Povrch rovného hranola: vzorce a príklad problému

2024 Autor: Angel Austin | [email protected]. Naposledy zmenené: 2024-01-02 17:55

Objem a plocha povrchu sú dve dôležité charakteristiky každého telesa, ktoré má konečné rozmery v trojrozmernom priestore. V tomto článku uvažujeme o dobre známej triede mnohostenov - hranoloch. Odhalí sa najmä otázka, ako nájsť povrchovú plochu priameho hranolu.

Čo je hranol?

Hranol je akýkoľvek mnohosten, ktorý je ohraničený niekoľkými rovnobežníkmi a dvoma rovnakými mnohouholníkmi umiestnenými v rovnobežných rovinách. Tieto mnohouholníky sa považujú za základne obrázku a jeho rovnobežníky sú strany. Počet strán (rohov) základne určuje názov figúry. Napríklad, obrázok nižšie zobrazuje päťuholníkový hranol.

Vzdialenosť medzi základňami sa nazýva výška postavy. Ak sa výška rovná dĺžke ktorejkoľvek bočnej hrany, potom bude takýto hranol rovný. Druhou postačujúcou vlastnosťou pre rovný hranol je, že všetky jeho strany sú obdĺžniky alebo štvorce. Ak všakAk je jedna strana všeobecný rovnobežník, potom bude obrázok naklonený. Nižšie môžete vidieť, ako sa rovné a šikmé hranoly vizuálne líšia na príklade štvoruholníkových útvarov.

Povrch rovného hranolu

Ak má geometrický útvar n-gonálnu základňu, potom pozostáva z n+2 plôch, z ktorých n sú obdĺžniky. Označme dĺžky strán podstavy ako a_i, kde i=1, 2, …, n, a označme výšku postavy, ktorá sa rovná dĺžke bočný okraj, ako h. Ak chcete určiť plochu (S) povrchu všetkých plôch, pridajte plochu S_{o každej zo základní a všetkých plôch strán (obdĺžnikov). Vzorec pre S vo všeobecnom tvare teda možno napísať takto:}

S=2S_o+ S_b

Kde S_{b je plocha bočného povrchu.}

Keďže základom priameho hranola môže byť absolútne akýkoľvek plochý mnohouholník, nemožno zadať jediný vzorec na výpočet S_{oa na určenie tejto hodnoty vo všeobecnosti V tomto prípade by sa mala vykonať geometrická analýza. Napríklad, ak je základňa pravidelným n-uholníkom so stranou a, potom sa jej plocha vypočíta podľa vzorca:}

S_o=n/4ctg(pi/n)a²

Pokiaľ ide o hodnotu S_{b, možno uviesť výraz pre jej výpočet. Bočný povrch rovného hranola je:}

S_b=h∑_i=1(a_i)

To je hodnotaS_{b sa vypočíta ako súčin výšky postavy a obvodu jej základne.}

Príklad riešenia problému

Aplikujme nadobudnuté vedomosti na vyriešenie nasledujúceho geometrického problému. Daný hranol, ktorého základňou je pravouhlý trojuholník so stranami v pravom uhle 5 cm a 7 cm. Výška postavy je 10 cm. Je potrebné nájsť plochu pravého trojuholníkového hranolu.

Najprv vypočítajme preponu trojuholníka. Bude sa rovnať:

c=√(5²+ 7^{2)=8,6 cm}

Teraz urobme ešte jednu prípravnú matematickú operáciu – vypočítajme obvod základne. Bude to:

P=5 + 7 + 8,6=20,6 cm

Oblasť bočného povrchu postavy sa vypočíta ako súčin hodnoty P a výšky h=10 cm, teda S_b=206 cm ^2.

Na nájdenie plochy celého povrchu by sa k nájdenej hodnote mali pridať dve základné plochy. Keďže plocha pravouhlého trojuholníka je určená polovicou súčinu nôh, dostaneme:

2S_o=257/2=35 cm²

Potom dostaneme, že plocha povrchu rovného trojuholníkového hranola je 35 + 206=241 cm2.