Schopnosť vypočítať objem priestorových útvarov je dôležitá pri riešení množstva praktických problémov v geometrii. Jedným z najbežnejších tvarov je pyramída. V tomto článku zvážime vzorce pre objem pyramídy, plnej aj skrátenej.
Pyramída ako trojrozmerná postava
Každý vie o egyptských pyramídach, takže má dobrú predstavu o tom, o ktorej postave sa bude diskutovať. Egyptské kamenné stavby sú však len špeciálnym prípadom obrovskej triedy pyramíd.
Uvažovaným geometrickým objektom je vo všeobecnom prípade polygonálna základňa, ktorej každý vrchol je spojený s nejakým bodom v priestore, ktorý nepatrí do základnej roviny. Táto definícia vedie k obrázku pozostávajúcim z jedného n-uholníka a n trojuholníkov.
Akákoľvek pyramída pozostáva z n+1 stien, 2n hrán a n+1 vrcholov. Keďže uvažovaný obrazec je dokonalý mnohosten, počty označených prvkov sa riadia Eulerovou rovnosťou:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
Mnohouholník na základni dáva názov pyramídy,napríklad trojuholníkové, päťuholníkové atď. Sada pyramíd s rôznymi základňami je zobrazená na fotografii nižšie.
Bod, v ktorom je spojených n trojuholníkov obrazca, sa nazýva vrchol pyramídy. Ak sa z nej spustí kolmica na základňu a pretína ju v geometrickom strede, potom sa takýto obrazec nazýva priamka. Ak táto podmienka nie je splnená, potom existuje naklonená pyramída.
Priamy útvar, ktorého základňu tvorí rovnostranný (rovnohranný) n-uholník, sa nazýva pravidelný.
Vzorec objemu pyramídy
Na výpočet objemu pyramídy používame integrálny počet. Aby sme to dosiahli, rozdelíme postavu sečnými rovinami rovnobežnými so základňou na nekonečný počet tenkých vrstiev. Na obrázku nižšie je znázornený štvorhranný ihlan s výškou h a dĺžkou strany L, na ktorom je tenká vrstva prierezu označená štvoruholníkom.
Plochu každej takejto vrstvy možno vypočítať pomocou vzorca:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
Tu A0 je plocha základne, z je hodnota zvislej súradnice. Je vidieť, že ak z=0, potom vzorec dáva hodnotu A0.
Ak chcete získať vzorec pre objem pyramídy, mali by ste vypočítať integrál cez celú výšku postavy, to znamená:
V=∫h0(A(z)dz).
Nahradením závislosti A(z) a výpočtom primitívnej derivácie sa dostaneme k výrazu:
V=-A0(h-z)3/(3h2)| h0=1/3A0h.
Máme vzorec pre objem pyramídy. Ak chcete nájsť hodnotu V, stačí vynásobiť výšku postavy plochou základne a potom vydeliť výsledok tromi.
Všimnite si, že výsledný výraz je platný pre výpočet objemu pyramídy ľubovoľného typu. To znamená, že môže byť naklonený a jeho základňa môže byť ľubovoľný n-uholník.
Správna pyramída a jej objem
Všeobecný vzorec pre objem získaný v odseku vyššie možno spresniť v prípade pyramídy so správnou základňou. Plocha takejto základne sa vypočíta pomocou nasledujúceho vzorca:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
L je dĺžka strany pravidelného mnohouholníka s n vrcholmi. Symbol pi je číslo pi.
Nahradením výrazu za A0 do všeobecného vzorca dostaneme objem pravidelnej pyramídy:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
Napríklad pre trojuholníkovú pyramídu vedie tento vzorec k tomuto výrazu:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2h.
Pre pravidelnú štvorhrannú pyramídu sa objemový vzorec zmení na:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2h.
Určenie objemu pravidelných pyramíd vyžaduje poznať stranu ich základne a výšku postavy.
Skrátená pyramída
Predpokladajme, že sme to vzaliľubovoľnú pyramídu a odrežte časť jej bočnej plochy obsahujúcej vrchol. Zostávajúca postava sa nazýva zrezaná pyramída. Pozostáva už z dvoch n-gonálnych podstav a n lichobežníkov, ktoré ich spájajú. Ak bola rovina rezu rovnobežná so základňou obrázku, potom je vytvorená zrezaná pyramída s paralelnými podobnými základňami. To znamená, že dĺžky strán jednej z nich možno získať vynásobením dĺžok druhej nejakým koeficientom k.
Vyššie uvedený obrázok zobrazuje zrezanú pravidelnú šesťhrannú pyramídu. Je vidieť, že jeho hornú základňu, rovnako ako spodnú, tvorí pravidelný šesťuholník.
Vzorec pre objem zrezanej pyramídy, ktorý možno odvodiť pomocou integrálneho počtu podobného uvedenému, je:
V=1/3h(A0+ A1+ √(A0 A1)).
Kde A0 a A1 sú oblasti spodnej (veľkej) a hornej (malej) základne. Premenná h je výška zrezanej pyramídy.
Objem Cheopsovej pyramídy
Je zaujímavé vyriešiť problém určenia objemu, ktorý najväčšia egyptská pyramída obsahuje vo vnútri.
V roku 1984 britskí egyptológovia Mark Lehner a Jon Goodman stanovili presné rozmery Cheopsovej pyramídy. Jeho pôvodná výška bola 146,50 metra (v súčasnosti asi 137 metrov). Priemerná dĺžka každej zo štyroch strán konštrukcie bola 230,363 metra. Základňa pyramídy je štvorcová s vysokou presnosťou.
Použime dané čísla na určenie objemu tohto kamenného obra. Keďže pyramída je pravidelný štvoruholník, platí pre ňu vzorec:
V4=1/3L2h.
Nahradením čísel dostaneme:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Objem Cheopsovej pyramídy je takmer 2,6 milióna m3. Pre porovnanie uvádzame, že olympijský bazén má objem 2,5 tisíc m3. To znamená, že na naplnenie celej Cheopsovej pyramídy bude potrebných viac ako 1000 týchto bazénov!
