=-7 / 5, y=5.
Úloha 2. Vypočítajte hodnoty 2 + i28 a 1 + i135.
Rozhodnutie. Je zrejmé, že 28 je párne číslo, z dôsledku definície komplexného čísla v mocnine máme i28 =1, čo znamená, že výraz 2 + i 28 =3. Druhá hodnota, i135 =-1, potom 1 + i135 =0.
Úloha 3. Vypočítajte súčin hodnôt 2 + 5i a 4 + 3i.
Rozhodnutie. Zo všeobecných vlastností násobenia komplexných čísel dostaneme (2 + 5i)X(4 + 3i)=8 - 15 + i(6 + 20). Nová hodnota bude -7 + 26i.
Úloha 4. Vypočítajte korene rovnice z3 =-i.
Rozhodnutie. Existuje niekoľko spôsobov, ako nájsť komplexné číslo. Uvažujme o jednom z možných. Podľa definície ∣ - i∣=1, fáza pre -i je -p / 4. Pôvodná rovnica môže byť prepísaná ako r3ei3ϴ =e-p/4+pk, odkiaľ z=e-p / 12 + pk/3 pre ľubovoľné celé číslo k.
Súprava riešení má tvar (e-ip/12,eip/4, ei2 p/3).
Prečo potrebujeme komplexné čísla
História pozná veľa príkladov, keď vedci pracujúci na teórii ani neuvažujú o praktickej aplikácii svojich výsledkov. Matematika je v prvom rade hrou mysle, striktným dodržiavaním vzťahov príčina-následok. Takmer všetky matematické konštrukcie sú redukované na riešenie integrálnych a diferenciálnych rovníc a tie sa zase s určitou aproximáciou riešia hľadaním koreňov polynómov. Tu sa prvýkrát stretávame s paradoxom imaginárnych čísel.
Vedci, prírodovedci, ktorí riešia úplne praktické problémy, uchyľujú sa k riešeniam rôznych rovníc, objavujú matematické paradoxy. Interpretácia týchto paradoxov vedie k úplne úžasným objavom. Jedným z takýchto príkladov je duálna povaha elektromagnetických vĺn. Komplexné čísla zohrávajú kľúčovú úlohu pri pochopení ich vlastností.
To zase našlo praktické uplatnenie v optike, rádioelektronike, energetike a mnohých ďalších technologických oblastiach. Ďalší príklad, oveľa ťažšie pochopiteľné fyzikálne javy. Antihmota bola predpovedaná na špičke pera. A až o mnoho rokov neskôr sa začínajú pokusy o jeho fyzickú syntézu.
Nemyslite si, že takéto situácie sú len vo fyzike. Nemenej zaujímavé objavy vznikajú vo voľnej prírode, pri syntéze makromolekúl, počas štúdia umelej inteligencie. A to všetko vďakarozširovanie nášho vedomia, odklon od jednoduchého sčítania a odčítania prírodných hodnôt.
