Niektoré matematické úlohy vyžadujú schopnosť vypočítať druhú odmocninu. Tieto problémy zahŕňajú riešenie rovníc druhého rádu. V tomto článku predstavujeme účinnú metódu na výpočet druhých odmocnín a používame ju pri práci so vzorcami pre odmocniny kvadratickej rovnice.
Čo je druhá odmocnina?
V matematike tento pojem zodpovedá symbolu √. Historické údaje hovoria, že prvýkrát sa začala používať približne v prvej polovici 16. storočia v Nemecku (prvá nemecká práca o algebre od Christopha Rudolfa). Vedci sa domnievajú, že tento symbol je transformované latinské písmeno r (radix znamená „koreň“v latinčine).
Odmocnina ľubovoľného čísla sa rovná takej hodnote, ktorej druhá mocnina zodpovedá výrazu odmocniny. V jazyku matematiky bude táto definícia vyzerať takto: √x=y, ak y2=x.
Odmocnina kladného čísla (x > 0) je tiežkladné číslo (y > 0), ale ak je koreň prevzatý zo záporného čísla (x < 0), jeho výsledkom už bude komplexné číslo vrátane imaginárnej jednotky i.
Tu sú dva jednoduché príklady:
√9=3 pretože 32 =9; √(-9)=3i, pretože i2=-1.
Heronov iteračný vzorec na nájdenie odmocnin
Vyššie uvedené príklady sú veľmi jednoduché a výpočet koreňov v nich nie je náročný. Ťažkosti sa začínajú objavovať už pri hľadaní koreňových hodnôt pre akúkoľvek hodnotu, ktorú nemožno vyjadriť ako druhú mocninu prirodzeného čísla, napríklad √10, √11, √12, √13, nehovoriac o tom, že v praxi to je potrebné nájsť korene pre necelé čísla: napríklad √(12, 15), √(8, 5) atď.
Vo všetkých vyššie uvedených prípadoch by sa mala použiť špeciálna metóda výpočtu druhej odmocniny. V súčasnosti je známych niekoľko takýchto metód: napríklad expanzia v Taylorovom rade, delenie stĺpcom a niektoré ďalšie. Zo všetkých známych metód je azda najjednoduchšie a najefektívnejšie použitie Heronovho iteračného vzorca, ktorý je známy aj ako babylonská metóda na určovanie odmocnín (existujú dôkazy, že starí Babylončania ju používali pri svojich praktických výpočtoch).
Nech je potrebné určiť hodnotu √x. Vzorec na nájdenie druhej odmocniny je nasledujúci:
an+1=1/2(a+x/a), kde limn->∞(a)=> x.
Dešifrujte tento matematický zápis. Na výpočet √x by ste si mali vziať nejaké číslo a0 (môže to byť ľubovoľné, ale pre rýchly výsledok by ste ho mali zvoliť tak, že (a0) 2 bol čo najbližšie k x, potom ho dosaďte do zadaného vzorca odmocniny a získajte nové číslo a1, ktoré už bude byť bližšie k požadovanej hodnote. do výrazu je potrebné dosadiť a1 a získať a2 Tento postup by sa mal opakovať, kým sa nedosiahne požadovaná presnosť.
Príklad použitia Heronovho iteračného vzorca
Vyššie opísaný algoritmus na získanie druhej odmocniny z určitého daného čísla môže znieť pre mnohých dosť komplikovane a mätúco, no v skutočnosti sa všetko ukáže oveľa jednoduchšie, keďže tento vzorec sa veľmi rýchlo zbieha (najmä ak ide o šťastné číslo je vybratý ako0).
Uveďme si jednoduchý príklad: musíme vypočítať √11. Vyberieme a0=3, pretože 32=9, čo je bližšie k 11 ako 42=16. Dosadením do vzorca dostaneme:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Nemá zmysel pokračovať vo výpočtoch, pretože sme zistili, že a2 a a3 sa začínajú líšiť iba v 5. desatinnom čísle miesto. Stačilo teda aplikovať iba 2-násobok vzorca dovypočítajte √11 s presnosťou 0,0001.
V súčasnosti sa na výpočet koreňov bežne používajú kalkulačky a počítače, je však užitočné zapamätať si označený vzorec, aby ste mohli manuálne vypočítať ich presnú hodnotu.
Rovnice druhého rádu
Porozumenie tomu, čo je druhá odmocnina a schopnosť vypočítať ju, sa používa pri riešení kvadratických rovníc. Tieto rovnice sú rovnosti s jednou neznámou, ktorých všeobecný tvar je znázornený na obrázku nižšie.
C, b a a sú niektoré čísla a a sa nesmie rovnať nule a hodnoty c a b môžu byť úplne ľubovoľné, vrátane nuly.
Všetky hodnoty x, ktoré spĺňajú rovnosť uvedenú na obrázku, sa nazývajú jeho korene (tento koncept by sa nemal zamieňať s druhou odmocninou √). Keďže uvažovaná rovnica má 2. rád (x2), jej korene nemôžu obsahovať viac ako dve čísla. Pozrime sa, ako tieto korene nájsť neskôr v článku.
Hľadanie koreňov kvadratickej rovnice (vzorca)
Táto metóda riešenia uvažovaného typu rovnosti sa nazýva aj univerzálna, alebo metóda cez diskriminant. Dá sa použiť na akékoľvek kvadratické rovnice. Vzorec pre diskriminant a korene kvadratickej rovnice je nasledujúci:
Ukazuje, že korene závisia od hodnoty každého z troch koeficientov rovnice. Navyše výpočetx1 sa líši od výpočtu x2 iba znamienkom pred druhou odmocninou. Radikálny výraz, ktorý sa rovná b2 - 4ac, nie je nič iné ako diskriminant uvažovanej rovnosti. Diskriminant vo vzorci pre korene kvadratickej rovnice hrá dôležitú úlohu, pretože určuje počet a typ riešení. Ak je teda nula, bude existovať iba jedno riešenie, ak je kladné, rovnica má dva skutočné korene, nakoniec negatívny diskriminant vedie k dvom komplexným koreňom x1 a x 2.
Vietova veta alebo niektoré vlastnosti koreňov rovníc druhého rádu
Koncom 16. storočia jeden zo zakladateľov modernej algebry, Francúz Francois Viet, študujúci rovnice druhého rádu, dokázal získať vlastnosti jej koreňov. Matematicky sa dajú zapísať takto:
x1 + x2=-b / a a x1 x 2=c / a.
Obe rovnosti môže ľahko získať každý, na to je potrebné vykonať iba príslušné matematické operácie s koreňmi získanými prostredníctvom vzorca s diskriminantom.
Kombináciu týchto dvoch výrazov možno právom nazvať druhým vzorcom koreňov kvadratickej rovnice, ktorý umožňuje uhádnuť jej riešenia bez použitia diskriminantu. Tu je potrebné poznamenať, že hoci oba výrazy sú vždy platné, je vhodné ich použiť na vyriešenie rovnice iba vtedy, ak ju možno rozdeliť na faktor.
Úloha upevniť nadobudnuté vedomosti
Poďme vyriešiť matematický problém, v ktorom si ukážeme všetky techniky diskutované v článku. Podmienky problému sú nasledovné: musíte nájsť dve čísla, pre ktoré je súčin -13 a súčet je 4.
Táto podmienka okamžite pripomína Vietovu vetu, aplikovaním vzorcov na súčet odmocnín a ich súčinu píšeme:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
Za predpokladu, že a=1, potom b=-4 a c=-13. Tieto koeficienty nám umožňujú napísať rovnicu druhého rádu:
x2 - 4x - 13=0.
Použite vzorec s diskriminantom, dostaneme tieto korene:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
To znamená, že úloha bola zredukovaná na nájdenie čísla √68. Všimnite si, že 68=417, potom pomocou vlastnosti druhej odmocniny dostaneme: √68=2√17.
Teraz použijeme uvažovaný vzorec druhej odmocniny: a0=4, potom:
a1=1/2(4 + 17/4)=4 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
Nie je potrebné počítať a3, pretože nájdené hodnoty sa líšia iba o 0,02. Teda √68=8,246. Dosaďte ho do vzorca pre x 1, 2, dostaneme:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 a x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
Ako vidíte, súčet nájdených čísel je skutočne 4, ale ak nájdete ich súčin, bude sa rovnať -12,999, čo spĺňa podmienku problému s presnosťou 0,001.
