Téma "aritmetický postup" sa študuje vo všeobecnom kurze algebry v školách v 9. ročníku. Táto téma je dôležitá pre ďalšie hĺbkové štúdium matematiky číselných radov. V tomto článku sa zoznámime s aritmetickým postupom, jeho rozdielom, ako aj s typickými úlohami, s ktorými sa môžu školáci stretnúť.
Koncept algebraickej progresie
Číselná postupnosť je postupnosť čísel, v ktorej každý nasledujúci prvok možno získať z predchádzajúceho, ak sa použije nejaký matematický zákon. Existujú dva jednoduché typy progresie: geometrická a aritmetická, ktorá sa tiež nazýva algebraická. Poďme sa tomu venovať podrobnejšie.
Predstavme si nejaké racionálne číslo, označme ho symbolom a1, kde index označuje jeho poradové číslo v uvažovanom rade. K 1 pridajme nejaké ďalšie číslo, označme ho d. Potom druhýprvok série môže byť vyjadrený takto: a2=a1+d. Teraz znova pridajte d, dostaneme: a3=a2+d. Pokračovaním v tejto matematickej operácii môžete získať celý rad čísel, ktoré sa budú nazývať aritmetická progresia.
Ako je možné pochopiť z vyššie uvedeného, na nájdenie n-tého prvku tejto postupnosti musíte použiť vzorec: a =a1+ (n -1)d. Skutočne, dosadením n=1 do výrazu dostaneme a1=a1, ak n=2, potom vzorec znamená: a2=a1 + 1d atď.
Ak je napríklad rozdiel aritmetickej progresie 5 a a1=1, znamená to, že číselný rad daného typu vyzerá takto: 1, 6, 11, 16, 21, … Ako vidíte, každý z jeho členov je väčší ako predchádzajúci o 5.
Vzorce pre rozdiel aritmetickej progresie
Z vyššie uvedenej definície uvažovaného radu čísel vyplýva, že na jeho určenie potrebujete poznať dve čísla: a1 a d. To druhé sa nazýva rozdiel tohto postupu. Jedinečne určuje správanie celej série. Ak je totiž d kladné, tak sa bude číselný rad neustále zväčšovať, naopak v prípade záporného d sa čísla v rade zväčšujú len modulo, pričom ich absolútna hodnota bude s rastúcim číslom n klesať.
Aký je rozdiel v aritmetickej progresii? Zvážte dva hlavné vzorce, ktoré sa používajú na výpočet tejto hodnoty:
- d=an+1-a , tento vzorec vyplýva priamo z definície príslušného číselného radu.
- d=(-a1+a)/(n-1), tento výraz sa získa vyjadrením d z daného vzorca v predchádzajúcom odseku článku. Všimnite si, že tento výraz sa stáva neurčitým (0/0), ak n=1. Dôvodom je skutočnosť, že na určenie rozdielu série je potrebné poznať aspoň 2 prvky série.
Tieto dva základné vzorce sa používajú na vyriešenie akéhokoľvek problému hľadania rozdielu v postupe. Existuje však ďalší vzorec, o ktorom tiež musíte vedieť.
Súčet prvých prvkov
Vzorec, ktorý možno podľa historických dôkazov použiť na určenie súčtu ľubovoľného počtu členov algebraickej postupnosti, prvýkrát získal „princ“matematiky 18. storočia Carl Gauss. Nemecký vedec, ešte ako chlapec na základných ročníkoch dedinskej školy, si všimol, že ak chcete sčítať prirodzené čísla v rade od 1 do 100, musíte najprv sčítať prvý prvok a posledný (výsledná hodnota sa bude rovnať na súčet predposledného a druhého, predposledného a tretieho prvku atď.), a potom by sa toto číslo malo vynásobiť počtom týchto čiastok, to znamená 50.
Vzorec, ktorý odráža uvedený výsledok na konkrétnom príklade, možno zovšeobecniť na ľubovoľný prípad. Bude to vyzerať takto: S =n/2(a +a1). Upozorňujeme, že na nájdenie špecifikovanej hodnoty nie je potrebná znalosť rozdielu d,ak sú známe dva členy progresie (a a a1).
Príklad 1. Určite rozdiel poznajúc dva členy radu a1 a an
Poďme si v článku ukázať, ako použiť vyššie uvedené vzorce. Uveďme jednoduchý príklad: rozdiel aritmetickej progresie nie je známy, je potrebné určiť, čomu sa bude rovnať, ak a13=-5, 6 a a1 =-12, 1.
Keďže poznáme hodnoty dvoch prvkov číselnej postupnosti a jeden z nich je prvé číslo, môžeme použiť vzorec č. 2 na určenie rozdielu d. Máme: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. Vo výraze sme použili hodnotu n=13, keďže člen s týmto poradovým číslom je známy.
Výsledný rozdiel naznačuje, že progresia sa zvyšuje, napriek tomu, že prvky uvedené v podmienke problému majú zápornú hodnotu. Je vidieť, že a13>a1, hoci |a13|<|a 1 |.
Príklad 2. Pozitívni členovia progresie v príklade 1
Výsledok získaný v predchádzajúcom príklade použijeme na vyriešenie nového problému. Je formulovaný takto: od akého poradového čísla začínajú prvky progresie v príklade č. 1 nadobúdať kladné hodnoty?
Ako je znázornené, priebeh, v ktorom a1=-12, 1 a d=0. 54167 sa zvyšuje, takže od nejakého čísla začnú čísla naberať len kladné hodnoty. Na určenie tohto čísla n je potrebné vyriešiť jednoduchú nerovnicu, ktorá jematematicky napísané takto: a >0 alebo pomocou príslušného vzorca prepíšeme nerovnicu: a1 + (n-1)d>0. Je potrebné nájsť neznáme n, vyjadrime to: n>-1a1/d + 1. Teraz zostáva dosadiť známe hodnoty rozdielu a prvého člena sekvencie. Dostaneme: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 alebo n>23, 338. Keďže n môže nadobúdať iba celočíselné hodnoty, z výslednej nerovnosti vyplýva, že akékoľvek členy radu, ktoré budú mať číslo väčšie ako 23 bude kladné.
Skontrolujte svoju odpoveď pomocou vyššie uvedeného vzorca na výpočet 23. a 24. prvku tohto aritmetického postupu. Máme: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (záporné číslo); a24=-12, 1 + 230. 54167=0, 3584 (kladná hodnota). Získaný výsledok je teda správny: od n=24 budú všetky členy číselného radu väčšie ako nula.
Príklad 3. Koľko polená sa zmestí?
Uveďme jeden kuriózny problém: počas ťažby dreva bolo rozhodnuté naukladať narezané polená na seba, ako je znázornené na obrázku nižšie. Koľko kmeňov je možné naskladať týmto spôsobom, ak viete, že celkovo sa zmestí 10 riadkov?
Pri tomto spôsobe skladania logov si môžete všimnúť jednu zaujímavú vec: každý nasledujúci riadok bude obsahovať o jeden log menej ako predchádzajúci, to znamená, že existuje algebraická postupnosť, ktorej rozdiel je d=1. Za predpokladu, že počet protokolov v každom riadku je členom tohto postupu,a tiež vzhľadom na to, že a1=1 (na úplný vrch sa zmestí iba jeden log), nájdeme číslo a10. Máme: a10=1 + 1(10-1)=10. To znamená, že v 10. rade, ktorý leží na zemi, bude 10 polená.
Celkové množstvo tejto „pyramídovej“konštrukcie možno získať pomocou Gaussovho vzorca. Získame: S10=10/2(10+1)=55 logov.
