Všetci sme sa v škole učili na hodinách algebry aritmetické odmocniny. Stáva sa, že ak vedomosti nie sú obnovené, potom sa rýchlo zabudnú, rovnako ako korene. Tento článok bude užitočný pre ôsmakov, ktorí si chcú osviežiť svoje vedomosti v tejto oblasti, ale aj pre ostatných školákov, pretože pracujeme s koreňmi v 9., 10. a 11. ročníku.
História koreňa a stupňa
Dokonca aj v staroveku, a najmä v starovekom Egypte, ľudia potrebovali tituly na vykonávanie operácií s číslami. Keď takýto koncept neexistoval, Egypťania zapísali súčin rovnakého čísla dvadsaťkrát. Čoskoro však bolo vynájdené riešenie problému - do pravého horného rohu nad ním sa začal písať počet, koľkokrát treba číslo vynásobiť, a táto forma záznamu pretrvala dodnes.
A história druhej odmocniny sa začala asi pred 500 rokmi. Bol označený rôznymi spôsobmi a až v sedemnástom storočí René Descartes zaviedol takýto znak, ktorý používame dodnes.
Čo je druhá odmocnina
Začnime vysvetlením, čo je odmocnina. Druhá odmocnina nejakého čísla c je nezáporné číslo, ktoré sa po odmocni bude rovnať c. V tomto prípade je c väčšie alebo rovné nule.
Aby sa číslo dostalo pod odmocninu, odmocnime ho a umiestnime naň odmocninu:
32=9, 3=√9
Nemôžeme získať ani hodnotu druhej odmocniny záporného čísla, pretože každé číslo v štvorci je kladné, to znamená:
c2 ≧ 0, ak √c je záporné číslo, potom c2 < 0 - v rozpore s pravidlom.
Na rýchly výpočet druhej odmocniny potrebujete poznať tabuľku druhých mocnín čísel.
Vlastnosti
Uvažujme o algebraických vlastnostiach druhej odmocniny.
1) Ak chcete extrahovať druhú odmocninu produktu, musíte odmocniť každý faktor. To znamená, že to možno napísať ako súčin koreňov faktorov:
√ac=√a × √c, napríklad:
√36=√4 × √9
2) Pri extrakcii koreňa zo zlomku je potrebné extrahovať koreň oddelene od čitateľa a menovateľa, to znamená zapísať ho ako podiel ich koreňov.
3) Hodnota získaná odmocninou čísla sa vždy rovná modulu tohto čísla, pretože modul môže byť iba kladný:
√с2=∣с∣, ∣с∣ > 0.
4) Aby sme pozdvihli koreň akejkoľvek sily, pozdvihneme juradikálny výraz:
(√с)4=√с4, napríklad:
(√2)6 =√26=√64=8
5) Druhá mocnina aritmetickej odmocniny z c sa rovná samotnému číslu:
(√s)2=s.
Korene iracionálnych čísel
Povedzme, že odmocnina zo šestnástich je jednoduchá, ale ako odmocniť čísla ako 7, 10, 11?
Číslo, ktorého koreň je nekonečný neperiodický zlomok, sa nazýva iracionálne. Sami z nej nedokážeme vydolovať koreň. Môžeme to len porovnávať s inými číslami. Napríklad zoberte odmocninu z 5 a porovnajte ju s √4 a √9. Je jasné, že √4 < √5 < √9, potom 2 < √5 < 3. To znamená, že hodnota odmocniny z päťky je niekde medzi dvomi a tromi, no je medzi nimi veľa desatinných zlomkov a výber každého je pochybný spôsob, ako nájsť koreň.
Túto operáciu môžete vykonať na kalkulačke – je to najjednoduchší a najrýchlejší spôsob, ale v 8. ročníku už nikdy nebudete musieť extrahovať iracionálne čísla z aritmetickej odmocniny. Musíte si zapamätať iba približné hodnoty odmocniny z dvoch a odmocniny z troch:
√2 ≈ 1, 4, √3 ≈ 1, 7.
Príklady
Teraz, na základe vlastností druhej odmocniny, vyriešime niekoľko príkladov:
1) √172 - 82
Zapamätajte si vzorec pre rozdiel druhých mocnín:
√(17-8) (17+8)=√9 ×25
Poznáme vlastnosť druhej aritmetickej odmocniny – ak chcete extrahovať odmocninu zo súčinu, musíte ju extrahovať z každého faktora:
√9 × √25=3 × 5=15
2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36
Použite ďalšiu vlastnosť odmocniny – druhá mocnina aritmetickej odmocniny čísla sa rovná tomuto samotnému číslu:
2 × 3 + 6=12
Dôležité! Keď študenti začínajú pracovať a riešiť príklady s aritmetickými odmocninami, študenti robia nasledujúcu chybu:
√12 + 3=√12 + √3 – to nemôžeš!
Nemôžeme zakoreniť každý výraz. Takéto pravidlo neexistuje, ale zamieňa sa s prevzatím koreňa každého faktora. Ak by sme mali tento záznam:
√12 × 3, potom by bolo fér napísať √12 × 3=√12 × √3.
A tak môžeme napísať len:
√12 + 3=√15
