Vzorec na určenie objemu kužeľa. Príklad riešenia problému

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy zmenené: 2023-12-17 05:40

Každý študent pri štúdiu stereometrie na strednej škole narazil na šišku. Dve dôležité charakteristiky tohto priestorového útvaru sú plocha a objem. V tomto článku si ukážeme, ako zistiť objem okrúhleho kužeľa.

Okrúhly kužeľ ako tvar rotácie pravouhlého trojuholníka

Skôr než prejdete priamo k téme článku, je potrebné popísať kužeľ z geometrického hľadiska.

Nech je tu nejaký pravouhlý trojuholník. Ak ním otočíte okolo ktorejkoľvek nohy, výsledkom tejto akcie bude požadovaná postava, ako je znázornené na obrázku nižšie.

Noha AB je tu súčasťou osi kužeľa a jej dĺžka zodpovedá výške postavy. Druhé rameno (segment CA) bude mať polomer kužeľa. Počas otáčania opíše kruh, ktorý ohraničuje základňu obrázku. Prepona BC sa nazýva tvoriaca čiara obrazca alebo jej tvoriaca čiara. Bod B je jediný vrchol kužeľa.

Vzhľadom na vlastnosti trojuholníka ABC môžeme vzťah medzi tvoriacou čiarou g, polomerom r a výškou h zapísať nasledovnerovnosť:

g²=h²+ r²

Tento vzorec je užitočný pri riešení mnohých geometrických problémov s príslušným útvarom.

Vzorec objemu kužeľa

Objem akéhokoľvek priestorového útvaru je plocha priestoru, ktorá je obmedzená plochami tohto útvaru. Pre kužeľ existujú dva takéto povrchy:

1. Bočné alebo kužeľové. Tvoria ho všetky generujúce útvary.
2. Nadácia. V tomto prípade ide o kruh.

Získajte vzorec na určenie objemu kužeľa. Aby sme to urobili, mentálne sme ho rozrezali na mnoho vrstiev rovnobežných so základňou. Každá z vrstiev má hrúbku dx, ktorá má tendenciu k nule. Plocha S_x vrstvy vo vzdialenosti x od hornej časti obrázku sa rovná nasledujúcemu výrazu:

S_x=pir²x²/h ²

Platnosť tohto výrazu možno overiť intuitívne dosadením hodnôt x=0 a x=h. V prvom prípade dostaneme plochu rovnú nule, v druhom prípade sa bude rovnať ploche okrúhlej základne.

Na určenie objemu kužeľa je potrebné sčítať malé „objemy“každej vrstvy, to znamená, že by ste mali použiť integrálny počet:

V=∫₀^h(pir²x ²/h²dx)=pir²/h² ∫₀^h(x²dx)

Výpočtom tohto integrálu sa dostaneme ku konečnému vzorcu pre okrúhly kužeľ:

V=1/3pir²h

Je zaujímavé poznamenať, že tento vzorec je úplne podobný tomu, ktorý sa používa na výpočet objemu ľubovoľnej pyramídy. Táto zhoda okolností nie je náhodná, pretože každá pyramída sa stáva kužeľom, keď sa počet jej hrán zvýši do nekonečna.

Problém s výpočtom objemu

Je užitočné uviesť príklad riešenia úlohy, ktorý demonštruje použitie odvodeného vzorca pre objem V.

Vzhľadom na okrúhly kužeľ, ktorého základná plocha je 37 cm² a generátor obrázku má trojnásobok polomeru. Aký je objem kužeľa?

Máme právo použiť objemový vzorec, ak poznáme dve veličiny: výšku h a polomer r. Poďme nájsť vzorce, ktoré ich určujú v súlade so stavom problému.

Polomer r možno vypočítať na základe znalosti plochy kruhu S_o, máme:

S_o=pir²=>

r=√(S_o/pi)

Pomocou podmienky problému napíšeme rovnosť pre generátor g:

g=3r=3√(S_o/pi)

Poznajúc vzorce pre r a g, vypočítajte výšku h:

h=√(g²- r²)=√(9S_o /pi – S_o/pi)=√(8S_o/pi)

Našli sme všetky potrebné parametre. Teraz je čas zapojiť ich do vzorca pre V:

V=1/3pir²h=1/3piS_o/pi√ (8S_o/pi)=S_o/3√(8S_o /pi)

Zostáva nahradiťzákladná plocha S_o a vypočítajte hodnotu objemu: V=119,75 cm³.