Koncept hranola. Objemové vzorce pre hranoly rôznych typov: pravidelné, priame a šikmé. Riešenie problému

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy zmenené: 2023-12-17 05:40

Objem je charakteristika každej postavy, ktorá má nenulové rozmery vo všetkých troch rozmeroch priestoru. V tomto článku sa z pohľadu stereometrie (geometrie priestorových útvarov) pozrieme na hranol a ukážeme si, ako nájsť objemy hranolov rôznych typov.

Čo je hranol?

Stereometria má presnú odpoveď na túto otázku. Hranolom sa v ňom rozumie obrazec tvorený dvoma rovnakými polygonálnymi plochami a niekoľkými rovnobežníkmi. Obrázok nižšie zobrazuje štyri rôzne hranoly.

Každý z nich je možné získať nasledovne: musíte zobrať mnohouholník (trojuholník, štvoruholník atď.) a segment určitej dĺžky. Potom by sa mal každý vrchol mnohouholníka preniesť pomocou paralelných segmentov do inej roviny. V novej rovine, ktorá bude rovnobežná s pôvodnou, sa získa nový mnohouholník, podobný tomu, ktorý ste vybrali na začiatku.

Hranoly môžu byť rôznych typov. Takže môžu byť rovné, šikmé a správne. Ak bočný okraj hranola (segment,spájajúce vrcholy základov) kolmé na základne obrázku, potom je druhá priamka. Ak teda táto podmienka nie je splnená, hovoríme o naklonenom hranole. Pravidelný obrazec je pravý hranol s rovnouholníkovou a rovnostrannou základňou.

Neskôr v článku si ukážeme, ako vypočítať objem každého z týchto typov hranolov.

Objem bežných hranolov

Začnime tým najjednoduchším prípadom. Dáme vzorec pre objem pravidelného hranola s n-gonálnou základňou. Objemový vzorec V pre ľubovoľný údaj z posudzovanej triedy je nasledujúci:

V=S_oh.

To znamená, že na určenie objemu stačí vypočítať plochu jednej zo základní S_o a vynásobiť ju výškou h obrázku.

Pri pravidelnom hranole označme dĺžku strany jeho podstavy písmenom a a výšku, ktorá sa rovná dĺžke bočnej hrany, písmenom h. Ak je základňa n-uholníka správna, potom najjednoduchší spôsob, ako vypočítať jej plochu, je použiť tento univerzálny vzorec:

S=n/4a²ctg(pi/n).

Nahradením hodnoty počtu strán n a dĺžky jednej strany a do rovnosti môžete vypočítať plochu n-gonálnej základne. Všimnite si, že funkcia kotangens je tu vypočítaná pre uhol pi/n, ktorý je vyjadrený v radiánoch.

Vzhľadom na rovnosť napísanú pre S dostaneme konečný vzorec pre objem pravidelného hranola:

V=n/4a²hctg(pi/n).

Pre každý konkrétny prípad môžete napísať zodpovedajúce vzorce pre V, ale všetkyjednoznačne vyplývajú z písomného všeobecného prejavu. Napríklad pre pravidelný štvoruholníkový hranol, ktorým je vo všeobecnom prípade pravouhlý hranol, dostaneme:

V₄=4/4a²hctg(pi/4)=a² h.

Ak v tomto výraze vezmeme h=a, dostaneme vzorec pre objem kocky.

Objem priamych hranolov

Hneď si všimneme, že pre rovné obrazce neexistuje všeobecný vzorec na výpočet objemu, ktorý bol uvedený vyššie pre bežné hranoly. Pri hľadaní príslušnej hodnoty by sa mal použiť pôvodný výraz:

V=S_oh.

Tu h je dĺžka bočného okraja, ako v predchádzajúcom prípade. Pokiaľ ide o základnú oblasť S_o, môže nadobúdať rôzne hodnoty. Úloha výpočtu priameho hranola objemu je zredukovaná na nájdenie plochy jeho základne.

Výpočet hodnoty S_o by sa mal vykonať na základe charakteristík samotnej základne. Napríklad, ak ide o trojuholník, potom sa plocha môže vypočítať takto:

S_o3=1/2ah_a.

Tu h_a je apotém trojuholníka, to znamená jeho výška znížená na základňu a.

Ak je základňou štvoruholník, potom to môže byť lichobežník, rovnobežník, obdĺžnik alebo úplne ľubovoľný typ. Pre všetky tieto prípady by ste mali na určenie plochy použiť vhodný planimetrický vzorec. Napríklad pre lichobežník tento vzorec vyzerá takto:

S_o4=1/2(a₁+ a₂)h _a.

Kde h_a je výška lichobežníka, a₁ a a₂ sú dĺžky jeho rovnobežných strán.

Ak chcete určiť plochu pre polygóny vyššieho rádu, mali by ste ich rozdeliť na jednoduché tvary (trojuholníky, štvoruholníky) a vypočítať súčet ich plôch.

Tilted Prism Volume

Toto je najťažší prípad výpočtu objemu hranola. Platí aj všeobecný vzorec pre takéto čísla:

V=S_oh.

K zložitosti hľadania plochy základne reprezentujúcej ľubovoľný typ polygónu sa však pridáva problém určenia výšky postavy. Vždy je menšia ako dĺžka bočnej hrany v naklonenom hranole.

Najjednoduchší spôsob, ako zistiť túto výšku, je, ak poznáte akýkoľvek uhol postavy (plochý alebo šikmý). Ak je daný takýto uhol, potom by sme ho mali použiť na zostrojenie pravouhlého trojuholníka vo vnútri hranola, ktorý by obsahoval výšku h ako jednu zo strán a pomocou goniometrických funkcií a Pytagorovej vety by sme našli hodnotu h.

Problém s geometrickým objemom

Vzhľadom na pravidelný hranol s trojuholníkovou základňou, s výškou 14 cm a dĺžkou strany 5 cm. Aký je objem trojuholníkového hranolu?

Keďže hovoríme o správnom čísle, máme právo použiť známy vzorec. Máme:

V₃=3/4a²hctg(pi/3)=3/45²141/√3=√3/42514=151,55 cm³.

Trojuholníkový hranol je pomerne symetrický obrazec, v podobe ktorého sa často vyrábajú rôzne architektonické štruktúry. Tento sklenený hranol sa používa v optike.