Oblasť bočného povrchu a objem zrezanej pyramídy: vzorce a príklad riešenia typického problému

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy zmenené: 2024-01-02 17:55

Pri študovaní vlastností obrazcov v trojrozmernom priestore v rámci stereometrie je často potrebné riešiť problémy na určenie objemu a povrchu. V tomto článku si ukážeme, ako vypočítať objem a bočný povrch pre zrezanú pyramídu pomocou dobre známych vzorcov.

Pyramída v geometrii

V geometrii je obyčajná pyramída obrazcom v priestore, ktorý je postavený na nejakom plochom n-uholníku. Všetky jeho vrcholy sú spojené s jedným bodom umiestneným mimo roviny mnohouholníka. Tu je napríklad fotografia päťuholníkovej pyramídy.

Tento obrazec tvoria plochy, vrcholy a hrany. Päťuholníková plocha sa nazýva základňa. Zostávajúce trojuholníkové plochy tvoria bočnú plochu. Priesečník všetkých trojuholníkov je hlavným vrcholom pyramídy. Ak sa z nej spustí kolmica na základňu, potom sú možné dve možnosti polohy priesečníka:

• v geometrickom strede, potom sa pyramída nazýva priama;
• nie je tamgeometrický stred, potom bude obrazec šikmý.

Ďalej budeme brať do úvahy iba rovné čísla s pravidelnou n-uholníkovou základňou.

Čo je to za obrázok – zrezaná pyramída?

Na určenie objemu zrezanej pyramídy je potrebné jasne pochopiť, o ktorý útvar konkrétne ide. Poďme si tento problém objasniť.

Predpokladajme, že vezmeme rovinu rezu, ktorá je rovnobežná so základňou obyčajnej pyramídy a odrežeme ňou časť bočnej plochy. Ak sa táto operácia vykoná s päťuholníkovou pyramídou zobrazenou vyššie, dostanete také číslo ako na obrázku nižšie.

Z fotografie je vidieť, že táto pyramída už má dve základne a horná je podobná spodnej, no je menšia. Bočná plocha už nie je reprezentovaná trojuholníkmi, ale lichobežníkmi. Sú rovnoramenné a ich počet zodpovedá počtu strán základne. Zrezaný obrazec nemá hlavný vrchol ako bežná pyramída a jeho výška je určená vzdialenosťou medzi rovnobežnými základňami.

Vo všeobecnom prípade, ak je uvažovaný útvar tvorený n-gonálnymi základňami, má n+2 plôch alebo strán, 2n vrcholov a 3n hrán. To znamená, že skrátená pyramída je mnohosten.

Vzorec pre objem zrezanej pyramídy

Pripomeňme, že objem obyčajnej pyramídy je 1/3 súčinu jej výšky a základnej plochy. Tento vzorec nie je vhodný pre zrezanú pyramídu, pretože má dve základne. A jeho objembude vždy menšia ako rovnaká hodnota pre bežný údaj, z ktorého je odvodený.

Bez toho, aby sme zachádzali do matematických detailov získania výrazu, uvádzame konečný vzorec pre objem zrezanej pyramídy. Píše sa takto:

V=1/3h(S₁+ S₂+ √(S₁ S₂₎₎

Tu S₁ a S_{2 sú plochy spodnej a hornej základne, h je výška postavy. Písomné vyjadrenie platí nielen pre rovný pravidelný zrezaný ihlan, ale aj pre akúkoľvek figúrku tejto triedy. Navyše bez ohľadu na typ základných polygónov. Jedinou podmienkou obmedzujúcou použitie výrazu pre V je potreba, aby základne pyramídy boli navzájom rovnobežné.}

Štúdiom vlastností tohto vzorca možno vyvodiť niekoľko dôležitých záverov. Ak je teda plocha hornej základne nula, dostaneme sa k vzorcu pre V obyčajnej pyramídy. Ak sa plochy podstav rovnajú jedna druhej, dostaneme vzorec pre objem hranola.

Ako určiť plochu bočného povrchu?

Znalosť charakteristík zrezanej pyramídy si vyžaduje nielen schopnosť vypočítať jej objem, ale aj vedieť, ako určiť plochu bočného povrchu.

Skrátená pyramída pozostáva z dvoch typov plôch:

• rovnoramenné lichobežníky;
• polygonálne základne.

Ak je v základniach pravidelný mnohouholník, výpočet jeho plochy nie je veľkýťažkosti. K tomu potrebujete poznať iba dĺžku strany a a ich počet n.

V prípade bočného povrchu výpočet jeho plochy zahŕňa určenie tejto hodnoty pre každý z n lichobežníkov. Ak je n-uholník správny, vzorec pre plochu povrchu bude:

S_b=h_bn(a₁+a_2)/2

Tu h_b je výška lichobežníka, ktorý sa nazýva apotém postavy. Množstvo a₁ a a_{2sú dĺžky strán pravidelných n-gonálnych základní.}

Pre každú pravidelnú n-gonálnu zrezanú pyramídu možno apotému h_b jednoznačne definovať pomocou parametrov a₁ a a _{2a výšku h tvaru.}

Úloha vypočítať objem a plochu postavy

Vzhľadom na pravidelnú trojuholníkovú zrezanú pyramídu. Je známe, že jeho výška h je 10 cm a dĺžky strán podstavcov sú 5 cm a 3 cm. Aký je objem zrezaného ihlana a plocha jeho bočnej plochy?

Najprv vypočítame hodnotu V. Na tento účel nájdite oblasti rovnostranných trojuholníkov, ktoré sa nachádzajú na základniach obrázku. Máme:

S₁=√3/4a₁²=√3/4 5²=10,825 cm^2;

S₂=√3/4a₂²=√3/4 3²=3,897 cm²

Nahradením údajov do vzorca pre V získame požadovaný objem:

V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70,72 cm3

Na určenie bočného povrchu by ste mali vedieťdĺžka apotémy h_{b. Ak vezmeme do úvahy zodpovedajúci pravouhlý trojuholník vo vnútri pyramídy, môžeme preň napísať rovnosť:}

h_b=√((√3/6(a₁- a₂))²+ h^{2) ≈ 10,017 cm}

Hodnota apotému a strany trojuholníkových základní sa dosadia do výrazu pre S_{b a dostaneme odpoveď:}

S_b=h_bn(a₁+a₂)/2=10,0173(5+3)/2 ≈ 120,2 cm²

Odpovedali sme teda na všetky otázky problému: V ≈ 70,72 cm³, S_b ≈ 120,2 cm2^.